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Recueil d'exercices d'astronomie Mécanique céleste (III) Périodes et projections - Masse et dimensions - Conversions - Physique et Cosmologie - Masses et dimensions - Quelle est la masse M du Soleil si la vitesse angulaire ω de la révolution de la Terre est proche de 1° par jour et la distance R de la Terre au Soleil est connue ? Pour calculer la masse du Soleil M, on peut utiliser la loi de la gravitation de Newton : combinée à la deuxième loi de Kepler appliquée au mouvement de la Terre autour du Soleil :
avec ω, la vitesse angulaire G, la constante de la gravitation universelle (G = 6.674 x 10-11 m3/kg.s2 ou 6.674 x 10-11 Nm2 / kg2) M, la masse du Soleil R, la distance de la Terre au Soleil (149 597 870 x 103 m). 1°. On convertit ω en radians par seconde : 1° = π/180 radians sachant qu'une journée (arrondie à 24 heures) = 86400 secondes, donc : ω = 1°/jour = π / (180 x 86400) rad/s. 2°. On peu isoler la masse du Soleil M de l'équation (1) : et substituer les valeurs connues pour ω2, R3 et G : M = [(2.02 x 10-7)2 x (1.4959787 x 1011)3) / (6.674 x 10-11) = 4.08 x 10-14 x 3.35 x 1033 / 6.674 x 10-11 ≈ 1.99 x 1030 kg. Telle est la masse Soleil. Quelle est la masse d'Uranus sachant que son satellite Obéron boucle son orbite en 13.5 jours à 582600 km de distance ? Appliquons la loi de la gravitation de Newton le signe moins signifie que la force est attractive) : avec la constante de la gravitation universelle G = 6.674 x 10-11 m3/kg.s2; F, la force entre deux objets de masses M et m et d, la distance entre les deux objets. Combinons cette formule avec la troisième loi de Kepler (T2/a3 = constante) modifiée et simplifiée pour une orbite circulaire : T2 = (4π2r3) / GM avec T, la période orbitale d'Obéron r, la distance entre Uranus et Obéron G, la constante de la gravitation universelle (G = 6.674 x 10-11 m3/kg.s2) M, la masse d'Uranus à calculer. Réorganisons la formule : M = (4π2r3) / GT2 Etapes du calcul : La période orbitale T (ou P) = 13.5 jours soit 13.5 x 24 x 3600 secondes sit environ 1166400 secondes Le rayon orbital r = 582600000 m. En remplaçant ces valeurs dans la formule on obtient : M = (4π2 x 5826000003) / (6.674 x 10-11 x 11664002) M ≈ 8.68 x 1025 kg. C'est plutôt léger pour une planète de cette taille (50724 km de diamètre) car Uranus est une planète gazeuse d'une densité moyenne de seulement 1.27. Quelle serait la masse d'Uranus en appliquant la troisième loi de Kepler, si on compare Uranus et Titania au système Terre-Lune ? Pour rappel, la 3e loi de Kepler est : avec, T, la période orbitale (ou durée de révolution) de la planète (ou de la Lune) a, le demi grand-axe de l'orbite de la planète (ou de la Lune) T1 et a1 les valeurs équivalentes rapportées à une autre planète (ou une lune). Si T1 et a1 sont respectivement la période orbitale et la distance du satellite/de la lune relativement à la planète, M la masse de la Terre, T et a les période orbitale et la distance rapportées à la Lune, à partir des valeurs suivantes : Masse de la Terre : 5.97 x 1024 kg = 1 Lune : T = 27.32 jours et a = 384400 km Titania : T1 = 8.7 jours et a1 = 436000 km on obtient pour la masse M d'Uranus : Si on prenait à titre de comparaison la masse du Soleil plutôt que la masse de la Terre, la période et la distance seraient rapportées à la Terre. Quelle est le