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La philosophie des sciences

Le langage sous le microscope.

Terminologie et assimilation (IV)

Nous sommes tous d'avis pour dire qu'il faut contrôler les méthodes scientifiques de travail si nous voulons assurer un certain avenir aux nouvelles conceptions ou aux découvertes "anormales", celles qui sortent du cadre habituel de la recherche (découvertes "accidentelles" ou intuitives par exemple).

Le chercheur intègre devra également veiller à sa terminologie et se méfier de toute interprétation abusive. Si le scientifique se veut rationnel à l'image des logiciens, il doit travailler dans un cadre formel où le poids de chaque expression est mesuré.

La troisième loi du mouvement de Newton peut les résumer : "A toute action s'oppose une réaction de force égale, de même direction mais de sens contraire". On ne peut être plus clair. Ces deux substantifs, direction et sens se complètent mais leur assimilation est interdite dans la langue française. Le dictionnaire contribue à asseoir cette imprécision quand il définit le sens comme le "synonyme d'une direction". Rien d'étonnant dans ces conditions que des ouvrages de vulgarisation écrits par d'éminents chercheurs les mélangent allègrement. Nous avons vu ailleurs, notamment en physique quantique, en cosmologie et dans la théorie de la Relativité que les scientifiques utilisent un certain nombre d'expressions ambiguës dans le cadre de leurs recherches que reconnaîtra le théoricien français Christian Magnan, astrophysicien au Collège de France : l'infini, la loi des probabilités ou l'unification des lois de la nature.

Le concept d'infini

A l'époque des Stoïciens, vers 460 avant notre ère, Zélon d'Elée, disciple de Parménide défendit les théories de son maître qui, disait-il "avait raison d'affirmer que l'Etre est immuable, puisque devenir autre qu'Etre serait ne plus être". Zénon s'emparait en fait des arguments de ses adversaires qu'il repoussait jusqu'à leurs conséquences extrêmes, souvent contradictoires. C'est ainsi que Zénon mis en évidence les difficultés que posait le concept d'infini.

En prenant l'exemple d'un corps qui se déplaçait de façon régulière, Zénon ne parvint pas à déterminer l'instant exact de la transition entre deux points. S'il se déplaçait de la moitié de la distance à couvrir, aussi loin qu'il aille il restait toujours la moitié du chemin à parcourir et il ne pouvait atteindre sa destination; en corollaire le mouvement était impossible, d'où apparition d'un paradoxe. La même logique empêchait la flèche de l'archer d'atteindre sa cible. Pour tenter de résoudre ces paradoxes, la première idée qui nous à l'esprit est d'imaginer que l'espace n'est pas divisible à l'infini et qu'il existe un pas minimum d'incrémentation. Mais cela pose toutes sortes de problèmes conceptuels.

Imaginons deux points A et B séparés par cette distance minimale. Imaginons également un troisième point C lui aussi distant de A de la plus petite quantité possible mais situé dans une direction légèrement différente. Comment décrire l'espace qui sépare le point B et C, inférieur à la distance minimale ? Il y a évidemment une faute logique dans notre raisonnement. Comment peut-on résoudre ce problème ? Je vous laisse y réfléchir. Nous y répondrons dans un instant.

Le paradoxe de l'infini

Si A et B sont séparés de la distance minimale,

que représente la distance B-C ?

En 418 de notre ère, saint Augustin soulignait lui aussi que le concept d'infini couvrait par définition un domaine inabordable. Son apologie de la certitude dit en quelques mots ceci : "Celui qui dit : "A deux certitudes on peut en ajouter une troisième et ainsi de suite jusqu'à l'infini", comprend et dit en toute certitude cette phrase, même s'il ne peut ni comprendre l'infini, ni parler à l'infini". Aux yeux de saint Augustin cet argument tente à prouver que l'homme peut tout savoir. Mais l'infini est toujours plus éloigné que le plus grand nombre que l'on puisse considérer. En fait l'infini n'est même pas un nombre mais un concept. On ne peut donc pas s'en rapprocher. Sa mesure physique est impossible, son calcul est donc une utopie. Dans ce cas, comment le physicien peut-il rationaliser l'univers ? Il existe une contradiction entre l'expression mathématique et la réalité. Cette assimilation empêche de concevoir l'univers sous une forme analytique.

