|
|
|
Le problème de la turbulence à été longuement étudié dans le domaine de l'astronomie, par les professionnels, mais aussi par les amateurs. Nous pourrons pour se faire une idée précise on peut se référer à la bibliographie en fin de cette page. Les quelques simulations et expériences présentées ici ont pour but, quelque peu aberrant, de s'intéresser non pas à l'observation des objets du ciel, mais à l'effet que la turbulence provoque sur la déformation de ces images. En d'autres termes, pour rappeler le vieil adage bien connu des astronomes : "lorsque le sage montre la lune, l'idiot regarde le doigt". Eh bien ici j'ai choisi de regarder pourquoi le doigt nous masque la Lune.... Pour illustrer mon propos, 2 images des webcams de l'observatoire du pic du midi, dont l'une a été prise après une tempête de glace, permettent de bien comprendre l'idée :
Il s'agit donc ici de regarder non pas la coupole du Télescope Bernard Lyot, mais la couche de glace déposée sur la vitre devant la caméra, qui provoque une variation spatiale de l'indice de réfraction, et qui nous le masque le télescope sur l'image de droite. Le problème abordé est donc celui de l'analyse de front d'onde par déconvolution directe en connaissant a priori la PSF. Ce problème déjà largement abordé dans le milieu professionnel, fait l'objet des vidéos en fin de cette page. Replaçons le problème dans son contexte :
Le diamètre de la tache d'Airy est connu :
Pour les spécialistes, la réponse impulsionnelle correspond au carré du module de la transformée de Fourier de l'amplitude complexe de l'onde dans la pupille d'entrée (aie aie aie). Nous y reviendront plus loin, car cette définition risque de nous être très utile (on va d'ailleurs le démontrer)... Dans la pratique, le télescope n'est jamais parfait. Il existe toujours des aberrations telles que celles que nous avons listées précédemment. Nous considéreront dans ce qui suit que si la déformation du front d'onde par le télescope est suffisamment faible pour que tout les rayons issus de la pupille soient concentrés au foyer dans la tache d'Airy. C'est ce que l'on le critère de Raleigh.
Le passage de l'onde incidente au travers de bulles d'air chaud ou froid (donc d'indices optiques différents) déforme le front d'onde en provoquant l'apparition
D.L. Fried en 1965 défini une grandeur caractéristique de la déformation du front d'onde [4], la "Paramètre de Fried r0", qui représente "le diamètre de l'optique
L'échantillonnage est de 0.065"/pixels pour les simulations, ce qui correspond aux conditions de prise de vue des vidéo suivantes au T60 du pic du midi
Nous voyons ici l'apparition du phénomène de tavelures que nous avons déjà étudié, notamment dans le cadre de l'étude des étoiles doubles. Mais dans les simulations précédentes, nous avons considéré le cas idéal d'un front d'onde bosselé, dont la moyenne arrive perpendiculairement à l'axe optique. Une acquisition d'images réelles montre aussi une composante de turbulence appelée Tip/tilt qui se traduit par la variation d'incidence moyenne du front d'onde. Au foyer, l'image se déplace selon
Dans l'étude suivante nous utiliseront les images de la séquence vidéo de l'expérience, recentrées par intercorrelation pour compenser le tip/tilt. Le tableau suivant nous montre une séquence vidéo de tavelures obtenues sur l'étoiles Véga, à l'aide d'une caméra EMCCD Merlin EM247 pose élémentaire de 40ms,
On constate immédiatement que l'ensemble des phénomènes de turbulence provoque un étalement de la réponse impulsionnelle. En premier lieu, il convient de décomposer la turbulence en 2 phénomènes principaux [2] : Les effets de Tip/Tilt, et les ordres de turbulence supérieur, à savoir les déformations que nous avons définies plus haut. Les images de la deuxième partie du tableau précédent nous montrent que la réponse impulsionnelle, compensée du tip/tilt, au cours d'une pose longue, tend vers la réponse instrumentale propre du télescope (indépendante du temps puisque la turbulence se moyenne avec le temps). Nous verrons plus loin qu'une approche mathématique rigoureuse confirme ce constat. Le tip/tilt horizontal intègre aussi les erreurs de suivi de la monture. L'étalement de la réponse impulsionnelle avec et sans la compensation du tip/tilt peut être clairement vue sur le profil de l'étoile :
