Les phases de la Lune

La Lune, au cours de sa révolution autour de la Terre semble changer de forme. Ces phases résultent des changement de position de notre satellite par rapport au Soleil. Tout le monde a déjà observé ce phénomène. Il s'agit maintenant de le comprendre. Voila quelques positions particulières de la Lune le long de son orbite...En astronomie, une phase lunaire désigne une portion de Lune illuminée par le Soleil et vue à partir de la Terre.

La Lune tournant en orbite autour de la Terre, les positions relatives du Soleil, de la Terre et de la Lune changent constamment. Puisque la Lune est visible uniquement en raison de la lumière du Soleil qu'elle réfléchit, seule la partie de la Lune orientée à la fois vers la Terre et vers le Soleil est visible.

Les différentes phases de la Lune ont des noms différents :
- A la Nouvelle Lune, la Lune se situe en conjonction avec le Soleil. Elle n'apparaît pas dans le ciel de nuit, mais en journée et présente sa face obscure à la Terre, ce qui la rend difficilement observable.
- Le Premier Croissant correspond à sa réapparition dans le ciel nocturne.
- Au Premier Quartier, elle est en quadrature.
- Ensuite, la Lune est dans sa phase gibbeuse ascendante.
- A la Pleine Lune, elle est maintenant en opposition et totalement éclairée par le Soleil. Si on observe bien on peut voir les mers (ce sont les taches sombres qui sont en fait des restes de lave qui se sont écoulées sur la Lune).
- Puis on retrouve la séquence inversée : Lune gibbeuse descendante, Dernier Quartier et Dernier Croissant.

Lunaison "moyenne"

La Lune fait un tour complet autour de la Terre en 27,3 jours. Mais pendant ce temps là, la Terre se déplace et il lui faut 2,2 jours de plus pour reprendre la même position relative par rapport au Soleil et à la Terre...Comme sur le dessin de gauche, prenons pour instant initial le moment de la Pleine Lune : par rapport à la Terre, la Lune est alors diamétralement opposée au Soleil. La Lune fait une révolution autour de la Terre en 27,3 jours, c'est-à-dire en un mois sidéral. Mais pendant ce temps, la Terre se déplace d'environ 27° sur son orbite. Ainsi, au bout d'un mois sidéral, ce n'est pas encore la Pleine Lune. La Lune doit parcourir environs 27° de plus sur son orbite pour être de nouveau diamétralement opposée au Soleil (comme la Terre se déplace elle-même pendant ce mouvement, le parcourt supplémentaire s'allonge encore un peu, à environ 29°). Puisque la Lune parcourt 13° par jour (360° / 27,3 jours), il lui faudra un peu plus de deux jours. Et ainsi, après 29,5 jours, c'est-à-dire un mois synodique (du grec sunodikos, "conjonction"), ce sera de nouveau la Pleine Lune. Le cycle des phases de la Lune est donc plus long de 2,2 jours que sa période de révolution sidérale. Fait intéressant, la période de rotation de la Lune (sur elle-même) est également de 27,3 jours. C'est pourquoi elle présente toujours la même face à la Terre.

Dans la suite de ce paragraphe, nous allons démontré que :
La lunaison est l'intervalle de temps séparant deux Nouvelle Lune et dont la durée est de 29 jours 12 heures 44 minutes et 2,9 secondes (soit 29,531 jours).

La Terre tourne autour du Soleil (360°) en un an (soit une période TT = 365,25 jours). Elle se déplace donc d'environ 1° / jour par rapport au Soleil (soit une vitesse angulaire wT = 360 / 365,25 = 0,986° / jour).
La Lune tourne autour de la Terre (360°) en 27 jours 7 heures 43 minutes 11,5 secondes (soit une période TL = 27,322 jours). Elle se déplace donc d'environ 13° / jour par rapport à la Terre (soit une vitesse angulaire wL = 360 / 27,322 = 13,176° / jour).

Pour que la Lune occupe à nouveau la même position relative par rapport à la Terre et au Soleil, il faut qu'elle tourne encore d'environ 27° sur son orbite par rapport à la Terre (TL wT = 27,322 x 0,986 = 26,939°). Elle va parcourir ces 27° en un peu plus de 2 jours (TL wT / wL = 26,939 / 13,176 = 2,045 jours).

Pendant ces 2 jours, la Terre s'est déplacée d'environ 2° par rapport au Soleil (TL wT2 / wL = 2,045 x 0,986 = 2,016°) et la Lune va rattraper ces 2° en environ 3,5 heures (TL (wT / wL)2 = 2,016 / 13,176 = 0,153 jour = 3,672 heures).

Pendant ces 3,5 heures, la Terre s'est déplacée d'environ 9' par rapport au Soleil (TL wT3 / wL2 = 0,153 x 0,986 = 0,151° = 9,06') et la Lune va rattraper ces 9' en environ 16 minutes (TL (wT / wL)3 = 0,151 / 13,176 = 0,011 jour = 0,264 heures = 15,84 minutes) etc.

On peut donc déjà vérifier que :
29,531 - 27,322 = 2,209 jours et
2,045 + 0,153 + 0,011 = 2,209 jours...

En généralisant le raisonnement précédent, soit L la lunaison "moyenne".
On démontre par récurence que :
L =  lim Ln
  n -> +oo
  n
avec Ln =  S li
  i = 0
l0 = TL
ln+1 = (wT / wL) ln = q ln avec q = wT / wL

En ce qui concerne la somme Ln, on peut écrire :
(1 - q) Ln = Ln - q Ln
(1 - q) Ln = l0 + q l0 + q2 l0 + ... + qn l0 - q l0 - q2 l0 - ... - qn l0 - qn + 1 l0
(1 - q) Ln = l0 - qn + 1 l0
(1 - q) Ln = l0 (1 - qn + 1)
Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison q :
Ln = l0 (1 - qn + 1) / (1 - q)
comme q = wT / wL < 1,  lim qn + 1 = 0
  n -> +oo
L =  lim l0 (1 - qn + 1) / (1 - q) = l0 / (1 - q)
  n -> +oo
L = TL / (1 - (wT / wL))
avec TL la période de révolution de la Lune autour de la Terre,
wT la vitesse angulaire de révolution de la Terre autour du Soleil et
wL la vitesse angulaire de révolution de la Lune autour de la Terre.

Application numérique :
L = 27,322 / (1 - (0,986/13,176) = 29,532 jours

Comme w = 1 / T
On a :
L = TL / (1 - (TL / TT))
L = 1 / ((TT - TL) / TT TL)
On retrouve la formule de Copernic :
L = 1 / ((1 / TL) - (1 / TT))
avec TL la période de révolution de la Lune autour de la Terre et
avec TT la période de révolution de la Terre autour du Soleil.

Application numérique :
L = 1 / ((1 / 27,322) - (1 / 365,25)) = 29,531 jours


Pour plus d'information :
LES PHASES DE LA LUNE : http://www.imcce.fr/page.php?nav=fr/ephemerides/astronomie/phases_lune/index.php
Un clin d'œil à la lune : http://hypo.ge.ch/www/math/html/node48.html
Lunaison : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lunaison
Phase lunaire : http://fr.wikipedia.org/wiki/Phase_lunaire