Comment pourrait-on mesurer quelque chose d'infini ? Si nos théories doivent expliquer les phénomènes naturels, on ne peut pas considérer l'infini comme hors d'atteinte. Ce serait renier le pouvoir de la science. Si aujourd'hui l'infini n'est pas un nombre, dans l'avenir le physicien trouvera peut-être le moyen de "changer d'échelle" ou l'intégrera dans une expression mathématique plus subtile (logarithmique, associé à une variable imaginaire, etc).

En 1947, George Gamow[12], l'un des fondateurs de la théorie du Big Bang résolu le paradoxe de Zénon. En résumé, nous devons définir une relation entre chaque élément d'un espace infini et son voisin immédiat. On établit ainsi une correspondance entre tous les points de l'espace, chacun se définissant par un nombre décimal compris entre 0 et 1.

L'intervalle étant fini par définition, Gamow conclut qu'il est possible de franchir une distance infinie en un temps fini. Mais si l'espace est ainsi divisible à l'infini, une autre quantité, comme la masse par exemple peut-elle subir le même traitement ? Un objet infiniment léger peut-il dès lors entrer en contact avec un autre ? Apparemment oui sinon le paradoxe resurgirait avec des dilemmes impossibles à résoudre.

En fait, il faut appliquer un raisonnement analogue à celui qui nous servit à résoudre le premier paradoxe de Zénon. Si la matière devient de plus en plus dense à mesure que l'échelle diminue, à la limite ses dimensions tendent vers zéro et sa densité tend vers l'infini. Puisque nous pouvons établir une correspondance en puissance de 10 entre la densité et les nombres compris entre 0 et 1, finalement nous pouvons prédire que les objets en interactions seront en contact.

Il est donc possible de diviser à l'infini tant que ses constituants présentent une densité toujours plus élevée. Cet énoncé logique n'a pas besoin d'être en relation avec des phénomènes réels pour être vrai. Il s'avère toutefois que le monde de la physique recèle des quarks parmi les particules élémentaires qui ressemblent forts aux éléments de la théorie que nous venons d'énoncer : plus nous nous rapprochons des briques fondamentales constituants la matière, plus la densité d'énergie est élevée.

L'infini de Zénon

Une régression qui sembleinfinie ne l'est peut-être pas.

x = 1.4x

Pour x ~ 1.8, à la 20e itération le terme de gauche reste constant jusqu'à la 4e décimale. Nous avons donc la solution de l'équation 1.887 ≈ 1.41.887. Notre méthode consiste à agir sur la description du problème en modifiant l'application des règles[13].

Le concept d'infini trouve donc des applications bien rationnelles. L'infini est toujours d'actualité car il est tous les jours utilisé par les mathématiciens et les ingénieurs, lorsqu'ils doivent par exemple effectuer un calcul infinitésimal.

Tout commença au IVe siècle avant notre ère avec les travaux partiels d'Eudoxe et d'Archimède. Mais ce n'est qu'au XVIIe siècle, grâce aux travaux de Viète, Kepler, Cavalieri, Fermat, Pascal, Wallis et Huygens que les mathématiciens ont osé se lancer sur le chemin dangereux de l'infini[14].

Ces travaux qui touchaient les nombres indivisibles ou l'analyse des tangentes à une courbe ouvrirent la voie à la découverte simultanée du calcul différentiel et infinitésimal par Newton et Leibniz[15]. Ainsi que l'écrivit le marquis de l'Hôpital : "une courbe peut-être regardée comme un ensemble infini de segments de droites, chacun étant infiniment petit : ou… comme un polygone ayant un nombre infini de côtés".

Archimède ou de l'usage de l'infini

Sur les traces d'Euclide, vers 250 avant notre ère, Archimède utilisa une méthode d'exhaustion, utilisant des figures rectilignes inscrites et circonscrites, pour approcher les segments de courbes et essayer de calculer les aires et les volumes curvilignes.

Archimède démontra 3 propositions :

Archimède

- Tout cercle est équivalent à un triangle dont la hauteur et la base sont le rayon et la circonférence du cercle

- Le rapport du cercle au carré circonscrit est proche de celui de 11 à 1

- Le périmètre de tout cercle est égal au triple du diamètre augmenté d'un segment compris entre les 10/71 et 1/7 du diamètre.

Génial inventeur, Archimède découvrit le rapport 22/7, la valeur de π approchée au 1/2500e !

Divisons un polygone en n triangles congruents. Dénommons L, la base de chaque triangle et H sa hauteur. La surface de chacun d'eux est ½ LH. La surface du polygone inscrit vaut alors n(1/2 LH). Si n tend vers l'infini, LH représente la circonférence du cercle, égale à 2π r (selon la définition de π) et H représente le rayon r. La surface du cercle (le disque) vaut alors ½ (2π r r), ou plus simplement π r2.