Donc la largeur à mi hauteur de la réponse impulsionnelle compensée du tip/tilt avoisine, dans le cas de notre vidéo, 2"6. Pour mémoire, en utilisant la relation (1), le T60 du pic du midi est censé pouvoir produire, en l'absence de turbulence, une tache d'Airy à un diamètre a mi-hauteur proche de 0.2" d'arc de diamètre. On est donc loin du compte. Le diamètre de la tache de Fried à la longueur d'onde du filtre utilisé correspond à un instrument de 58mm de diamètre(à comparer ce soir la avec les valeurs de plaines plutôt voisines de 40 à 50mm, le ciel n'était pas franchement bon....). En considérant les différentes contributions de la turbulence et des défauts optiques (obtenu en utilisant l'hypothèse statistique que la turbulence est a moyenne constante [6]), nous pouvons comparer expérimentalement les images issues de la vidéo et une simulation de l'image théorique de l'étoile :
L'image 3 correspond donc à la réponse impulsionnelle instantanée de l'ensemble télescope-atmosphère à l'image d'une source ponctuelle. L'image 4 est la somme de toutes les réponses impulsionnelles prises aux différents instants d'une pose de 20 secondes. L'image 3 est représentative de la déformation du front d'onde par l'atmosphère, c'est à dire par la fonction de structure de
phase de l'onde
Est-il possible alors, en partant d'une image de type "Image 3", de remonter à la constitution du front d'onde au niveau de la pupille ? La réponse est oui, et passe par un formalisme mathématique un peu indigeste. Attention, le paragraphe suivant est technique, pour ceux que les maths rebutent, le résultat de la première étape de traitement est disponible plus bas.
Rentrons dans le détail mathématique de la constitution de l'image 3 si nous voulons remonter à la structure de la phase de l'onde :
Appelons Ii(a) l'image de l'objet obtenue à l'instant i (l'image 3 en est un exemple) au foyer du télescope. Soit O(a) l'objet, l'image s'écrit mathématiquement :
a est le vecteur angulaire sous lequel est vu chaque points de la source. L'image Cette réponse impulsionnelle est considérée constante dans un intervalle angulaire que l'on appelle le domaine d'isoplanétisme. Cet angle est généralement de quelques secondes d'arc au maximum. Le principe de l'opération de convolution entre 2 images est une opération consistant à reconstruire une troisième image en faisant glisser l'image 1 sur l'image 2 pixel à pixel et en prenant, à chaque décalage, la multiplication des 2 images décalées. Elle se traduit mathématiquement sous la forme :
Cette opération n'est pas triviale, mais elle traduit la construction de l'image au foyer du télescope. Fort heureusement, pour simplifier les calculs, il est possible de traduire cette opération de convolution en simple produit de 2 images si l'on exécute une transformée de Fourier de chacune de ces expressions. L'expression 3 devient :
avec La
transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle fonction de transfert optique. Son expression instantanée est [8]:
La fonction pupille P(r)=1 si r<R P(r)=0 si r>R (avec D=2.R le diamètre du télescope) La fonction pupille est donc une fonction réelle (Phase nulle) et constante dans le temps.
Or la réponse impulsionnelle
Or par le théorème de Wiener-Khinchine, la transformée de Fourier du module du carré de la TF d'une fonction est l'autocorrélation de cette fonction. Nous pouvons écrire :
L'expression de la fonction g après transformation de Fourier s'écrit :
Le module au carré de la fonction G est donc :
D'ou
En négligeant le
phénomène de scintillation, la fonction g(r,t) peut s'écrire sous forme
complexe :
La fonction d'étalement Si est le carré du module de l'amplitude de A(r,t). Il reste alors à
définir une technique permettant de passer de la connaissance de Si à la
connaissance de proposés, le plus classique est l'algorithme de Gercherg et Saxton ([6] et [10]). Cet algorithme est basé sur l'application itérative de contraintes dans l'espace pupillaire et dans l'espace image.
