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Recueil d'exercices d'astronomie Mécanique céleste (III) - Masses et dimensions - Quelle
est la masse M Il faut établir une correspondance entre la force et la vitesse angulaire :
Quelle est la masse d'Uranus sachant que son satellite Obéron boucle son orbite en 13.5 jours à 582600 km de distance ? Appliquons la loi de la gravitation de Newton (1) complétée par la troisième loi de Kepler modifiée (2) F = FMm/r2 (1) R3/T2 = (GM)/4π2 ou 4π2R3 = (GM)P2 (2) >Sachant que la période T (ou P) = 1166400 s, le rayon orbital R (ou r) = 582600000 m et la constante de la gravitation G = 6.67x 10-11 m3/kg.s2, >en réarrangeant les formules la masse M de la planète vaut :
Quelle serait la masse d'Uranus en appliquant la 3e loi de Kepler, si on compare Uranus et Titania au système Terre-Lune ? Si
T1
et a1
sont respectivement la période orbitale et la distance du satellite
relativement à la planète, M Masse de la Terre : 5.97x1024 kg = 1 Lune : T = 27.32 jours et a = 384400 km Titania : T1 = 8.7 jours et a1 = 436000 km on obtient pour la masse M d'Uranus :
Si on prenait à titre comparatif la masse du Soleil plutôt que la masse de la Terre, la période et la distance seraient rapportés à la Terre. Sachant que la masse de Jupiter M = 318 fois celle de la Terre et que son rayon r = 11 fois celui de la Terre, quelle est la valeur de la gravité au sommet de la couche nuageuse ?
Si le diamètre apparent du Soleil au périgée p = 32'36" et à l'apogée q = 31'32", quelle est l'excentricité de l'orbite terrestre ?
Quelle est la magnitude apparente m d'une planète supérieure à la distance solaire r et à la distance de la Terre ρ si à la distance moyenne ro = a et ρo = a-1, mv étant sa magnitude visuelle ? m = mv - 5 log (a2 - a) + 5 log (ρ r) Etablir la densité d'une étoile brillante d'un système binaire à éclipse en recherchant la densité de RZ Cassiopeiae pour laquelle le rayon de l'étoile brillante en fraction de l'orbite vaut r = 0.28 et la période de révolution P = 1.20 j.
Une étoile de 1ere magnitude brille combien de fois plus qu'une étoile de 2e magnitude ? Pour rappel la luminosité d'une étoile (éclat apparent "E") varie comme 2.5 log E et diminue avec le carré de la distance : d2 = L / (4πE) Une étoile de 1ere magnitude brille 2.5 fois plus qu'une étoile de 2e magnitude. Quelle est la taille de Bételgeuse (α Ori) si son indice de couleur I.C. = 1.86 et sa magnitude absolue M = - 5.14 ? On définit la variation du rayon R des étoiles en fonction de l'indice de couleur (IC) et de la magnitude absolue M. Rapporté au Soleil, son rayon R mesure : R = 10(0.82 IC - 0.2 M + 0.5) soit 1130 fois le rayon du Soleil ! Consulter le dossier sur les magnitudes pour d'autres calculs. Que vaut la luminosité de Bételgeuse (spectre M2 Iab) sachant que la relation Masse-Luminosité ne s'applique plus, mais qu'en revanche, le satellite européen Hipparcos a pu déterminer sa parallaxe trigonométrique π = 7.63 ±1.64 mas. On connaît également la magnitude absolue du Soleil Mv = +4.83.