2000 ans plus tard, on assimile le cercle à une infinité de segments de longueurs infiniment petites dx, dont la surface vaut r.dx/2.

Les mathématiciens étaient en fait préoccupés par le problème des tangentes et de la division infinitésimale des espaces : comment calculer l'aire d'une courbe fermée, ou comment calculer l'espace parcouru par un objet en un intervalle de temps voisin de zéro ?

A ces questions les mathématiciens répondent en remplaçant les "infiniment petits" par la notion moderne de limite, introduite par Cauchy et Weierstrass, qui aboutira au calcul des dérivées et des différentielles d'une fonction et le calcul des primitives. Malheureusement de nombreuses fonctions intégrales ne peuvent se définir par des formules simples. Il faut alors calculer ces fonctions par des méthodes d'approximations, telles des polynômes ou des interpolations. C'est pourquoi la plupart du temps les scientifiques parlent de valeurs "approchées", dont l'erreur doit être précisée. Ainsi π ≈ 3.1 à 0.1 cm près, est suffisant pour tracer un cercle sur du papier millimétré. Ces méthodes permettent aux étudiants de plancher sur les séries convergentes de Maclaurin ou de Taylor, la méthode d'interpolation de Simpson et sur les logarithmes Népériens.

Deux mille ans après Archimède, on découvre ainsi que les courbes continues ne possèdent de tangente en aucun point…

L'intégrale

Newton et Leibniz ont découvert que l’aire hachurée = ∫ab f(x) dx. Elle définit la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe de l’équation y=f(x) et les limites verticales X=a et X=b. Cette fonction de x admet pour dérivée f, ce qui ramène le calcul des intégrales à celui des primitives

L’approximation

Pour calculer la valeur approchée d’une fonction f dans l’intervalle [a,b], on se fonde par exemple sur la méthode de Simpson qui substitue à la fonction f un polynôme de degré 2 (dont la valeur est par ailleurs exacte si f est un tel polynôme).

ab f(x) dx ≈ ab P(x) dx = ((b - a) / 6) [ f(a) + 4f (a + b/2) + f(b) ]

Ces explications démontrent donc qu'il est possible de transformer l'infini en une suite d'éléments calculables et de concevoir une théorie qui soit finalement en relation avec le monde réel. La seule difficulté conceptuelle que nous avons est d'imaginer un nombre infini d'éléments dans un espace fini. Ainsi, un segment de droite peut-il contenir un nombre infini de points ?

Le fameux mathématicien George Cantor prouva au XIXe siècle qu'un segment fini pouvait contenir un nombre infini de points. Ils ne peuvent être énumérés par une séquence infinie de nombres naturels {1, 2, 3,…}, même si on assigne un nombre à chaque point, quel que soit l'ordre dans lequel les points sont considérés; il existe toujours au moins un point non référencé ! En fait le nombre de points sur un segment unitaire est supérieur aux nombres naturels. En langage mathématique, on dit que la cardinalité d'un ensemble de points d'un segment de droite est supérieur à l'ensemble des nombres naturels.

Jusqu'où va l'infini ? Est-il extensible ? Evidemment me direz-vous, bien que tous les infinis ne soient pas identiques… Certains ont une plus grande cardinalité que d'autres, contiennent plus ou mois d'éléments que d'autres.

Ainsi, la moitié de l'infini reste égale à l'infini : prenez la séquence des nombres paires {2, 4, 6, …}. David Hilbert a ainsi pu inventer un hôtel dans lequel toutes les chambres étaient occupées mais, où, paradoxalement, cela n'avait aucune importance car il pouvait toujours proposer de nouvelles chambres aux voyageurs en déplaçant judicieusement les invités d'une chambre à l'autre, si nécessaire jusqu'à l'infini !

L'infini est également extensible, comme l'Univers qui se contient lui-même est capable de se dilater à l'infini. Prenez une surface élastique infinie. Vous pouvez la détendre en tirant dessus. Vous augmentez ainsi sa dimension et sans vous en rendre compte, vous manipulez des concepts très abstraits comme Einstein nous a appris à le faire.

La même problématique se retrouve en physique quantique où les physiciens sont contraints de manipuler des systèmes ayant un nombre infini de particules et donc autant de dimensions[16]. Tout réside en effet dans notre rapport avec le monde. Cette relation nous guidera dans les paragraphes qui suivent.

