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Recueil d'exercices d'astronomie

Mécanique céleste (I)

Nous avons rassemblé dans ces pages les principales formules de mécanique céleste et d'astrophysique qui permettent d'évaluer la vitesse, la distance, la magnitude, la masse ou la dimension d'un astre, calculer la date de son prochain passage ou convertir des coordonnées dans d'autres systèmes. Afin de rendre cette matière plus attractive des graphismes viennent ci et là illustrer les questions.

Ces questions et réponses requièrent parfois un minimum de connaissances en astronomie, en mathématique ou en physique (trigonométrie, lois de Kepler, ...). Chaque fois que cela est possible les données clés sont décrites et si nécessaire la réponse est commentée en quelques lignes. La plupart des sujets sont toutefois développés avec moult détails dans les autres pages éducatives de ce site (rubrique Dossier, Science, Technique) tandis que le glossaire rassemble les mots de vocabulaire qui vous sembleraient abscons.

Par soucis de clarté ce formulaire est divisé en quatre rubriques :

Périodes et projectionsMasse et dimensionsConversions - Physique et Cosmologie

- Périodes et projections -

En supposant que l'ombre de la Lune projette une image plane sur la surface de la Terre durant une éclipse totale de Soleil, quelle est le diamètre de l'ombre de la Lune ?

Si le diamètre du Soleil D = 1392000 km, le diamètre de la Lune d = 3476 km, le rayon de la Terre R = 6370 km, la distance moyenne Terre-Lune l = 384000 km et la distance moyenne Terre-Soleil L = 150 millions de km, le diamètre O de l'ombre de la Lune vaut :

Si nous prenons des valeurs moyennes, le résultat est négatif ; l'éclipse est annulaire car l'ombre n'atteint pas la surface de la Terre. Pour calculer le diamètre maximum de l'ombre portée par la Lune sur la Terre, l'ombre doit pour ainsi dire "pénétrer dans la Terre" pour être suffisamment large en surface. Il faut donc "éloigner" la Terre du Soleil afin que la Lune présente un plus grand diamètre apparent en prenant la distance Terre-Soleil la plus grande (152 millions de km) et "rapprocher" la Lune de la Terre en prenant sa distance au périgée (356500 km). Au cours d'une éclipse de Soleil l'ombre de la Lune peut mesurer jusqu'à 274 km de diamètre.

Quelle est l'opposition la plus proche de Jupiter, sachant que la planète était au 1er mars à la longitude héliocentrique de 306°55' et la Terre à 99°55' ?

Le mouvement diurne de la Terre est de 59'1", celui de Saturne = 2', Jupiter = 5', Mars = 31'4", Vénus = 96'1" et celui de Mercure 245'5".

( 99°55 + 59'1 X) - (306°55' + 5' X) = 0

         X = (207 x 60) / 54

X = 230 jours

L'opposition la plus proche de Jupiter aura donc lieu 230 jours après le 1 mars soit le 17 octobre de cette année-là.

A quelle altitude se trouve un satellite artificiel s'il boucle son orbite en 100 minutes ?

Ce calcul est basé sur la 3eme loi de Kepler qui lie la période orbitale à la distance qui sépare le couple (soleil-planète, planète-satellite, etc) :

Troisième Loi de Kepler  :  

avec T la durée de révolution de la Terre, a le demi-grand axe de l'orbite terrestre et T1 et a1 les valeurs équivalentes rapportées au satellite (ou à la planète dans le cas du Soleil). Dans ce cas-ci l'astuce est d'utiliser la Lune comme valeur étalon puisque nous connaissons trois des quatres inconnues de cette relation.

Nous devons donc utiliser la période orbitale de la Lune exprimée en jour (Tp = 27.371 jours), convertir la période orbitale Ts du satellite en jour (Ts = 100 min /1440 jours) et utiliser la distance Terre-Lune (Dp = 384000 km) pour calculer la distance ds du satellite par rapport au centre de la Terre puis, connaissant le rayon de la Terre (Rp = 6370 km), calculer l'altitude hs du satellite :

hs = ds - Rp

Ce satellite orbite à une altitude de 772 km.

Nous verrons dans la catégorie "Masse et dimensions" qu'on peut également utiliser la troisième loi de Kepler complétée par celle de la gravitation de Newton pour calculer la masse d'un astre à partir du rayon de son orbite.

Quelle est la magnitude visuelle d'une comète le jour de sa découverte ainsi que celle de son noyau si le rayon vecteur r = 2.94 U.A. et sa distance au Soleil 3.46 U.A. ?

La magnitude visuelle Mv d'une comète obéit à la relation :

Mv = Mobs + 5 log d + 10 log r

Mv = 21.2

La magnitude visuelle Mvn du noyau obéit à la relation :

Mvn = 7.5 + 5 log d + 10 log r

Mvn = 14.9

Quelle est la périodicité des fenêtres astronomiques Tp pour atteindre Mars, connaissant sa période de révolution synodique Tsyn ?

Pour rappel Tp se calcule à partir de la relation suivante :

Tp = 780.22 j, ce qui correspond aux oppositions de Mars favorables à son observation qui se produisent durant les mois de juillet à septembre.