diamètre d'un astéroïde pesant 1.26 x 1013 kg et d'une densité de 3 ? Pour calculer la taille d'un astre à partir de sa masse M et de sa densité ρ (ou sa masse volume en kg/m3), il faut combiner deux relations : - La masse M = ρV - Le volume d'une sphère V = 4/3 πr3, avec r le rayon de l'astre. M = ρ 4/3 π r3 r3 = M (ρ 4/3 π) r = M (ρ 4/3 π)1/3 On obtient : r3 = (1.26 x 1013 ) / (3 x 4/3π) = (1.26 x 1013) / 4π r3 = (1.26 x 1013 ) / 12.5664 = 1.00288 x 1012 m3 r = (1.00288 x 1012 m3)1/3 = 10000 m = 10 km. Cet astéroïde mesure donc 20 km de diamètre. Quelle est la masse d'un astéroïde mesurant 1 km de diamètre et d'une densité de 3 ? Pour calculer la masse M d'un astre à partir de son diamètre (ou son rayon r) et de sa densité ρ, on utilise les relations suivantes : - La masse M = ρV - Le volume d'une sphère V = 4/3 πr3, avec r le rayon de l'astre (500 m dans notre exemple). Le volume de l'astéroïde vaut : V = 4/3 π (500)3 = 4/3 π x 1.25 x 108 m3 = 5.236 x 108 m3 La masse de l'astéroïde vaut : M = 3 x 5.236 x 108 kg = 1.571 x 109 kg. Par comparaison, pour une même densité de 3, un astéroïde de 10 km de diamètre pèse 1.571 x 1012 kg, un astéroïde de 100 km de diamètre pèse environ 1.57 x 1018 kg et une lune de 1000 km de diamètre pèse environ 1.57 x 1021 kg. Si le Soleil dont la masse relative m = 1 M devenait un trou noir, quel serait son diamètre ? Disons tout de suite que c'est impossible car sa masse est trop faible et les forces de liaisons interatomiques empêchent son effondrement total. Faisons malgré tout le calcul. Le rayon de Schwarzschild Rs correspond à l'horizon des événements d'un trou noir et se définit par la relation suivante : Rs = 2 G M / c2 avec G, la constante de la gravitation universelle (6.674 x 10-11 m3/kg.s2) M, la masse du Soleil valant 1.989 x 1030 kg c, la vitesse de la lumière arrondie à 3 x 108 m/s. On obtient : Rs = (2 x (6.67 x 10-11) x (1.989 x 1030)) / (3 x 108)2 = (2.65344 x 1020) / (9 x 1016) Rs = 2.948 km. Cette valeur ne tient pas compte du disque d'accrétion éventuel. En général, quand on évoque la taille d'un trou noir, il s'agit de son diamètre et donc de 2 Rs = 5.896 km. Dans le cas du Soleil, son horizon des événements mesurerait donc ~5.9 km de diamètre. Quel est le rayon de Schwarzschild Rs d'un trou noir de 3.6 M ? Le rayon de Schwarzschild Rs correspond à l'horizon des événements d'un trou noir et se définit par la relation suivante : Rs = 2 G M / c2 avec G, la constante de la gravitation universelle (6.674 x 10-11 m3/kg.s2) M, la masse de l'astre valant 3.6 x (1.99 x 1030) kg c, la vitesse de la lumière arrondie à 3 x 108 m/s.) On obtient : Rs = (2 x (6.67 x 10-11) x (3.6 x 1.99 x 1030)) / (3 x 108)2 Rs = 11 km. Cette valeur ne tient pas compte du disque d'accrétion éventuel du trou noir. En général, quand on évoque la taille d'un trou noir, il s'agit de son diamètre et donc de 2 Rs = 22 km dans notre exemple. Quelle est la force de marée exercée sur une personne pesant 90 kg et mesurant 2 m à une distance de 3000 km d'un trou noir de 10 M ? Fmarée = (2 GMm Δh) / r3 avec G, la constante de la gravitation universelle (6.674 x 10-11 m3/kg.s2) M, la masse du trou noir m, la masse la personne Δh, la hauteur de la personne r, la distance séparant les deux corps. Etapes du calcul : M = 1.99 x 1030 x 10 kg (10 fois la masse du Soleil) r3 = (3 x 106)3 = 2.7 x 1019 