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La science du chaos

L'obliquité de l'orbite terrestre (III)

En 1984, Jacques Laskar du Bureau des Longitudes démontra que le système solaire obéissait à un régime chaotique, et pas seulement les orbites planétaires mais également les paramètres orbitaux des planètes prises individuellement. Il découvrit que ces instabilités pouvaient avoir des conséquences dramatiques. Un jour par exemple Mercure pourrait disparaître. Il démontra également que sans la Lune, la Terre oscillerait à ce point sur son axe que les variations climatiques qu’elle subirait entraveraient le développement de la vie.

Il étudia l’évolution de l’axe de rotation de la Terre, l’obliquité de l’écliptique qui présente aujourd’hui un angle de 23°27 avec la verticale et une période de 26000 ans. Ce mouvement périodique engendre la précession des équinoxes.

L’effet cumulé de toutes les planètes provoque également une modification de l’obliquité de l’orbite de la Terre, dont la période est de l’ordre de 100000 ans. Toutes ces phénomènes d’excitations quasi périodiques entraînent une modification de l’axe de rotation de la Terre avec des périodes bien distinctes qui provoquent une petite oscillation de 1.5° autour des 23°27’ d’obliquité.

Ce mouvement est suffisant pour modifier la répartition de l’insolation à la surface de la Terre, en particulier dans les régions de hautes latitudes, limite des calottes polaires.

L’insolation peut ainsi varier de 20 % durant l’été. Quand l’été n’est pas très chaud dans les hautes latitudes, les glaces accumulées pendant l’hiver ne fondent pas et réfléchissent très bien le Soleil. Par conséquent, la planète se refroidit et par effet boule de neige, la glace s’accumulera plus facilement et on finira par assister à une nouvelle période glaciaire. Si l’insolation est suffisamment forte dans les hautes latitudes, les glaces accumulées pendant l’hiver fondreront en été et nous serons dans une période interglaciaire. En fait ce petit 1.5° peut déjà engendrer des variations climatiques importantes et l’on pense que c’est ce type de phénomène qui est à l’origine du déclenchement des périodes glaciaires.

Ce mouvement de précession est dû à la force de marée engendrée par le Soleil et par la Lune. Cet effet de marée est pour 2/3 lié à la Lune, et 1/3 seulement dû au Soleil. Si on supprime la Lune, on supprime donc les deux tiers de l’effet mais il subsistera toujours une précession de l’orbite de la Terre dont la période sera trois fois plus longue, de l’ordre de 75000 ans. Cette quantité est fort proche des périodes d’excitations planétaires. Dans ces conditions il peut apparaître des effets de résonances à différentes fréquences d’excitation, dont l’enchevêtrement créera une zone chaotique très étendue, tellement grande qu’elle rendra l’orbite de la Terre très instable, son obliquité pouvant varier de 0 à 90°. Ce chaos est très important et se développe pratiquement sur la totalité de l’espace des phases.

La perte angulaire vue précédemment et qui agissait sur l’angle de précession, dans le sens de rotation de la planète sur son orbite se présente maintenant sur l’angle de précession. Alors que la variable de type action engendre une diffusion plus longue, dans le cas présent elle agit sur l’obliquité. Le chaos est tellement fort que ces variations sont très importantes.

On peut essayer de se représenter le climat de la Terre si son axe de rotation présentait une obliquité de 90°. Face au Soleil, tout l’hémisphère nord reçoit sa chaleur en permanence mais six mois plus tard notre hémisphère subirait les rigueurs de la nuit durant presque 6 mois, cumulé avec un climat hivernal. La théorie proposée de Laskar est cohérente et explique parfaitement la dynamique des systèmes complexes et du chaos, résolvant les problèmes que nous pose la stabilité du système solaire.

Le théorème de KAM

On peut alors se demander si la quantification du chaos résout tous les problèmes ? En 1954, Andréï Kolmogoroff[13] réexamina le problème des “trois corps” et démontra que dans un système Hamiltonien perturbé non dégénéré, il existait parmi les solutions non régulières décrites par Poincaré, quelques trajectoires quasipériodiques dans les tori isolés de l’espace des phases. Il semblait donc possible d’apprivoiser le comportement complexe du mouvement des corps célestes.

