PHOTVR1
Accueil Remonter

 

Accueil
Pretraitement
Astrometrie
Photometrie

Procédures de calibration photométrique

Alain KLOTZ
Mise à jour 11/11/1999

1. Généralités

Calibrer les images, en photométrie, consiste à déterminer la relation qui permet de convertir les flux stellaires en magnitudes. On peut ainsi diffuser des résultats dans un système standard d'éclairements, les magnitudes, compréhensible par l'ensemble de la communauté scientifique (application aux étoiles variables en général). Le but de cet exposé concerne la détermination de la valeur des coefficients des équations dites de "passage" entre les pas codeurs (la mesure sur l'image) et les magnitudes (la grandeur physique associée aux étoiles). Mais de quels coefficients parlons-nous ? Nous commencerons par introduire les notations qui seront employées dans cet exposé avant de s'intéresser à la méthode d'observation et à la détermination des coefficients.

1.1. Les notations

On notera en Vi, Ri et Ii, les magnitudes calculées dans les bandes passantes des filtres instrumentaux (ceux utilisés lors de l'observation). Les magnitudes (VRI)i se calculent tout simplement par les formules de POGSON :

Vi = -2.5*log(FVi)
Ri = -2.5*log(FRi)
Ii = -2.5*log(FIi)

Les logarithmes sont en base 10. FVi est le flux total (en pas codeurs) c'est à dire intégré sur toute l'étoile sur l'image filtrée V. De même FRi et FIi représentent les flux instrumentaux mesurés sur les images filtrées R et I respectivement. Le but de l'exposé ne concernant pas la mesure elle même du flux instrumental on se référera pour cela aux logiciels d'analyse d'image qui fournissent Fi pour chaque image filtrée. On va chercher convertir les magnitudes instrumentales en magnitudes du système standard.

On notera Vs, Rs et Is, les magnitudes calculées, ou tirées des catalogues, dans les bandes passantes du système standard.

Enfin, on note X, la masse d'air de l'étoile au moment de la prise d'image.

1.2. La base théorique

La méthode proposée ici pour calculer les magnitudes standard à partir des flux instrumentaux est appelée, photométrie rattachée. Elle ne constitue pas une méthode rigoureuse, mais elle a été élaborée pour rester simple et rapide. Le système d'équations de passage que nous proposons est fonction du nombre de filtres utilisés pour l'observation. On distingue ainsi le cas à 2 filtres VR et le cas à 3 filtres VRI.

On se propose de modéliser les relations de passage du système instrumental (VRI)i au système standard (VRI)s par les équations suivantes (Buil 1990) :

Cas à trois filtres : VRI cas à deux filtres : VR
Vi = Vs + a0 + a1*(V-R)s + a2*X - 2.5 log(tv)
Ri = Rs + b0 + b1*(R-I)s + b2*X - 2.5 log(tr)
Ii = Is + c0 + c1*(R-I)s + c2*X - 2.5 log(ti)
Vi = Vs + a0 + a1*(V-R)s + a2*X - 2.5 log(tv)
Ri = Rs + b0 + b1*(V-R)s + b2*X - 2.5 log(tr)

Prenons le cas de l'équation de Vi pour le cas à deux filtres VR et analysons la justification du choix de ce modèle. La magnitude instrumentale mesurée Vi est égale à la magnitude standard Vs corrigée d'abord par une constante additive (a0). Cette constante inclue la réponse du CCD (gain, etc.) et la transparence du ciel. Aisni, a0, appelée aussi contante des magnitude, varie d'une nuit à l'autre mais est aussi fonction de la caméra et de l'optique. Comme le filtre instrumental utilisé n'est pas exactement le même que le filtre V standard (en terme de transmission et de réponse spectrale), on tient compte de cet effet en ajoutant un terme linéaire (a1) fonction de l'indice de couleur (V-R) de l'étoile observée. Cet effet de "mélange" est une constante instrumentale et ne varie pas d'une nuit à l'autre (sauf vieillissement du filtre, changement de CCD ou d'optique). De plus, on tient compte de l'extinction atmosphérique par le terme linéaire (a2) fonction de la masse d'air. Cette donnée varie d'une nuit à l'autre et même parfois à l'intérieur d'une même nuit. Enfin, il faut tenir compte du temps de pose (tv) et comme le détecteur CCD a une réponse linéaire, on peut ainsi ajouter un terme correctif simple.