m. Fmarée = (2 x 6.674 x 10-11 x 1.99 x 1031 x 90 x 2) / (2.7 x 1019) ≈ (2.39 x 1023) / (2.7 x 1019) ≈ 8850 Newtons. La masse équivalente en kilogramme = F/g où g = 9.81 m/s2 : ≈ 8850 / 9.81 = 902 kg. La force de marée exercée sur la personne est de 8.85 kN ou 902 kg. Cela correspond à une accélération gravitationnelle de 98.3 m/s2, soit environ 10 fois la gravité terrestre. La force de marée augmente exponentiellement à mesure qu'on s'approche de l'horizon des événements du trou noir. A 300 km de l'horizon des événements de ce trou noir de 10 M, la force de marée serait de 8.85 MN ou 902 tonnes et atteindrait 239 GigaNewtons (GN) ou 24.4 millions de tonnes à 10 km du trou noir. L'horizon des événements de ce trou noir de 10 M correspond à 2 fois son rayon de Schwarzschild et mesure 59 km de diamètre (contre 5.9 km de diamètre pour un trou noir de 1 M). Quelle est la force de marée exercée sur une personne pesant 70 kg et mesurant 1.80 m à une distance de 10 km d'un trou noir de 1 M ? Fmarée = [(2 GMm) / R3] x d avec G, la constante de la gravitation universelle (6.674 x 10-11 m3/kg.s2) M, la masse du trou noir m, la masse la personne R, la distance entre le centre du trou noir et la personne d, la hauteur de la personne. Etapes du calcul : M = 1.99 x 1030 kg R3 = (104)3 = 107 m. Fmarée = (2 x 6.674 x 10-11 x 1.989 x 1030 x 70 x 1.80) / (104)3 ≈ (3.348 x 1022) / 1012) ≈ 3.348 x 1010 N ou 33.5 milliards de Newtons. La masse équivalente en kilogramme = F/g où g = 9.81 m/s2 : ≈ (3.348 x 1010) / 9.81 = 3.41 x 109 kg. A 10 km du centre de ce trou noir de 1 M, la force de marée exercée sur la personne est de 3.41 milliards de kg. L'horizon des événements de ce trou noir mesure 5.9 km de diamètre (2 Rs). Par comparaison, la force de marée subie par cette personne à 100 km de ce trou noir de 1 M serait de ~2710 tonnes (~26.63 MN), de ~2.71 tonnes (~26.63 kN ) à 1000 km, de ~2.71 kg (~26.63 N) à 10000 km de distance et devient négligeable à 1 UA à hauteur de la Terre où l'attraction de la Lune devient dominante à petite échelle (cf. les marées). Quelle est la taille de Bételgeuse (α Ori) si son indice de couleur I.C. = 1.86 et sa magnitude absolue M = - 5.14 ? On définit la variation du rayon R des étoiles en fonction de l'indice de couleur (IC) et de la magnitude absolue M. Rapporté au Soleil, son rayon R mesure : R = 10(0.82 IC - 0.2 M + 0.5) soit 1130 fois le rayon du Soleil ! Consulter le dossier sur les magnitudes pour d'autres calculs. Quelle est la luminosité de Canopus, une étoile de Classe I, si M = ~20 M l'indice faisant référence au Soleil) ? Tant que l'étoile se trouve sur la Séquence principale (ni géante ni naine), on peut utiliser la relation Masse-Luminosité classique. Pour les étoiles massives, nous devons remplacer l'exposant 4 de la relation L M4 par un exposant 3.45 : L = 10(3.45 log M) L et M = 10(3.45 log L) M L = 30800 L Trois autres formules peuvent être utilisées pour les étoiles de le Séquence principale : Si leur masse < 0.5 M et leur spectre compris entre K0 et M7 : log (L/L) = 2.6 log (M/M) - 0.3, soit L = 10((2.6 log M) - 0.3) L Si leur masse est comprise entre 0.5 et 2.5 M et leur spectre compris entre B8 et K0 : log (L/L) = 3.8 log (M/M), soit L = 10(3.8 log M) L Si leur masse > 2.5 M et leur spectre compris entre O et B8 : log (L/L) = 2.6 log (M/M) + 0.5, soit : L = 10((2.6 log