Andrei Kolmogoroff

Ce résultat fut complété par Vladimir Arnold[14], un élève de Kolmogoroff, qui démontra que pour une perturbation suffisamment petite, l’ensemble de tori invariant occupé par les trajectoires quasipériodiques avaient tendance à se réunir lorsque la perturbation tendait vers zéro. En fait, la convergence ou la non-convergence des séries dépendait des conditions initiales. Moser trouva le même résultat pour des conditions moins fortes qui ne nécessitaient pas l’approche analytique Hamiltonienne.

Dans les cas les plus simples il existait donc un grand nombre de solutions régulières. Le théorème de KAM (Kolmogoroff-Arnold-Moser) est une description globale de tout ce qui peut se passer dans ce genre de système pour toute condition initiale. Si les perturbations sont petites le système présente un grand nombre de trajectoires régulières; si les perturbations augmentent des zones d’instabilités de plus en plus grandes apparaissent. la question est de savoir où se situe le système solaire dans ce modèle. Est-ce près du centre, où toutes les trajectoires sont presque régulières ou dans les zones d’instabilités plus fortes ? Il n’y a qu’un seul moyen de le savoir, c’est d’injecter dans les équations les constantes effectives du système solaire.

Le théorème de KAM a été appliqué dans des domaines variées. Malheureusement il ne s’applique pas directement au problème planétaire qui présente ses propres dégénérescences. En fait le Hamiltonien non perturbé dépend seulement des demi-grands axes et non des autres variables en action. Lorsque le calcul est posé à "N corps" des résonances séculaires apparaissent suite à la variation de la précession des orbites des planètes. Elles génèrent des perturbations sur une échelle de temps beaucoup plus longue, de l'ordre du million d'années.

La rotation de l'orbite sur son plan (précession du périhélie) s'ajoute au mouvement de rotation de ce plan dans l'espace (précession du noeud ascendant). Il se voit gratifié d'une variation de l'excentricité et de l'inclinaison de l'orbite. Ces perturbations orbitales se retrouvent dans l’orbite des astéroïdes, des satellites tel Hypérion[15] l’un des satellites de Saturne, dans celui de certaines comètes[16] et bien sûr dans les orbites de toutes les planètes et de la Lune.

A gauche les zones chaotiques et de circulation régulière dans une section de Poincaré de l'orbite du satellite Hypérion de Saturne. A droite les îles de KAM.

Les résultats de Arnold ont suscité beaucoup de discussions; en effet étant donné que les tori quasipériodiques de KAM sont isolés, un changement infinitésimal des conditions initiales peut modifier une solution, une orbite stable devenant soudainement chaotique. En outre, puisque le système planétaire a plus de deux degrés de liberté, aucun des tori de KAM ne divise l’espace des phases, offrant une chance aux trajectoires chaotiques de parcourir de longues distances dans l’espace des phases. En fait des travaux menés depuis 1977 ont démontré[17] que pour les trajectoires situées très près d’un tori de KAM, la diffusion des solutions était très lente et peut être négligée sur une très longue période, peut-être aussi longue que l’âge de l’Univers.

Bien que la masse actuelle des planètes soit beaucoup trop importantes pour que l’on puisse appliquer directement cette théorie au système solaire, on pensait en général que ces résultats mathématiques s’étendaient bien au-delà des limites démontrées, et encore au milieu du XXe siècle, les astronomes admettaient généralement que le système solaire était stable sur sa durée de vie, “dans n’importe quelle acceptation raisonnable de ce terme”.

Mais depuis, le problème de la stabilité du système solaire a considérablement progressé, en particulier grâce à l’aide providentielle des ordinateurs qui permirent d’étendre les calculs analytiques et les intégrations numériques sur des échelles de temps approchant l’âge du système solaire, mais aussi grâce à une meilleure compréhension de la dynamique sous-jacente, résultant d’une expansion du champ complet de la théorie des système dynamiques.

La diffusion chaotique des orbites planétaires

La simulation des phénomènes dynamiques du système solaire impose les ordinateurs les plus rapides et les plus puissants, de la génération des CRAY. Les mouvements planétaires ont un statut privilégié. Ils représentent en effet l’un des problèmes les mieux modélisés de la physique, dont l’étude peut pratiquement se réduire à l’étude du comportement des solutions de ses équations gravitationnelles (l’équation de Newton complétée par les corrections relativistes pour la plupart des planètes inférieures), en négligeant toutes les “dissipations” et en traitant les planètes comme des masses ponctuelles, exception faite de la Terre pour laquelle, si l’on veut des résultats plus précis, il faut tenir compte de la perturbation introduite par l’existence de la Lune. La complexité mathématique de ce problème est un défi pour les mathématiciens et les astronomes depuis sa formulation il y trois siècles. Aujourd’hui encore, les résultats sont fonctions de la puissance de traitement et de la capacité mémoire des ordinateurs.