En résumé, on a modélisé les termes suivants :

*      a0 : constante des magnitudes. Réponse du CCD, absorption atmosphérique au zénith.

*      a1 : coefficient de mélange. Réponse spectrale des filtres

*      a2 : coefficient d'extinction. Absorption différentielle de la masse d'air.

De même pour les autres couleurs, on retrouve les mêmes modèles.

2. Observations à effectuer

D'un point de vue mathématique, la détermination des coefficients exige au moins d'effectuer des poses à deux hauteurs différentes pour mesurer l'effet de l'extinction. De plus, pour déterminer le coefficient de mélange, il faut observer deux étoiles standard d'indice de couleur différents.

Les champs d'étoiles standard seront choisis parmi ceux proposes par le catalogue de LONEOS ou bien dans les amas d'étoiles M 67, M92 et Ngc 7790. Les données de ces catalogues sont contenues dans la compilation MICROCAT. Le système photométrique utilisé est celui de Cousin.

2.1. Méthode à un champ de calibration

Pour chaque filtre, on aura à mesurer le flux de deux étoiles, indicées 1 et 2, dans deux images A et B du même champ pris à deux hauteurs différentes (au moins 20 degrés de différence de hauteur si possible). On laissera passer suffisamment de temps entre les images A et B pour que leurs hauteur sur l'horizon soit significativement différentes. Dans le cas de la photométrie à 2 filtres RV, on mesure ainsi 8 flux instrumentaux : FV1A, FV2A, FV1B, FV2B, FR1A, FR2A, FR1B, FR2B.

Les temps de pose peuvent être quelconque mais doivent être connus.

Cette méthode nécessite d'attendre plusieurs heures entre la prise des images du champ A et la prise des images du champ B. Dans un site où la photométrie n'est pas stable sur plusieurs heures, la méthode à un champ échoue. Il faut alors utiliser la méthode de calibration à deux champs.

2.2. Méthode à deux champs de calibration

Pour chaque filtre, on aura à mesurer le flux de deux étoiles, indicées 1 et 2, dans deux images A et B de champs différents pris à deux hauteurs différentes (au moins 20 degrés de différence de hauteur si possible). Dans le cas de la photométrie à 2 filtres RV, on mesure ainsi 8 flux instrumentaux : FV1A, FV2A, FV1B, FV2B, FR1A, FR2A, FR1B, FR2B.

Les temps de pose peuvent être quelconque mais doivent être connus.

La méthode à deux champs permet de mesurer les coefficients de calibration en moins d'une heure. De ce fait, elle est beaucoup moins sensible aux variations des conditions météorologiques que la méthode à un champ. Les mesures photométriques seront alors effectuées juste avant ou juste après la séquence d'images de calibration sur les deux champs.

3. Application de la calibration par la méthode à un champ

3.1 Calculs des coefficients de calibration

Au regard des formules du modèle on peut établir un formulaire pour retrouver les coefficients photométriques à partir des flux instrumentaux. La présentation suivante est conçue pour remplir les cases à chaque étape. ce processus peut alors facilement être programmée sous un tableur ou être intégré dans un logiciel de traitement d'image.

3.1.1. Cas à 2 filtres VR :

Le formulaire suivant permet de cheminer progressivement vers la détermination des valeurs des coefficients. Il suffit de remplir les cases de droite par la valeur mesurée ou calculée par la formule

3.1.1.1. Identification des deux étoiles de calibration

On choisira les deux étoiles de façon à ce qu'elle aient des indices de couleur (V-R) très différents.