M) +0.5) L Si Mimas gravite à 185000 km du centre de Saturne (R), présente une densité ρm = 1.2, si celle de Saturne vaut ρs = 0.69, à quelle distance D se trouve la limite de Roche, zone instable dans laquelle tout corps est détruit ? La limite de Roche se situe à 121739 km. Mimas se trouve au-delà de cette distance. En revanche les satellites S10 et S11 sont à situés à 10000 km seulement de cette limite. La courbe de rotation stellaire de la galaxie M32 présente un pic de 65 km/s à une distance angulaire de 0.35". En considérant que M32 se situe à la même distance que M31 (0.75 Mpc), quelle est la masse contenue dans ce rayon ? Calcul du rayon à considérer : v = 65 km/s r = θ x d r = (0.35 / 206265) x 0.75 x 106 x 3.086 x 1016 m r = 3.93 x 1016 m Calcul de la masse : G (M m) / r2 = (m v2) / r M = v2 r / G M = (65 x 103)2 x 3.93 x 1016 / 6.67 x 10-11 kg M = 2.48 x 1036 kg = 1.25 x 106 M Une étoile variable Céphéïde d'une période de 10 jours présente un rayon moyen de 100 R et une vitesse radiale moyennée de 15 km/s. De quelle valeur ΔR change son rayon au cours des pulsations ? ΔR = (V x P) / 2 = 15 km/s x 5 jrs x 24 h x 3600 s = 6.5 x 106 km = 9.3 R A quelle distance minimale l'étoile d'un système binaire constitué d'une étoile comme le Soleil (de densité uniforme et placée sur une orbite circulaire pour la facilité de l'exercice) et d'un trou noir de masse doit-elle se trouver pour éviter d'être écartelée et disloquée par les forces de marée du trou noir ? La force de marée Fmarée exercée par un trou noir de masse M sur une étoile de masse m située à une distance r peut être approximée par la relation suivante : Fmarée ≈ (2GMm Δh) / r3 avec Δh, la taille de l'étoile. La force gravitationnelle F entre l'étoile et le trou noir séparés d'une distanc r est donnée par la loi de la gravitation de Newton (le signe moins signifie que la force est attractive) : avec G, la constante de la gravitation (G = 6.674 x 10-11 m3/kg.s2). Pour que l'étoile ne soit pas disloquée par les forces de marée, nous devons avoir : Fmarée < F En remplaçant les formules, nous avons : (2GMm Δh) / r3 < (2GMm) / r2 En simplifiant l'équation, on obtient : ((2Δh) / r3) < (1 / r2) En multipliant chaque côté par r3, on obtient : 2 Δh < r La distance minimale r à laquelle l'étoile doit se trouver pour éviter d'être disloquée est : r > 2 Δh (2) Pour une étoile de type solaire, son rayon est similaire à celui du Soleil et représente Δh. Pour le Soleil : Δh ≈ 6.96 x 108 m En substituant cette valeur dans l'inéquation (2), on obtient : r > 2 x 6.96 x 108 m ≈ 1.39 x 109 m La distance minimale à laquelle l'étoile doit se trouver pour éviter d'être disloquée par les forces de marée du trou noir est donc d'environ 1.39 million de kilomètres. Sachant que la masse de Jupiter MJ = 318 fois celle de la Terre (rT) et que son rayon rJ = 11 fois celui de la Terre, quelle est la valeur de la gravité gJ au sommet de la couche nuageuse ? Masse de Jupiter : MJ = 318 MT = 3.18 x 5.972 x 1024 kg ≈ 1.89 x 1027 kg Rayon de Jupiter : rJ = 11 rT = 11 x 6.371 x 106 m ≈ 7.007 x 107 m Formule de la gravité : gJ = (G MJ) / rJ2 (3) avec G, la constante de la gravitation universelle (G = 6.674 x 10-11 m3/kg.s2). Calculons rJ2 : rJ2 = (7.007 x 107)2 ≈ 4.91 x 1015 m2 Substituons les valeurs dans la formule (3) : gJ = [(6.674 x 10-11) (1.89 x 1027)] / (4.91 x 1015) ≈ (1.26 x 1017) / (4.91 x 1015) ≈ 25.66 m/s2. Au sommet des nuages de Jupiter, la force g, l'accélération de la pesanteur est ~2.6 fois plus forte qu'à la surface de la Terre. Comparés à la Terre, quel est volume, la masse et la force de gravité de la Lune ? 