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Les constantes capricieuses de la physique

L'échelle de Planck (II)

Avec c et G hors du chemin, nous avons considérablement simplifié la théorie de la relativité. Et on peut faire de même avec l'autre grande théorie cadre du XXe siècle, la physique quantique. Commençons par l'une des plus petites expressions, l'équation de la courbe de Planck du corps noir.

La physique quantique utilise la fameuse constante de Planck, h, qui vaut 6.626 x 10-34 J.sec (4.135x10-15 eV.sec ou 1.0546x10-27 g.cm2.sec dans le système CGS). La constante de Planck intervientchaque fois qu'il faut mettre en relation l'énergie E des paquets d'ondes (les photons) avec leur fréquence ν : E = hν.

A partir de la relation d'équivalence d'Einstein E = mc2, nous savons que l'énergie est également reliée à la masse. La fréquence est bien entendu reliée au temps (il s'agit d'une mesure de la période exprimée en unités "par seconde"). Si on met toutes les dimensions ensembles, on découvre que h a pour dimension [M][L2]/[T]. A l'image de c qui est construite à partir de [L] et [T], h est construite à partir de [M], [L] et [T]. Il est possible d'assigner une valeur unitaire à la masse et au temps comme nous l'avons fait précédemment pour obtenir une expression que l'on écrit E = ν.

Si nous voulons une solution plus générale pour démêler des expressions parfois compliquées, nous devons utiliser une autre méthode.

Au début du XXe siècle, Max Planck nota qu'au lieu d'utiliser nos systèmes d'unités familiers (système CGS de son temps) pour définir les valeurs des constantes, nous pouvions utiliser h, c et G et définir ainsi un ensemble "absolu" ou naturel d'unités.

Jusqu'à présent nous nous sommes débarrassés des constantes en les convertissant dans des quantités fondamentales qui ne peuvent pas être subdivisées, comme la masse ou le temps et en convertissant la masse (et n'importe quoi d'autre) en longueur. Mais nous conservons les valeurs numériques des constantes comme des facteurs de conversion. Planck parmi d'autres, a suggéré de supprimer l'importance numérique des constantes en choisissant des unités de mesure dans lesquelles la valeur de chaque constante égale 1. On obtient ce résultat en combinant h, c et G de différentes manières afin de produire des quantités que nous appelons la "longueur de Planck", le "temps de Planck" et la "masse de Planck", dont les dimensions sont une longueur, un temps et une masse "pures".

Par exemple, si nous voulons déterminer l'échelle de longueur naturelle du monde physique, la longueur de Planck, nous pouvons écrire √(hG/c3), de dimension [L]. La valeur numérique de la longueur de Planck est d'environ 10-35 m, soit 20 ordres de grandeur plus petite que la taille du proton. Le temps de Planck équivalent, √(hG/c5), est d'environ 10-43 secondes et la masse de Planck, √(hc/G), vaut environ 10-8 kg. (On en déduit que le rayon gravitationnel d'un trou noir ayant la masse de Planck vaut la longueur de Planck).

Dans ces unités, h, c et G ont pour valeur numérique 1. Par exemple, la vitesse de la lumière vaut 1 car il faut 1 temps de Planck pour qu'elle parcourt 1 longueur de Planck. Et il n'y a aucune raison qui nous empêche d'appliquer notre méthode précédente pour convertir toute autre unité en longueur. Il ne s'agit pas simplement d'une supposition gratuite; les relativistes en particulier, utilisent très souvent des équations dans lesquelles c, G, h et les autres constantes sont ignorées pour simplifier les calculs. Toutes ces constantes fondamentales "encombrent" les équations, affectant la manière de réaliser les calculs. Toute quantité physique doit avoir une valeur et des dimensions significatives. Mais c, G et h ne doivent pas nécessairement en avoir et nous pouvons prédire que les physiciens peuvent travailler sans elles s'ils le désirent.

Mais attention, à trop simplifier, le néophyte finit par faire des erreurs ou des abus de langage. Dans l'exemple précité de la conversion des keV en Hertz, le rayonnement gamma à 511 keV qui se manifeste lors de l'annihilation d'une paire d'électron-positron n'a rien à voir avec une énergie de masse (énergie cinétique convertie en matière) de 511 keV/c2. Il existe évidemment une relation entre les deux phénomènes, mais dans ce cas d'espèce, beaucoup d'écrivains expriment l'énergie de masse de repos en eV, sous-entendant que c=1, d'où les risques de confusion chez le lecteur non averti.