Les premières études numériques à long terme englobaient les planètes extérieures, de Jupiter à Pluton et remontent aux travaux de C.Cohen, E.Hubbard et C.Oesterwinter en 1973. Il est en effet plus facile d’intégrer numériquement les déplacements des planètes extérieures car elles se déplacent plus lentement sur leur orbite. Pour intégrer l’orbite de Jupiter, un pas de 40 jours suffit, alors qu’un pas de 0.5 jour est requis pour intégrer le déplacement de tout le système solaire en utilisant un pas multiple d’intégration classique. Cela signifie que durant le même temps de calcul du processeur, celui-ci doit effectuer 80 fois plus d’opérations, devenant donc 80 fois plus lent. Seule solution, changer de technologie et travailler avec des ordinateurs massivement parallèles et vectoriels capables de traiter en parallèle plusieurs tâches.

A gauche, l'incertitude sur le passage au périphélie de la comète de Halley. A droite, les résonances de la Terre et de Mars ainsi que des astéroïdes avec l'orbite de Jupiter.

Malgré la rapidité et la précision des ordinateurs, la diffusion des orbites planétaires demeure. Ainsi à l’Observatoire de Nice C.Froeschlé a vérifié numériquement les calculs d’éphémérides concernant l'apparition de la comète de Halley depuis 4 millénaires. Il est arrivé à la conclusion que son mouvement est également chaotique. Sa tarjectoireest exacte jusqu'en -164, au-delà les prédictions orbitales divergent de façon exponentielle ! En fait, il est excessif de dire que sa trajectoire est exacte pour des dates passées car elle dépend de la perte de masse de la comète qui reste indéterminée. Ainsi, même si vous essayez de superposer des photos du noyau de Halley prise en 1986 à celle de sa trajectoire calculée quelques années auparavant ou après, la position estimée de son centre de gravité n'est pas superposable à l'image (même un logiciel comme "Stellarium" peut facilement mettre ce décalage en évidence).

F.Richard Stephenson[18] et ses collègues de l’Université de Durham ont rassemblés les éphémérides du passage au périhélie de Halley calculés par Y.Chang, W.Landgraf et J.Brady sur le même intervalle de temps et ils ont obtenu des déviations de plus en plus élevées à mesure qu’ils remontaient le temps. Entre 300 et 700 avant notre ère, les déviations augmentent graduellement passant d’une incertitude oscillant entre +100/-200 jours à +300/-1500 jours. Ces "diffusions chaotiques" de l'orbite peuvent être cernées dans la mesure où les astronomes analyseraient un grand nombre de trajectoires cométaires. Ils pourraient alors découvrir la source des perturbations, le nuage de Oort ou la Ceinture transneptunienne.

Prochain chapitre

La diffusion chaotique des orbites planétaires

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[13] A.Kolmogoroff, Dokl.Akad.Nauk. SSSR, 98, 1954, p469.

[14] V.Arnold, Russian Mathematical Survey, 18, 6, 1963, p9.

[15] J.Wisdom, S.Peale et F.Mignard, Icarus, 58, 1984, p137 - J.Klavetter, Astronomical Journal, 97, 1989, p570.

[16] T.Petrosky, Physics Letters,A, 117, 1986, p328 - M.Torbett et R.Smoluchovsku, Nature, 345, 1990, p49 - J.Laskar, Symposium IAU 152, 1992, p1 - J.A.Fernandez, Symposium IAU 160, 1994, p223.

[17] N.Nekhoroshev, Russian Mathematical Survey, 32, 1977, p1 - A.Giorgilli et al., Journal of Differential Equations, 77, 1989, p167 - P.Lochak, Nonlinearity, 6, 1993, p885 - A.Morbidelli et M.Moons, Icarus, 102, 1993, p1.

[18] C.Froeschlé et H.Scholl, Astronomy and Astrophysics, 42, 1975, p457; 57, 1977, p33 - F.Stephenson et al., Nature, 314, 1985, p587 - F.Stephenson, K.Yau et H.Hunger, Nature, 314, 1985, p587 - B.Chirikov et V.Vecheslavov, Astronomy and Astrophysics, 221, 1989, p146.


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