Les ellipses

Les ellipses occupent une place importante dans l'étude des orbites des corps du système solaire et de l'univers tout entier.

Comment tracer simplement une ellipse?

Pour le faire il suffit de planter deux punaises jouant le rôle des deux foyers F et F' et de passer une boucle de ficelle autour de celles ci, puis de la faire tourner en la maintenant tendue grâce à un crayon.

Observations : en faisant varier la distance séparant les deux foyers (distance focale) on obtient des courbes plus ou moins "aplaties". Plus la distance FF' augmente, plus la courbe est elliptique. Donc la distance séparant les deux foyers est un paramètres très important définissant l'excentricité d'une orbite.

L'ellipse fait partie de la famille des courbes connues sous le nom de sections coniques car ces dernières peuvent toutes être crées à partir d'un cône, en variant les l'angle de section.

L'ellipse est une courbe fermée, symétrique par rapport à deux axes perpendiculaires : l'un plus long que l'autre et l'autre plus petit. En général, pour définir ce paramètre d'une orbite, on se se limite aux demis axes. Les autres types de coniques sont le cercle, la parabole et l'hyperbole.

Les points F et F' sont appelés foyers de l'ellipse, AA' (=2a) est le grand axe , BB' (=2b) est le petit axe. On définit une ellipse par :

- Son centre O

- La longueur de son grand ou de son demi-grand axe, la longueur de son petit ou de son demi-petit axe

- Ses deux foyers ( F et F' )

- La longueur de son axe focal : distance entre les deux foyers

- et par son excentricité notée "e"

Propriété : Tout point P appartenant à l'ellipse vérifie la condition suivante : PF + PF' = 2a

L'excentricité est définie par le rapport : e = FF' / AA'

Trois cas principaux peuvent alors se présenter :

e = 0 : c'est un cercle

e = 1 : c'est une hyperbole

si 0 < e < 1 c'est une ellipse

L'orbite d'un corps qui se meut sous l'influence d'une force gravitationelle appartient forcément à l'un de ces cas. Le paramètre e est donc très important pour décrire une orbite. L'excentricité de l'orbite donne la valeur de la déviation par rapport au cercle. Si c représente la distance séparant le centre de l'ellipse et l'un de ses foyers, et si a est son demi grand axe, alors on peut définir la valeur de e par la relation suivante : e = c / a . Les foyers sont tous deux équidistants du centre de l'ellipse et ils se situent sur le grand axe.

La taille du demi petit axe est donnée par : b = a racine(1-e²)

Demi grand axe : a = b / racine(1-e²)

L'excentricité devient : e = racine(a²-b²) / a .......................................... si a>b alors c = racine(a²-b²) mais si a<b alors on a c = racine(b²-a²)

En mathématiques, l'ellipse est la réunion de deux courbes représentatives de deux fonctions f1 et f2 telles que :

f1 = b racine(1-(x²/a²)) et f2 = -b racine (1-(x²/a²))