Tout ceci semble un peu ésotérique, intéressant uniquement les relativistes et les théoriciens quantiques. Mais si tout peut être exprimé en termes de longueurs, quelles sont ces longueurs ? Vous pouvez prendre un stylo en main et apprécier son poids comme étant quelque chose de différent de sa longueur que vous appréciez avec vos yeux. La masse du stylo ne constitue pas une simple longueur "additionnelle"de notre monde familier à trois dimensions. Comme nous avons besoin de la 4e dimension du temps quand on parle d'évolution d'un système, on se dit qu'on a peut-être besoin de dimensions spatiales supplémentaires pour évaluer ces autres "longueurs" ou dimensions qui sont invisibles à nos yeux.

Le temps est une dimension spatiale !

Comment démontrer que le temps peut-être assimilé à une dimension spatiale, comme le sont les axes de coordonnées X,Y,Z ? Imaginons un monde à deux dimensions, tel Flatland. Prenons un ballon et faisons-le traverser cet espace. Aux endroits d'intersection entre la sphère et le plan, le ballon va dessiner des cercles concentriques. Vu du plan le point devient un cercle, grossit puis il disparaît graduellement. On peut retourner la flèche du temps et filmer le phénomène inverse. Le ballon évolue donc dans le temps. En réalité les habitants de Flatland ne voient pas la troisième dimension du ballon parce que celle-ci évolue dans... un autre espace, une dimension excédentaire. Cliquer sur l'image pour lancer l'animation.

Chaque dimension devrait correspondre à une quantité physique telle que la masse ou le temps. Ce n'est pas une idée nouvelle, mais elle sous-tend quelque chose qui a récemment été ravivé. Elle offre différentes méthodes pour aborder la question de trouver une description satisfaisante, cohérente et complète du monde physique. Si vous me suivez toujours, je vous invite à présent à une brève excursion dans un univers à 11 dimensions.

Les nouvelles dimensions du monde

Pour essayer de concilier la relativité générale et la physique quantique, une approche très prometteuse est la théorie de Kaluza-Klein, nom donné par les deux pionniers des années 1920 qui ont étendu la théorie de la gravitation de Newton à quatre dimensions dans des dimensions supérieures. Nous en avons parlé à propos de la théorie des supercordes et autre théorie M à 11 dimensions.

Ici, le terme "dimension" a son sens familier qui décrit les directions perpendiculaires les unes aux autres, trois pour l'espace, une pour le temps et ainsi de suite. Cela n'a rien à voir avec les dimensions qui décrivent les qualités physiques d'une propriété telle que la masse ou la longueur.

La théorie de la relativité générale nous explique ce que nous percevons comme étant la force de la gravité en terme de courbure d'un espace-temps à quatre dimensions. Le triomphe initial de la théorie de Kaluza-Klein en 1921 fut le fait qu'elle expliquait l'électromagnétisme en appliquant exactement les mêmes équations que celles de la relativité générale d'Einstein mais dans un référentiel à 5 dimensions d'espace-temps, produit d’un cercle de très petite extension spatiale et des quatre dimensions spatio-temporelles ordinaires.

L'idée provoqua une grande excitation en son temps car on ne connaissait alors que deux interactions, la gravité et l'électromagnétisme. Mais la découverte dans les années 1930 des interactions fortes et faibles qui opéraient uniquement au sein des noyaux atomiques, rendit la théorie de Kaluza-Klein moins attractive. En effet, en ajoutant ces nouvelles forces, les équations devaient tenir compte non pas de deux mais d'une demi-douzaine de "nouvelles" dimensions, pour un total de 11 dimensions ! Ces univers qui ne nous paraissent pas naturels émergent pourtant naturellement de certaines théories cosmologiques modernes parmi lesquelles la théorie des supercordes évoquée précédemment, ce qui a conduit les théoriciens à réexaminer de plus près les idées de Kaluza-Klein avec le succès que l'on sait.

Dans son premier article de 1921, Théodore Kaluza démontra que le champ électromagnétique pouvait être unifié avec la relativité générale dans un monde à cinq dimensions. En 1926, Oskar Klein étendit cette étude aux influences quantiques. En considérant les équations du mouvement d'une particule de charge q, il réalisa que la quantité q√(c2/G) portait les dimensions [M][L][T].