étoiles standard 1 et 2

magnitude

Vs1

 

Rs1

 

(V-R)s1

 

Vs2

 

Rs2

 

(V-R)s2

 

3.1.1.2. Mesure des flux

Ces mesures sont effectuées par une photométrie d'ouverture à l'aide d'un logiciel de traitement d'image.

flux

pas codeurs

FV1A

 

FV2A

 

FR1A

 

FR2A

 

FV1B

 

FV2B

 

FR1B

 

FR2B

 

3.1.1.3. Calcul des masse d'air

Ces mesures sont effectuées connaissant l'instant de prise de vue, les coordonnées du champ visé et les coordonnées géographiques du lieu (cf. levre de Jean Meeus).

Masse d'air

(sans unités)

XA

 

XB

 

3.1.1.4. Calcul des magnitudes instrumentales

Attention, dans ce calcul, le logarithme est décimal !

flux

magnitude

Vi1A = -2.5 log (FV1A)

 

Vi2A = -2.5 log (FV2A)

 

Ri1A = -2.5 log (FR1A)

 

Ri2A = -2.5 log (FR2A)

 

Vi1B = -2.5 log (FV1B)

 

Vi2B = -2.5 log (FV2B)

 

Ri1B = -2.5 log (FR1B)

 

Ri2B = -2.5 log (FR2B)

 

3.1.1.5. Calcul des coefficients de mélange

coefficient de mélange

(sans dimension)

a1A = [(Vi1A-Vi2A) - (Vs1-Vs2)] / [(V-R)s1 - (V-R)s2]

 

a1B = [(Vi1B-Vi2B) - (Vs1-Vs2)] / [(V-R)s1 - (V-R)s2]

 

a1 = (a1A + a1B) / 2

 

b1A = [(Ri1A-Ri2A) - (Rs1-Rs2)] / [(V-R)s1 - (V-R)s2]

 

b1B = [(Ri1B-Ri2B) - (Rs1-Rs2)] / [(V-R)s1 - (V-R)s2]

 

b1 = (b1A + b1B) / 2

 

Théoriquement, les valeurs de a1A et a1B doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. Le coefficient final est pris égal à la moyenne des deux champs.
On détermine ainsi la valeur de a1 pour le filtre V et b1 pour le filtre R.

3.1.1.6. Calcul des coefficients d'extinction

Soient XA et XB les masses d'air (calculées en 3.1.1.3).

coefficient d'extinction

magnitude par unité de masse d'air

a21 = (Vi1A-Vi1B) / (XA-XB)

 

a22 = (Vi2A-Vi2B) / (XA-XB)

 

a2 = (a21 + a22) / 2

 

b21 = (Ri1A-Ri1B) / (XA-XB)

 

b22 = (Ri2A-Ri2B) / (XA-XB)

 

b2 = (b21 + b22) / 2

 

Théoriquement, les valeurs de a21 et a22 doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. Le coefficient final est pris égal à la moyenne des deux étoiles.
On détermine ainsi la valeur de a2 pour le filtre V et b2 pour le filtre R. Normalement, a2 > b2 > 0.

3.1.1.7. Calcul des constantes de magnitude

Soient tVA, tVB, tRA et tRB les temps de pose exprimés en seconde.

coefficient d'extinction

magnitude par seconde

a01A = Vi1A + 2.5 log(tVA) - Vs1 - a1(V-R)s1 - a2 XA

 

a02A = Vi2A + 2.5 log(tVA) - Vs2 - a1(V-R)s2 - a2 XA

 

a01B = Vi1B + 2.5 log(tVB) - Vs1 - a1(V-R)s1 - a2 XB

 

a02B = Vi2B + 2.5 log(tVB) - Vs2 - a1(V-R)s2 - a2 XB

 

a0 = (a01A + a02A + a01B + a02B) / 4

 

Théoriquement, les valeurs de a0A1, a0A2, a0B1 et a0B2 doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. La constante des mangitudes finale est prise égale à la moyenne des quatre valeurs.