1°. On calcule le rapport de volume entre les deux astres : Au préalable il faut calculer le rapport du rayon entre les deux astres afin de pouvoir calculer leur volume relatif : Le rayon moyen de la Lune, RLune = 1737 km le rayon moyen de la Terre, RTerre = 6371 km Le rayon de la Lune, RLune = 14737 / 6371 = 0.2726 fois celui de la Terre, soit 7 fois plus petit que celui de la Terre. On peut à présent calculer le volume de la Lune par rapport à celui de la Terre : Le volume de la Lune, VLune = RLune3 VLune = 0.27263 = 0.02026 fois le volume de la Terre soit environ 1/49 (généralement arrondi à 1/50) 2°. On calcule le rapport de masse entre les deux astres : La masse de la Lune, MLune = 7.348 x 1022 kg. La masse de la Terre, MTerre = 5.973 x 1024 kg Le rapport de masse MLune / MTerre = 0.01230 ou ~1/81. La Lune est ~81 fois plus légère que la Terre. 3°. On calcule le rapport de la force de gravité g entre les deux astres : L'équation générale de la force de gravité ou de pesanteur vaut : g = (G M) / R2 avec G, la constante de la gravitation universelle (G = 6.674 x 10-11 m3/kg.s2). Cette force de gravité est toujours inversement proportionnelle au carré de la distance (1/R2). Mais puisqu'on connait le rapport de masse entre la Lune et la Terre (0.01230), autant l'utiliser à la place du produit GM). Par rapport à la force de gravité terrestre, la force gravité sur la Lune gLune vaut : gLune = MLune / RTerre2 = (0.01230 / 0.2726)2 = 0.1655 g soit ~6 fois plus faible que sur Terre (à 45° de latitude à 0 m d'altitude). Que vaut la force de pesanteur sur la Lune sachant que la masse de la Lune vaut ~1.23% de celle de la Terre pour un volume environ 50 fois plus petit que la Terre et sachant que la force de pesanteur terrestre vaut 9.81 m/s2 et sa masse vaut 5.97x1024 kg ? La force de pesanteur g à la surface d'un corps céleste peut être calculée à l'aide de la formule : g = (G M) / R2 avec G, la constante de la gravitation universelle (G = 6.674 x 10-11 m3/kg.s2) M, la masse de l'objet céleste (la Lune) R, le rayon de l'objet céleste (la Lune) g , l'accélération de la pesanteur à la surface de l'objet céleste. 1°. On calcule la masse et le rayon de la Lune : La masse de la Terre est MTerre = 5.97 x 1024 kg La masse de la Lune est 1.23% de celle de la Terre, donc : MLune = 0 .0123 x 5.97 x 1024 = 7.3431 x 1022 kg Le volume de la Lune étant 50 fois plus petit (0.02019 pour être précis) que celui de la Terre (le volume est proportionnel au cube du rayon) : (RLune / RTerre)3 = 1/50 d'où : RLune = RTerre x (1/50)1/3 ≈ RTerre x 0.3684 avec RTerre ≈ 6371 km. RLune ≈ 6371 x 0.3684 = 2347 km. 2°. On calcule la pesanteur ou gravité lunaire gLune : En utilisant la formule de la gravité, gLune = (G M) / R2 , on remplace M et R respectivement par MLune et RLune : gLune = (6.674 x 10-11 x 7.3431 x 1022) / (2347 x 106)2 = 1.64 m/s2. L'accélération de la pesanteur sur la Lune vaut 1.64 m/s2 (1.625 m/s2 en réalité); elle est environ 6 fois plus faible que sur la Terre (à 45° de latitude à 0 m d'altitude). Prochain chapitre
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