Comme nous l'avons fait précédemment, si nous posons pour condition que les constantes c et G  valent 1, on peut considérer la charge d'une particule comme un moment. Ce moment "appartient" à la cinquième dimension. Mais où est-elle me direz-vous ? Les mathématiciens ont suggéré en 1926 que les dimensions excédentaires étaient enroulées, "compactifiées" comme ils disent au point d'être invisibles.

Une entité à 5 dimensions peut ressembler à un objet à 4 ou 3 dimensions si on l'enroule méthodiquement sur elle-même et si on l'observe à bonne distance. L'objet en fait se recourbe sur lui-même dans une 4e dimension spatiale dont le rayon est à l’échelle de Planck, de l’ordre 10-35 m, trop petit pour être visible avec nos sens ou même nos instruments.

Vers un univers sans constante ?

C'est en explorant la théorie des cordes, qu'en 1986 Gabriele Veneziano, aujourd'hui au Collège de France, émis l'hypothèse que les trois constantes fondamentales, G, c et h pouvaient être réduites à deux. Certains de ses collègues[2] ont même considéré qu'elles pourraient disparaître. Comment sont-ils arrivés à cette conclusion et leur théorie a-t-elle un sens ?

Nous savons que les théories de supercordes tentent d'unifier la mécanique quantique et la relativité générale. Le concept central de ce modèle est une corde en vibration dont la masse est déterminée par sa longueur λs; les différentes particules que nous observons représentent les différents modes de vibration de cette corde. En d'autres termes, la masse est équivalente à une longueur ! 

Des trois dimensions caractéristiques, il ne reste alors que [L] et [T] et les constantes fondamentales dimensionnées c et λs. Dans ces conditions les autres constantes, qu'elles caractérisent une propriété, une classe de phénomènes ou qu'elles soient fondamentales prennent une valeur unitaire et n'apparaissent plus dans les équations. Peut-on encore réduire le nombre de constantes fondamentales ?

En relativité restreinte il existe une équivalence entre l'espace et le temps. Dès lors on peut considérer c comme un facteur de conversion entre des longueurs et des durées. C'est déjà ainsi que nous traitons c dans le langage courant : on parle d'année-lumière pour qualifier tant une distance qu'une durée. Si on considère 1 seconde-lumière, dans ce cas c = 1 et il ne reste que deux constantes, G et h, ayant pour dimension [M] et [T]. Dans ces conditions, la loi d'équivalence d'Einstein, E= mc2 se simplifie en E = m, l'énergie s'exprime en kilogramme dans les dimensions de [M]. Or nous savons que l'énergie d'un phénomène oscillant est inversement proportionnelle à sa période : E = h/T. En considérant la période comme unité de durée, pour un oscillateur quantique d'énergie égale à un kilogramme, on obtient h = 1. Ainsi nous avons fait disparaître c et h et il n'est plus difficile de trouver l'unité dans laquelle G = 1 de manière à faire disparaître la dernière constante fondamentale.

Cette unité, nous l'avons entrevue pour déterminer la masse minimale d'un (mini) trou noir dont la longueur d'onde serait égale à son rayon. Dans ce cas c = h = G = 1, et nous nous retrouvons avec des nombres sans dimension !

Document hhtp://www.phys.unsw.edu.au/~mgb/

Le profil spectral de la structure fine change de position en fonction de la distance d'une nébuleuse. Document MGB.

Rappelons que cette méthode ne s'applique pas seulement à la physique. Les chimistes en font usage dès qu'ils doivent calculer les quantités de réactifs à utiliser dans une formule chimique : c'est le nombre d'Avogadro, la quantité molaire N = 6.02x1023 atomes/mole. Cette valeur représente le nombre d'atomes contenus dans 12 grammes de carbone (N° atomique Z=12). Cette constante fondamentale permet de dimensionner la mole de façon à ce que N = 1. Par exemple, pour obtenir de l'eau, le chimiste nous dit qu'il faut une mole d'hydrogène et une mole d'oxygène, soit 1 H2 + 1 O. Ce faisant, on comptabilise simplement le nombre d'atomes ou de molécules de chaque espèce et on oublie implicitement le nombre d'Avogadro qui devient égal à 1.