Quelle est la distance ρ entre la Terre et Vénus si l'angle héliocentrique θ = 70° et dans quelle position se trouve Vénus vis-à-vis de la Terre ?

L'angle héliocentrique θ est égal à la différence entre la longitude héliocentrique de la Terre et celle de la planète considérée.

Appliquons les règles trigonométriques en prenant la distance Terre-Soleil comme unité :

avec a, le demi-grand axe de la planète.

Pour θ = 70° et a = 0.72 U.A alors,

ρ = 1.01 U.A. ou 152 millions de km.

Vénus est près d'élongation Est.

Si l'élongation angulaire de Vénus au Soleil atteint 46°, quelle est la distance de cette planète au Soleil en U.A. et en kilomètres ?

sin 46° = 0.72 U.A, soit 108 millions de km

Si Saturne se trouve à 10 U.A. du Soleil, quelle serait l'élongation E maximale de la Terre dans le ciel de cette planète ?

 E = arc sin 1/10

La Terre ferait un écart de 5.7° avec le Soleil.

Quelle est la longueur L de la queue de la comète de Halley le 10 avril 1910 si r = 0.59 U.A., Δ = 1.54 U.A., E = 10.99°, l = 0.1° ?

Pour rappel, cos l = sin d1 sin d2 + cos d1 cos d2 cos (a1 - a2

d1 et d2 étant respectivement les coordonnées de la coma et de la queue.

Pour Halley 1910, L = 2.10788 x 10-3 U.A. soit 310000 km.

Quelle est la vitesse de Bruxelles exprimée en m/s sous l'effet de la rotation diurne de la Terre ?

Tout astre décrit dans le ciel une ellipse dont le demi-grand axe vaut :

avec :

R, le rayon terrestre en km

c, la vitesse de la lumière

ϑ, la latitude du lieu

Pour Bruxelles, située à 51° de latitude nord, la vitesse est de 291.5 m/s.

NB. La rotation diurne de la Terre donne lieu à une aberration dite diurne de 0.32" à l'équateur où la vitesse atteint 464 m/s. Au pôles cette aberration est nulle.

A quelle latitude devrons-nous être pour que la vitesse diurne de la Terre soit deux fois plus lente qu'à Bruxelles (θ = 51°) ?

arc cos (cos θ / 2) = 71°6' de latitude.

Quelle est la longueur du cône d'ombre de la Terre lors d'une éclipse de Lune ?

Si D est la distance Terre-Soleil, R le rayon du Soleil, r celui de la Terre, le diamètre O de l'ombre de la Lune vaut :

Sachant que la distance Terre-Soleil est d'environ 148.5 millions de km, l'ombre de la Terre mesure 1368664 km.

Quelle est la distance r d'une étoile au Soleil exprimée en parsec si sa vitesse radiale corrigée de tous les effets Vr = 30 km/s, sa longitude galactique l = 345° connaissant l'influence de la rotation des étoiles autour du noyau galactique ?

L'influence de la rotation des étoiles autour du noyau galactique est donné par la formule approchée :

Vr = A r sin 2(l - lo)

avec,

r = distance de l'étoile en parsec

A = constante de 0.020 km/s par parsec

l = longitude galactique de l'étoile

lo = 325° (longitude du centre de la Galaxie)

r = 30 / (0.02 sin 40)

r = 2400 parsecs

Quelle est la somme des masses stellaires d'un couple visuel dont la période P est de 20 ans, la séparation maximale ϑ vaut 7.5" et la parallaxe π vaut 0.50" ? Nous considérons que l'inclinaison orbitale vaut zéro et l'orbite circulaire.

(M1 + M2) = a3/P2

(M1 + M2) = (a/π)3 / P2

(M1 + M2) = (7.5 / 0.5)3 / 202

(M1 + M2) = 8.4 M

Le compagnon d'un système binaire à éclipse présente une période orbitale P de 3 jours, chaque éclipse dure 5 heures et la phase de totalité dure 3 heures. Si le compagnon est séparé de l'étoile centrale de 11.5 x 106 km que vaut leur rayon respectif  Rs et Rl ?

Formules : (M1 + M2) P2 = a3; Rs/a = π (t2 - t1) / P ; Rl/a = π (t4 - t2) / P

P = 3 x 24 = 72 heures ; t2 - t1 = 1 h; t4 - t 2 = 4 h

Rs = a π (t2 - t1) / P

Rs = 11.5 x 106 km π 1h / 72h = 5.0 x 105 km

Rl = a π (t4 - t2) / P

Rl = 11.5 x 106 km π 4 h/ 72 h = 2.0 x 106 km

Combien de temps (t) peut encore briller avec sa luminosité actuelle une étoile naine de classe spectrale O5 constituée à 100% d'hydrogène et convertissant seulement 10% de son énergie en hélium ?

Données : Spectre O5 ; M = 60 M ; Mv = -5.7

t = E / L

Mv(O5) - Mv = -2.5 log (L(O5) / L)

D'où :   L(O5) = 2.96 x 104 L

E = 4.3 x 10-12 x 0.1 x M / (4 x 1.67 x 10-27)

E = 7.68 x 1045 Joules

t = E / L = 6.66 x 1014 s = 21 millions d'années.

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