De même pour la constante des mangitudes du filtre R :

coefficient d'extinction

magnitude par seconde

b01A = RiA1 + 2.5 log(tRA) - Rs1 - b1(V-R)s1 - b2 XA

 

b02A = RiA2 + 2.5 log(tRA) - Rs2 - b1(V-R)s2 - b2 XA

 

b01B = RiB1 + 2.5 log(tRB) - Rs1 - b1(V-R)s1 - b2 XB

 

b02B = RiB2 + 2.5 log(tRB) - Rs2 - b1(V-R)s2 - b2 XB

 

b0 = (b01A + b02A + b01B + b02B) / 4

 

3.1.1.8. Synthèse des résultats

On reportera, dans ce tableau, les six valeurs des constantes de calibration photométrique.

a0

 

a1

 

a2

 

b0

 

b1

 

b2

 

4. Application de la calibration par la méthode à deux champs

4.1 Calculs des coefficients de calibration

Au regard des formules du modèle on peut établir un formulaire pour retrouver les coefficients photométriques à partir des flux instrumentaux. La présentation suivante est conçue pour remplir les cases à chaque étape. Ce processus peut alors facilement être programmée sous un tableur ou être intégré dans un logiciel de traitement d'image.

4.1.1. Cas à 2 filtres VR :

Le formulaire suivant permet de cheminer progressivement vers la détermination des valeurs des coefficients. Il suffit de remplir les cases de droite par la valeur mesurée ou calculée par la formule

4.1.1.1. Identification des quatre étoiles de calibration

Dans chaque champ, on choisira deux étoiles de façon à ce qu'elle aient des indices de couleur (V-R) très différents.

étoiles standard 1A et 2A
dans le champ A

magnitude

Vs1A

 

Rs1A

 

(V-R)s1A

 

Vs2A

 

Rs2A

 

(V-R)s2A

 

 

étoiles standard 1B et 2B
dans le champ B

magnitude

Vs1B

 

Rs1B

 

(V-R)s1B

 

Vs2B

 

Rs2B

 

(V-R)s2B

 

4.1.1.2. Mesure des flux

Ces mesures sont effectuées par une photométrie d'ouverture à l'aide d'un logiciel de traitement d'image.

flux

pas codeurs

FV1A

 

FV2A

 

FR1A

 

FR2A

 

FV1B

 

FV2B

 

FR1B

 

FR2B

 

4.1.1.3. Calcul des masse d'air

Ces mesures sont effectuées connaissant l'instant de prise de vue, les coordonnées du champ visé et les coordonnées géographiques du lieu (cf. livre de Jean MEEUS).

Masse d'air

(sans unités)

XA

 

XB

 

4.1.1.4. Calcul des magnitudes instrumentales

Attention, dans ce calcul, le logarithme est décimal !

flux

magnitude

Vi1A = -2.5 log (FV1A)

 

Vi2A = -2.5 log (FV2A)

 

Ri1A = -2.5 log (FR1A)

 

Ri2A = -2.5 log (FR2A)

 

Vi1B = -2.5 log (FV1B)

 

Vi2B = -2.5 log (FV2B)

 

Ri1B = -2.5 log (FR1B)

 

Ri2B = -2.5 log (FR2B)

 

4.1.1.5. Calcul des coefficients de mélange

coefficient de mélange

(sans dimension)

a1A = [(Vi1A-Vi2A) - (Vs1A-Vs2A)] / [(V-R)s1A - (V-R)s2A]

 

a1B = [(Vi1B-Vi2B) - (Vs1B-Vs2B)] / [(V-R)s1B - (V-R)s2B]

 

a1 = (a1A + a1B) / 2

 

b1A = [(Ri1A-Ri2A) - (Rs1A-Rs2A)] / [(V-R)s1A - (V-R)s2A]

 

b1B = [(Ri1B-Ri2B) - (Rs1B-Rs2B)] / [(V-R)s1B - (V-R)s2B]

 

b1 = (b1A + b1B) / 2

 

Théoriquement, les valeurs de a1A et a1B doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. Le coefficient final est pris égal à la moyenne des deux champs.
On détermine ainsi la valeur de a1 pour le filtre V et b1 pour le filtre R.