On peut se demander s'il suffit de changer les unités pour que les constantes dimensionnées disparaissent ? En fait, la question est plus subtile et nous avons déjà évoqué la réponse dans l'introduction. Trois écoles s'affrontent. A l'heure actuelle, tout le monde s'accorde sur le fait que les trois constantes, G, c et h ont une portée universelle dans le cadre de la physique contemporaine. 

Les adeptes d'une conservation des trois constantes fondamentales avancent que celles-ci définissent les limites des phénomènes naturels et sont indépendantes des théories car elles sont inhérentes à la structure du monde physique. Pour Lev Okun par exemple, de l'Institut de Physique Théorique et Expérimentale (ITEP) de Moscou et défenseur d'une physique à trois constantes, c'est même une question de bon sens. G, c et h sont respectivement des limites de la force d'attraction, de la vitesse maximale et du quantum minimum d'action.

Pour Veneziano, défenseur d'une physique à 2 constantes, tout dépend de l'unification théorique partielle ou complète à laquelle nous pouvons aboutir. La survie des constantes dépend du degré de généralisation de la théorie des cordes ou de l'éventuelle théorie de Tout. Selon Veneziano, la longueur des cordes λs peut remplacer h et G.

Mais Michael Duff adepte d'une physique sans aucune constante, leur répond que pour un extraterrestre, la nature n'est pas faite de gauchers ou de droitiers; c'est une notion anthropocentrique. La réalité est que la nature aime la symétrie et que la différence que nous faisons à propos des constantes n'est qu'une question de convention, pas de substance. A quoi on peut tout de même lui répondre, qu'à l'heure actuelle il n'existe aucun moyen, théorique ou expérimental, pour déteminer quelles seraient les bonnes unités et les bonnes valeurs à utiliser pour faire disparaître ces constantes...

Vers un univers avec de multiples constantes ?

Comme bon nombre de physiciens, Okun et Veneziano reconnaissent malgré tout que la constante de Planck ne disparaîtra probablement jamais des théories car il est plus facile de travailler avec cette unité que de trouver un subterfuge pour l'éliminer... 

Le physicien Jean-Marc Lévy-Leblond, professeur émérite de l'Université de Nice, nous rappelle que quel que soit le degré de réduction d'une théorie, les objets seront toujours caractérisés par un certain nombre de constantes (spécifique, générales ou fondamentale) irréductibles.

On peut même avancer qu'à l'avenir, nous tendrons probablement temporairement vers un accroissement du nombre de constantes plutôt que vers une décroissance ainsi qu'en témoigne les avancées en théories unifiées des champs : le modèle Standard des particules élémentaires tient compte de 28 paramètres arbitraires (les 12 bosons de jauge parmi lesquels le photon et les 8 gluons, le boson de Higgs, les 12 fermions dont 5 quarks et 6 leptons, le graviton, etc). Si on peut envisager que tous ces paramètres dépendent du seul paramètre de couplage des cordes gs (et de la tension des cordes), il sera malgré tout  très difficile de calculer les solutions des équations en tenant compte uniquement de cette constante. En effet, comme en mécanique céleste où l'orbite elliptique d'une planète obéit à la mécanique de Kepler et de Newton, la taille ou la distance interfocale de cette ellipse requiert des paramètres supplémentaires qui dépendent de la position et de la vitesse initiale du corps. Il en est de même en mécanique quantique. L'équation contractée des interactions entre particules est peut-être simple et élégante, mais ses solutions requièrent l'introduction de paramètres supplémentaires irréductibles fonction des propriétés dynamiques et géométriques du vide quantique.

Etant donné qu'il nous est impossible de qualifier le "paysage des vides potentiels", même dans leur état de minimum d'énergie du fait que chaque minima d'énergie obéit à ses propres lois physiques, on ne pourra donc probablement jamais calculer les constantes fondamentales du modèle Standard. Tout au mieux pourra-t-on peut-être démontrer, comme essaye de le faire Stephen Hawking, que nous sommes issus de la fonction d'onde la plus probable de l'Univers, d'un ajustement très précis des constantes capable de créer des êtres intelligents capables de s'interroger sur leur existence. Mais aux adaptes du principe anthropique, on peut également leur dire que si les constantes avaient été fort différentes, aucun physicien ne serait là pour s'en étonner...

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[2] "Trialogue on the number of fundamental constants", Michael J.Duff, Lev B. Okun et Gabriele Veneziano, 2001.


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