Nous devons donc spécifier les conditions de départ de l'algorithme :
Dans le cas qui nous intéresse ici, nous avons l'énorme avantage de posséder une connaissance a priori de l'Objet. En effet, l'objet est une étoile non résolue, autrement dit une fonction de Dirac. Pour la transformée de Fourier, cela signifie que la TF de O est une constante. Autrement dit, la connaissance de I nous donne directement la connaissance de S :
On peut donc détailler sur une image exemple le fonctionnement de l'algorithme (Module et phase sont bornées par la fonction pupille aussi appelée OTP) :
La valeur du module
A'(r,t) est constante, car il s'agit d'appliquer à la fonction par l'image de départ,
En résumé, l'image obtenue au foyer correspond a la convolution de l'objet par la réponse impulsionnelle de l'ensemble télescope/atmosphère (Relation (4)). Cette réponse impulsionnelle est le produit de la pupille du télescope, affectée des défauts du front d'onde bosselé par la turbulence (relation (6)). La connaissance de la fonction pupille "a priori" par modélisation ou par extraction dans uns image non affectée par la turbulence, nous permet de retrouver la réponse impulsionnelle (relation (8)), et par un calcul approprié, la valeur de la phase au niveau de la pupille. Nous pouvons donc, par l'algorithme de reconstruction de Gerchberg et Saxton, retrouver la structure du front d'onde en moins d'une trentaine d'itérations, La reconstruction de phase montre des discontinuité qui sont dues aux passages de la phase en dehors de l'intervalle 0-2Pi. C'est ce que l'on appèle une phase repliée. Nous pouvons vérifier la convergence vers la solution itérative en observant le tableau suivant :
Les résultats obtenus (redimensionnés d'un facteur 2) sont donc éloquents :
Donc l'image de droite correspond à l'équivalent de la couche de glace vue sur les clichés du début de cette page. L'étoile est vue au travers de cette couche d'indice de réfraction variable, produisant les tavelures obtenue sur les images individuelles. Ces variations d'indices provoquent les fluctuations de phases obtenues sur l'image de gauche. L'image de gauche est une image de la phase dans un intervalle de phase compris entre -Pi et Pi. Cette reconstruction de phase est en fait entachée de discontinuité, due au mode de calcul de la
phase ( Ina et Kobayashi [11], et peut être résumé sur le schéma suivant :
La courbe Phid(x,y) en rouge correspond à la distribution de phase comportant des discontinuités dues au mode de calcul des valeurs principales. La courbe bleue, Phi0(x,y) représente les offsets de phase à 2Pi près pour la correction des discontinuités. Le profil que nous cherchons à récupérer est donc celui de la courbe phic(x,y). L'identification des lignes de discontinuité peut être obtenue par la calcul du Laplacien de l'image :
Différents auteurs ont longuement travaillé sur le problème du dépliement de phase afin de reconstruire le front d'onde complet dans des domaines aussi variés que la synthèse d'ouverture radar, l'imagerie par résonance magnétique nucléaire, l'interférométrie des tavelures, la mesure des indices de réfraction optique ...
La réalisation d'un outils informatique de dépliement de la phase, sur la base de la référence [14] est en cours de réalisation. Nous pouvons toutefois, essayer avant cela, essayer de voir les phases repliés sur une séquence vidéo complète...
