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Recueil d'exercices d'astronomie

Mécanique céleste (II)

- Périodes et projections -

Connaissant la vitesse de rotation des taches solaires T = 14.37° - 2.79 sin2 θ, θ étant la latitude héliographique des taches, quelle est la vitesse de rotation des taches à l'équateur, à 30°  et 45° de latitude et dans combien de jours les taches de l'équateur rattraperont-elles les taches situées à 30° de latitude ?

Période de rotation à l'équateur = 25.05 j

Période de rotation à 30°  = 26.34 j

Période de rotation à 45°  = 27.75 j

Les taches équatoriales mettront donc 510 jours pour devancer d'un tour les taches situées à la latitude de 30°.

Quelle est la profondeur des taches solaires si la distance angulaire apparente de la tache au centre du disque au moment où la paroi intérieure se confond avec le rayon visuel et mesurée au micromètre est de 10' ?

On suppose que les hauteurs a'b' = ab et l'on connaissant la distance de l'observateur au Soleil OC.

bc = ab cotg α

bc = 8900 km

Ainsi lors de la rotation du Soleil sur lui-même, le bord de la pénombre des taches situées près du limbe cessera d'être visible avant que cette tache ai réellement disparu sur l'autre face du Soleil. Ceci prouve que la forme des taches s'apparente à celui d'un entonnoir.

Note. Pour calculer la longueur des taches solaires à partir de mesures prises en coordonnées héliographiques reportez-vous à ce document.

Quel est le rayon D de l'orbite du compagnon sombre d'un système binaire à éclipse de type Algol exprimé en unité de rayon R de l'étoile brillante en admettant que l'orbite est circulaire, que les rapports entre les rayons des étoiles r/R est connu, de même que la période de luminosité P et la durée p de cette variation ?

Quelle est la durée des oscillations d'un pendule dont le poids pèse 5 kg et la corde mesure 40 cm ?

La période T d'un pendule est indépendante de son poids et dépend uniquement du rapport de la longueur de la corde à la force d'attraction. Par ailleurs quelle que soit la longueur du pendule, son amplitude est constante.

La longueur réelle de la corde du pendule est de 12750000.4 m par rapport au centre de la Terre et g = 9.81 m/s2.

La période du pendule T = 7163 secondes ou environ 1h58m sans tenir compte des frottements.

Au premier quartier, la Lune est âgée de 7.1 j et la colongitude ϑ = 0°. La longueur apparente de l'ombre projetée par le piton Caucases est estimée à L = 150" sélénographiques, quelle est la hauteur H de ce pic ?

Pour rappel la colongitude lunaire ϑ représente l'angle de phase au terminateur.

La formule générale s'écrit :

H = L tg ϑ

Si le rayon lunaire vaut 1738 km et le facteur de conversion radian - sec d'arc, k = 4.8x10-6, la formule s'écrit :

Ce pic s'élève à 1.25 km au-dessus de la surface lunaire.

Tous les reliefs situés sur la même ligne du terminateur, donc éclairés sous le même angle par le Soleil, présentent la même colongitude. Cette valeur est mentionnée dans les almanachs d'astronomie et les atlas lunaires.

Quel est le demi grand-axe de l'orbite de Mars en application de la 3eme loi de Kepler ?

Pour rappel, la 3eme loi de Kepler est :

avec,

T la durée de révolution de la Terre

a, le demi grand-axe de l'orbite terrestre

T1 et a1 les valeurs équivalentes rapportées à Mars.

Si a = 1 U.A. et T = 365.25 j alors a1 = 1.8 U.A. ou 227.8 millions de kilomètres.

Kepler a inventé 3 lois : l'une concerne les orbites des planètes (elliptiques), la seconde leurs vitesses (loi des aires) et la troisième, celle-ci lie la période orbitale à la distance qui sépare le couple.

Une étoile se rapproche du système solaire à la vitesse v. Dans combien d'années A son éclat apparent sera-t-il n fois plus élevé si sa distance d est exprimée en années-lumière ?

Si la vitesse de l'étoile forme un angle φ avec la direction Terre-Etoile, sa vitesse radiale Vr = v cos φ.

On applique ensuite la formule suivante :

Ainsi pour Sirius, située à 8.8 années-lumière, chaque seconde sa distance au système solaire diminue de 8 km. Son éclat sera double dans 97000 ans.

Déterminer le type de queue associée aux comètes présentées ci-contre selon la classification de Fédor Bredikhine

Pour rappel, Fédor Bredikhine a définit trois types de queue :

- Type I : la queue de la comète est confondue avec le rayon vecteur sur la voûte céleste

- Type II : la queue s'écarte légèrement du rayon vecteur

- Type III : la queue s'écarte très fort du rayon vecteur en s'incurvant. Parfois dénommée anti-queue.

Tout point de la projection du rayon vecteur de la comète sur la sphère céleste vérifie l'équation :

où,

α, δ   = coordonnées de la projection

αo, δo= coordonnées du Soleil à cet instant

α1, δ1= coordonnées de la coma.

Si le demi grand-axe d'une comète vaut a = 4 U.A., l'excentricité de son orbite e = 0.66144, quelle sera l'anomalie vrai ν (la distance angulaire au périastre) et le rayon vecteur r de la comète un an après son passage au périhélie ?

Grâce à la 3eme loi de Kepler nous savons que la période T = a3/2. Il faut donc 8 ans pour que cette comète accomplisse 360°.

Un an après le passage au périhélie, l'anomalie moyenne vaut 360/8 = 45°.

On peut donc replacer ν dans l'équation de Kepler, E étant l'anomalie excentrique :

45° = E - 0.66144 sin E

Pour rappel, l'anomalie vrai ν obéit à la relation :

r = a (1- e cos E)

E = 37°34.4' ; ν = 125°35.6'; a = 4 (cfqd); r = 3.6483 U.A.

Si la période avait été de 2 ans, E = 122.06°, ν = 151°57.7', r = 5.4061 U.A.

A quel instant t l'étoile Proxima du Centaure se trouvera-t-elle à la plus courte distance du Soleil sachant que la vitesse spatiale de l'étoile (ses vitesses radiale Vr = -22 km/s et tangentielle Vt = 23 km/s) forme avec le rayon visuel de l'observateur un angle ψ et connaissant sa parallaxe π = 0.758", son mouvement propre μ = 3.68" et sa magnitude apparente m = 0.06 ?

Nous devons déterminer la durée que l'étoile mettra pour parcourir la distance MS, ce qui nous conduira à calculer sa parallaxe future ainsi que son mouvement propre et sa magnitude visuelle future à partir des valeurs données.

Appliquons au triangle SMO les règles trigonométriques :

OM = OS sin ψ

Les segments OM et OS valent (en U.A.) :

OM = 206265/ π'

OS = 206265/ π

d'où π' = π / sin ψ.

Si la magnitude visuelle obéit à la relation : m - Mabs = 5 + 5 log d,

d étant la distance de l'étoile, alors :

Mabs =  m  + 5 + 5 log π ou

Mabs =  m' + 5 + 5 log π'

alors,

m' = m + 5 log π - 5 log π'

m' = m + 5 log sin ψ

Déterminons les valeurs futures :

La vitesse le long de MS = 4.74 U.A. par an.

Le temps t pour parcourir la distance MS est donc :

Si Vr < 0 et t < 0, l'étoile se rapprochera dans le futur.

Appliqué à Proxima du Centaure, nous trouvons : t = 30050 ans, π' = 1.05", μ' = 7.11", m' = -0.09.

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