Interactions gravitationnelles :
Introduction aux calculs astronomiques



Voici quelques rappels de formules physiques de base concernant la gravité, pour s'amuser et jouer à l'apprenti astrophysicien...



1) Loi de Newton :

Dans sa loi de la gravitation universelle, Newton nous indique que deux corps ponctuels exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction directement opposées, dirigées suivant la droite qui les relie, d'intensités proportionnelles à leurs masses et inversement proportionnelles au carré de leur distance.
Si on considère qu'un corps non ponctuel peut être remplacé par une masse ponctuelle coïncidant avec son centre de gravité, alors on peut écrire :


F est la force de gravité, exprimée en Newtons.
G est la constante de gravitation universelle ; elle vaut 6,67 x 10-11 N.m2.kg-2.
m est la masse, exprimée en kilogrammes.
d est la distance, exprimée en mètres.

• Exemple 1 :
Calculer la force d'attraction que la Terre exerce sur un objet de 1 kg situé à sa surface. On donne la masse de la Terre mT = 6.1024 kg et le rayon terrestre RT = 6378 km.
→ F = 6,67.10-11 x (6.1024 x 1) / (6,378.106)2 = 9,8 N.

• Exemple 2 :
Calculer la force d'attraction Terre-Lune, en sachant que la masse de la Terre vaut 6.1024 kg, celle de la Lune 7,3.1022 kg, et la distance Terre-Lune 384 000 km.
→ F = 6,67.10-11 x (6.1024 x 7,3.1022) / (384.106)2 = 1,98.1020 N.



2) Forme newtonienne de la 3ème loi de Kepler :

Au début du XVIIe siècle, l'astronome allemand Johannes Kepler a énoncé 3 lois qui décrivent les propriétés principales du mouvement des planètes autour du Soleil.
- 1ère loi : dans un repère de Copernic, la trajectoire d'une planète est une ellipse dont le soleil occupe l'un des foyers.
- 2ème loi : le segment de droite reliant le soleil et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
- 3ème loi : pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe de l'orbite et le carré de la période de révolution est le même.

a est le demi-grand axe de la trajectoire elliptique, exprimé en mètres.
T est la période de l'objet en orbite, exprimée en secondes.

À partir de sa formule de la gravitation universelle, Newton permet de préciser la constante intervenant dans la 3ème loi de Kepler.
La force d'attraction d'un objet en orbite est égale à F = G mm' / a2.
En sachant que, pour qu'il y ait une orbite régulière il faut que cette force égalise la force centrifuge F = mv2 / a, et que la vitesse linéaire v est liée à la période de révolution, v = 2π a / T, Newton en déduit que :

m est la masse de l'objet central (en l'occurrence le Soleil si l'on applique la loi aux planètes).

On peut en déduire 2 données :

On peut connaître la masse de l'objet central uniquement par les données d'un élément en orbite.

La période de révolution d'un objet en orbite ne dépend pas de sa masse mais uniquement de la masse de l'objet central et de la distance qui l'en sépare.


Cas particulier : le mouvement des satellites terrestres en orbite circulaire :

Connaissant le champ gravitationnel terrestre, il est possible d'obtenir une variante de la dernière formule ci-dessus et de calculer la période de révolution d'un satellite en orbite circulaire sans l'intervention de la masse. Ainsi, la vitesse d'un satellite évoluant à une distance r (par rapport au centre de la Terre) étant égale à v = R0 √ (g0 / r) et puisque cette vitesse linaire équivaut à v = 2π r / T, on en déduit que :

T est la période de révolution du satellite, exprimée en secondes.
R0 est le rayon de la Terre, exprimé en mètres (6,378.106 m à l'équateur).
r est la distance du satellite au centre de la Terre, exprimé en mètres.
g0 est l'accélération de la pesanteur sur la surface de la terre et vaut 9,81 m.s-2.



• Exemple 1 :
Calculer la période de révolution d'un satellite en orbite autour de la Terre, à 100 km d'altitude. On donne le rayon terrestre RT = 6378 km et g0 = 9,81 m.s-2.
→ r = R0 + altitude = 6378 + 100 = 6478 km.
→ T = (2π / 6,378.106) x √ ((6,478.106)3 / 9,81) = 5186 s, c'est à dire 1h 26' 26".

• Exemple 2 :
Calculer l'altitude que doit avoir un satellite pour être géostationnaire. On donne le rayon terrestre RT = 6378 km, g0 = 9,81 m.s-2 et la durée d'un jour sidéral T = 23h 56' 41" (soit 86164 s).
→ r = R0 + altitude (h) donc T2 = (4π2 / R02) x (R0 + h)3 / g0 ; d'où h = (T2R02g0 / 4π2)1/3 - R0.
→ h = (861642 x (6,378.106)2 x 9,81 / 4π2)1/3 - 6,378.106 = 35 800 km.
Cette distance est valable pour tous les satellites quelle que soit leur taille ou leur masse.

• Exemple 3 :
Calculer la période de révolution de la Lune, en sachant que la masse de la Terre vaut 6.1024 kg et la distance Terre-Lune 384 000 km.
→ T = 2π x √ ((3,84.108)3 / (6,67.10-11 x 6.1024)) = 2 363 405 s, c'est à dire 27,3 jours.

• Exemple 4 :
Déterminer la masse du Soleil en sachant que la Terre en fait le tour en 365,25 jours à une distance de 1 UA (r = 1,5.1011 m)
→ M = 4π2 x (1,5.1011)3 / (6,67.10-11 x (365,25 x 24 x 3600)2) = 2.1030 kg


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