La première image est celle de l'étoile avec un pose de 40ms, entachée de ses tavelures. La deuxième image correspond au module de l'intensité de l'onde à l'arrivée dans la pupille d'entrée . La troisième image en partant de la gauche est l'image de la phase de l'onde, c'est le complémentaire de cette image (dépliée en dehors de l'espace 0-2Pi) qui sert, dans une boucle d'optique adaptative à piloter un miroir déformable (consigne obtenue dans une vrai OA par un shack Hartmann). La dernière image a droite correspond à la distorsion de la tache d'Airy après passage dans le milieu turbulent et déformation du front à son arrivée dans la pupille.
On a donc numériquement, pendant la séquence vidéo, extrait la distorsion de la réponse impulsionelle de l'ensemble télescope-atmosphère.
Alors a quoi cela sert-t-il ? Peut-on bâtir une optique adaptative numérique en utilisant ces méthodes ? La réponse est nuancée.
suite en construction.......
[1] D.L. FRIED "Limiting resolution looking down through the atmosphère" 1966, Journal of the optical society of america, Vol 56 n°10 pp. 1380-1384 [2] F. RODDIER "Les effets de la turbulence atmosphérique sur la formation des images visibles et infrarouges" 1979, Journal of optics (Paris) Vol 10, n°6, pp.299-303 [3] D.L. FRIED "Optical resolution through a randomly inhomogeneous medium for very long and very short exposures" 1965, Journal of the optical society of america, Vol 56 n°10 pp. 1372-1379 [4] D.L. FRIED "Statistic of a geometric representation of wavefront distortion" 1965, Journal of the optical society of america, Vol 55 n°11 pp. 1427-1435 [5] C.RODDIER, F. RODDIER "Seeing effect removal in a Michelson Interferometer", J. Opt. Soc. Am., vol. 66, n°12, December 1976
[6] J. PRIMOT "Application des techniques d'analyse de surface d'onde à la restauration d'images dégradées par la turbulence atmosphérique", Thèse de doctorat Université de Paris Sud, Mai 1989
[7] C. CAVADORE "Seeing and Turbulence", www.astrosurf.com/cavadore/optique/turbulence/
[8] C.RODDIER, F. RODDIER "Influence of the exposure time on spectral properties of the turbulence-degraded astronomical images", J. Opt. Soc. Am., vol. 65, n°6, June 1975
[9] P. LENA & Al "L'observation en astrophysique", EDP sciences, CNRS edition.
[10] MAEDA & MURATA "Retrieval of wave aberration from point spread function or optical trasfert function data", Applied Optics Vol20, n°2, January 1981
[11] TAKEDA, INA, KOBAYASHI "Fourier-transform method of fringe-pattern analysis for computer-based topography and interferometry", J. Opt. Soc. Am. Vol72, n°1, January 1982 [12] HUNTLEY, BUCKLAND "Characterisation of sources of 2Pi phase discontinuity in speckle interferograms", J. Opt. Soc. Am. Vol12, n°9, January 1995 [13] HUNTLEY, BUCKLAND, TURNER "Unwrapping noisy phase maps by use of a minimum cost matching algorithm", Applied Optics Vol34, n°23, August 1995 [14] BONE "Fourier Fringes Analysis : the two dimensional phase problem", Applied Optics Vol30, n°25, August 1991
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1)
.
(2)
est le résultat du produit de convolution (*)de l'objet observé 
par 
,
la réponse impulsionnelle de l'ensemble télescope/atmosphère à l'instant i. 
(4)
les fréquences de l'image en x et en y, le signe ~ représentant l'opération
de transformation de Fourier. 
,
qui pour les spécialistes est aussi l'autocorrélation de l'amplitude complexe
de l'onde dans la pupille, est appelée
(5) 
est
à symétrie radiale (pupille généralement sphérique). Elle est définie en
fonction de son rayon r sous la forme : 
au facteur 1/S près. Soit :
Dans l'espace de Fourier (pupille)
(6) Dans
l'espace image (Foyer)
En appelant A(r)
la transformée de Fourier de g :
(7a) nous avons alors : 
(7b)
, la
structure de phase de l'onde. Différents algorithmes ont été
(8)