4.1.1.6. Calcul des coefficients d'extinction

Soient XA et XB les masses d'air (calculées en 4.1.1.3). Soient tVA, tVB, tRA et tRB les temps de pose.

coefficient d'extinction

magnitude par unité de masse d'air

a21 = [(Vi1A-Vi1B)-(Vs1A-Vs1B)-((V-R)s1A - (V-R)s1B)+2.5 log(tVA/tVB)] / (XA-XB)

 

a22 = [(Vi2A-Vi2B)-(Vs2A-Vs2B)-((V-R)s2A - (V-R)s2B)+2.5 log(tVA/tVB)] / (XA-XB)

 

a2 = (a21 + a22) / 2

 

b21 = [(Ri1A-Ri1B)-(Rs1A-Rs1B)-((V-R)s1A - (V-R)s1B)+2.5 log(tRA/tRB)] / (XA-XB)

 

b22 = [(Ri2A-Ri2B)-(Rs2A-Rs2B)-((V-R)s2A - (V-R)s2B)+2.5 log(tRA/tRB)] / (XA-XB)

 

b2 = (b21 + b22) / 2

 

Théoriquement, les valeurs de a21 et a22 doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. Le coefficient final est pris égal à la moyenne des deux étoiles.
On détermine ainsi la valeur de a2 pour le filtre V et b2 pour le filtre R. Normalement, a2 > b2 > 0.

4.1.1.7. Calcul des constantes de magnitude

Soient tVA, tVB, tRA et tRB les temps de pose exprimés en seconde.

coefficient d'extinction

magnitude par seconde

a01A = Vi1A + 2.5 log(tVA) - Vs1A - a1(V-R)s1A - a2 XA

 

a02A = Vi2A + 2.5 log(tVA) - Vs2A - a1(V-R)s2A - a2 XA

 

a01B = Vi1B + 2.5 log(tVB) - Vs1B - a1(V-R)s1B - a2 XB

 

a02B = Vi2B + 2.5 log(tVB) - Vs2B - a1(V-R)s2B - a2 XB

 

a0 = (a01A + a02A + a01B + a02B) / 4

 

Théoriquement, les valeurs de a0A1, a0A2, a0B1 et a0B2 doivent être égales. Dans la pratique, avec l'incertitude sur les mesures, il est normal qu'elles soient légèrement différentes. Cependant la différence ne doit pas être trop grande sinon la calibration est impossible. La constante des magnitudes finale est prise égale à la moyenne des quatre valeurs.

De même pour la constante des magnitudes du filtre R :

coefficient d'extinction

magnitude par seconde

b01A = RiA1 + 2.5 log(tRA) - Rs1A - b1(V-R)s1A - b2 XA

 

b02A = RiA2 + 2.5 log(tRA) - Rs2A - b1(V-R)s2A - b2 XA

 

b01B = RiB1 + 2.5 log(tRB) - Rs1B - b1(V-R)s1B - b2 XB

 

b02B = RiB2 + 2.5 log(tRB) - Rs2B - b1(V-R)s2B - b2 XB

 

b0 = (b01A + b02A + b01B + b02B) / 4

 

4.1.1.8. Synthèse des résultats

On reportera, dans ce tableau, les six valeurs des constantes de calibration photométrique.

a0

 

a1

 

a2

 

b0

 

b1

 

b2

 

5. Calculs de la magnitude standard d'étoiles

Au regard des formules du modèle on peut établir un formulaire pour retrouver les coefficients photométriques à partir des flux instrumentaux. La présentation suivante est conçue pour remplir les cases à chaque étape. ce processus peut alors facilement être programmée sous Excel ou être intégré dans un logiciel de traitement d'image.