Nous connaissons : - la magnitude absolue du Soleil : Mo = +4.83 - La magnitude apparente de Bételgeuse : mv = +0.45 (variable entre +0.3 et +1.2) à corriger à 10 parsecs - Sa parallaxe π = 0.00763 ±0.00164" Connaissant la parallaxe π et la magnitude apparente m, la magnitude absolue M de Bételgeuse peut s'obtenir à partir de la formule de la parallaxe spectroscopique :
NB. En théorie M varie entre -4.7 et -5.3, la valeur moyenne étant de -5.14. On connaît à présent sa magnitude absolue ainsi que celle du Soleil qui est donnée. Une règle de trois permet donc de
calculer la luminosité de Bételgeuse puisque celle du Soleil est prise pour unité
(L L'écart avec la magnitude absolue du Soleil atteint 10 magnitudes. Sachant qu'il y a un rapport 2.512 entre deux magnitudes, la luminosité relative de Bételgeuse vaut donc : 2.51210 ~ 10000 L En
se référant au diagramme HR présenté à droite, une magnitude
absolue de -5.14 correspond effectivement à une luminosité
relative légèrement supérieur à 10000 L Calculer la distance de Bételgeuse sachant que le satellite européen Hipparcos a pu déterminer sa parallaxe trigonométrique π = 7.63 ±1.64 mas. Ce calcul est facile réaliser puisque par définition la parallaxe π = 1/d, d étant exprimé en parsec si la parallaxe est exprimée en seconde d'arc : d = 1 / 0.00763 = 131.06 parsecs soit 427 a.l. Si nous voulons tenir compte de la marge d'erreur, on obtient : La plus petite parallaxe de Bételgeuse π = 7.63 - 1.64 = 5.99 mas = 0.00599" soit une distance de 1/0.00599 = 167 pc La plus grande parallaxe de Bételgeuse π = 7.63 + 1.64 = 9.27 mas = 0.00927" soit une distance de 1/0.00927 = 108 pc Bételgeuse se trouve à une distance comprise entre 108 et 167 pc soit 448 ±96 a.l.. Quelle
est la luminosité de Canopus, une étoile de Classe I, si M = ~20 M Tant que l'étoile se trouve sur la Séquence principale (ni géante ni naine), on peut utiliser la relation Masse-Luminosité classique. Pour les étoiles massives, nous devons remplacer l'exposant 4 de la relation L ∝ M4 par un exposant 3.45 :
L = 10 (3.45 log M)
L L = 30800
L Trois autres formules peuvent être utilisées pour les étoiles de le Séquence principale : Si
leur masse < 0.5 M L =
10((2.6 log M) - 0.3) L Si
leur masse est comprise entre 0.5 et 2.5 M L =
10(3.8 log M) L Si
leur masse > 2.5 M L =
10((2.6 log M) +0.5) L Si Mimas gravite à 185000 km du centre de Saturne (R), présente une densité ρm = 1.2, si celle de Saturne vaut ρs = 0.69, à quelle distance D se trouve la limite de Roche, zone qui réduit à l'état de rochers épars tous les corps qui s'y aventurent ?
La limite de Roche se situe à 121739 km. Mimas se trouve au-delà de cette distance. En revanche les satellites S10 et S11 sont à situés à 10000 km seulement de cette limite. La courbe de rotation stellaire de la galaxie M32 présente un pic de 65 km/s à une distance angulaire de 0.35". En considérant que M32 se situe à la même distance que M31 (0.75 Mpc), quelle est la masse contenue dans ce rayon ? Calcul du rayon à considérer : v = 65 km/s r = θ x d r = (0.35 / 206265) x 0.75 x 106 x 3.086 x 1016 m r = 3.93 x 1016 m Calcul de la masse : G M m / r2 = m v2 / r M = v2 r / G M = (65 x 103)2 x 3.93 x 1016 / 6.67 x 10-11 kg M = 2.48 x 1036 kg = 1.25 x 106 M A quelle distance minimale l'étoile d'un système binaire constitué d'une étoile comme le Soleil (de densité uniforme et placée sur une orbite circulaire pour la facilité de l'exercice) et d'un trou noir de masse MTN doit-elle se trouver pour éviter d'être écartelée par les forces de marée ? La limite de Roche d = 2.44 (ρM/ρm)1/3 R La masse MTN du trou noir sera exprimée relativement au Soleil, le rayon du Soleil vaut 6.96 x 105 km. d = 2.44 (MM/Mm)1/3 (Rm/RM) R = 2.44 (MTN)1/3 [6.96 x 105 km / (3 M km)] (3 M km) = 1.7 x 106 MTN1/3 km Quelle
est la force de marée exercée sur une personne pesant 90 kg et mesurant
2 m à une distance de 3000 km d'un trou noir de 10 M dF = -(2 G M m / R3) dR avec G la constante de la gravitation, M la masse du trou noir, m la masse la personne, dR la taille de la personne. = -[2 x 6.67 x 10-11 x 10 x 1.99 x 1030 x 90 / (3 x 106)3 ] 2 m = 1.77 x 104 N soit environ 177 kg. Quel
est le rayon de Schwarzschild RS d'une
étoile de classe A0 V sachant que sa masse vaut 3.6 M RS
= 2 G M / c2 avec G la constante de la gravitation et M = 3.6 M RS = 2 x 6.67 x 10-11 x 3.6 x 1.99 x 1030 / (3 x 108)2 RS = 11 km. Une
étoile variable Céphéïde d'une période de 10 jours présente un rayon
moyen de 100 R ΔR = V x P / 2 = 15 km/s x 5 jrs x 24 h x 3600 s
= 6.5 x 106 km = 9.3 R
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du Soleil si la vitesse angulaire ω de la
révolution de la Terre est proche de 1°/j, la constante de la
gravitation universelle G = 6.7x10-8 cm3/g.s2
et la distance R de la Terre au Soleil est connue ?
la masse de la Terre, T et a les période orbitale et la distance
rapportées à la Lune, à partir des valeurs suivantes :