5.1. Cas à 2 filtres VR :

On suppose connues les valeurs des coefficients de calibration a0, a1, a2, b0, b1, b2. Le formulaire suivant permet de cheminer progressivement vers la détermination des valeurs des coefficients. Il suffit de remplir les cases de droite par la valeur mesurée ou calculée par la formule

5.1.1. Mesure des flux

Ces mesures sont effectuées par une photométrie d'ouverture à l'aide d'un logiciel de traitement d'image sur les deux images filtrées V et R.

filtre

Flux en pas codeurs

temps de pose (s)

V

FVi =

tV =

R

FRi =

tR =

5.1.2. Calcul de la masse d'air

Ces mesures sont effectuées connaissant l'instant de prise de vue, les coordonnées du champ visé et les coordonnées géographiques du lieu (cf. livre de Jean Meeus).

Masse d'air

(sans unités)

XV

 

XR

 

5.1.3. Calcul des magnitudes instrumentales

Attention, dans ce calcul, le logarithme est décimal !

flux

magnitude / s

Vi = -2.5 log (FVi) + 2.5 log (tV)

 

Ri = -2.5 log (FRi) + 2.5 log (tR)

 

5.1.4. Calcul des magnitudes rattachées

 

magnitude

Y1 = (Vi - a0 - a2 XV)

 

Y2 = (Ri - b0 - b2 XR)

 

 

magnitudes rattachées

magnitude

Rs = (Y2 + Y2*a1 - Y1*b1) / (1 + a1 - b1)

 

Vs = (Y1 - Y1*b1 + Y2*a1) / (1 + a1 - b1)

 

Les valeurs de Rs et Vs sont le résultat final de l'analyse photométrique.

5.2. Cas à 3 filtres VRI :

Le formulaire suivant permet de cheminer progressivement vers la détermination des valeurs des coefficients. Il suffit de remplir les cases de droite par la valeur mesurée ou calculée par la formule

5.2.1. Mesure des flux

Ces mesures sont effectuées par une photométrie d'ouverture à l'aide d'un logiciel de traitement d'image sur les deux images filtrées V et R.

filtre

Flux en pas codeurs

temps de pose (s)

V

FVi =

tV =

R

FRi =

tR =

I

FIi =

tI =

5.2.2. Calcul de la masse d'air

Ces mesures sont effectuées connaissant l'instant de prise de vue, les coordonnées du champ visé et les coordonnées géographiques du lieu (cf. livre de Jean Meeus).

Masse d'air

(sans unités)

XV

 

XR

 

XI

 

5.2.3. Calcul des magnitudes instrumentales

Attention, dans ce calcul, le logarithme est décimal !

flux

magnitude / seconde

Vi = -2.5 log (FVi) + 2.5 log (tV)

 

Ri = -2.5 log (FRi) + 2.5 log (tR)

 

Ii = -2.5 log (FIi) + 2.5 log (tI)

 

5.2.4. Calcul des magnitudes rattachées

 

magnitude

Y1 = (Vi - a0 - a2 XV)

 

Y2 = (Ri - b0 - b2 XR)

 

Y3 = (Ii - c0 - c2 XI)

 

 

magnitudes rattachées

magnitude

Is = (Y3 + Y3*b1 - Y2*c1) / (1 + b1 - c1)

 

Rs = (Y2 - Y2*c1 + Y3*b1) / (1 + b1 - c1)

 

Vs = (Y1 + Rs*a1) / (1 + a1)

 

Les valeurs de Is, Rs et Vs sont le résultat final de l'analyse photométrique.

Retour au haut de page