Les probabilités

Concernant les lois probabilistes, l'interprétation que l'on peut en donner cache un problème de transcription. En effet, une loi qui obéit à des règles statistiques ou plus généralement à une mesure n'a d'utilité que face à une expérience. J'ai expliqué dans le dossier consacré à la physique quantique les raisons pour lesquelles la réalité quantique ne peut pas être décrite en termes macroscopiques. Seules les probabilités nous donnent un moyen de traduire les résultats en termes physiques. Cette confrontation de la théorie avec la réalité est féconde et explique à ce jour parfaitement le comportement de la matière.

Prenons un autre exemple. En thermodynamique et en mécanique céleste les chercheurs considèrent depuis le milieu des années 1980 que le chaos qui ressort de l'évolution des systèmes inertes ou vivants signifie que le mouvement n'est plus prévisible sur une longue période de temps. Ce sentiment provient du fait qu'on analyse ce qui se passe, non plus à propos d'une seule trajectoire mais des probabilités, de l'ensemble des trajectoires. Cette difficulté apparaît lorsqu'on essaye de mesurer le portrait du rythme cardiaque, de l'activité cérébrale, ou l'évolution de la matière auto-organisée.

A consulter : La science du chaos

Désintégration d'un projectile dans l'atmosphère. Cliquer sur l'image pour lancer la simulation (MPEG de 1.9 MB)

L'école de Prigogine en particulier, a prouvé que si l'onde quantique décrit des distributions de probabilités continues, pour des systèmes chaotiques simples ces dernières permettent de tracer le portrait du système à chaque seconde et de prédire l'évolution de la probabilité. On peut ainsi déterminer entre quelles limites le système évoluera ou de quelle façon il tendra vers l'état d'équilibre sur l'échelle de temps considérée.

Ceci donne une vision totalement nouvelle des lois de la nature car, in stricto senso, pour obtenir ces lois il faut considérer que les probabilités sont des conditions initiales, autrement dit une expression de notre ignorance, de notre manque de connaissance.

Cela signifie également que les conditions initiales ne sont plus représentées par un point dans le temps mais se transforment en une petite région. On obtient ainsi une description non locale du phénomène. Cette description nous donne plus d'information et tout spécialement concernant l'échelle de temps, la réversibilité du phénomène, etc, ce qu'une description locale ne pourrait jamais nous donner.

Ces lois n'expliquent certes pas la réalité, elles fournissent un moyen de détecter les événements. Ces mesures seront confrontées à la réalité. Si la chance sourit au chercheur, sa loi sera vérifiée et non l'inverse. Il ne peut pas calculer la chance (dans son acceptation de hasard en anglais) qu'un événement se produise mais bien la probabilité de le détecter, de le mesurer. Cette nuance est fondamentale car elle attire, une fois encore, notre attention sur notre rapport avec la nature. Elle sera plus apparente encore dans la troisième expression.

Les lois de la nature

La nature édicte-t-elle ses lois ? Nous avons tendance à dire que "les événements se déchaînent" à propos des phénomènes naturels que nous ne pouvons pas "contrôler". A l'inverse le physicien Richard Feynman disait "La nature est proche des lois" et chacun de nous a dit un jour que "tel événement obéit à telle loi" et j'utilise cette expression dans certains dossiers. Comment expliquer ce contresens ?

Au VIIe siècle avant notre ère, les philosophes présocratiques ne cherchèrent pas à dompter la nature comme nous le faisons aujourd'hui. Les anciens Grecs vivaient en symbiose avec la nature, recherchant le sens de la croissance naturelle[17], la substance nutritive moteur du cosmos. Depuis Epictète (50-125 de notre ère), la doctrine stoïque a gardé voix de citer jusqu'à Descartes et Galilée : "Il ne faut point se tourmenter […] tout ce qui est né doit mourir; c'est la loi générale"[18]. Mais la science moderne ne peut pas cautionner cette expression. Si le "droit naturel"[19] est encore une institution aux yeux du philosophe hollandais Spinoza, nous serions sous l'emprise de la fatalité, sous le joug tout puissant de la Nature souveraine. L'arithmétique Unitaire pythagoricienne et l'astrologie se mêlent à nouveau pour contredire notre bon sens.

A contrario, peut-on croire ne fut-ce qu'un instant que la nature est sous "l'emprise" de l'homme ou de ses lois ? Cette expression est largement anthropocentrique. Elle tend aussi à détacher l'unité grecque Antique du divin en la morcelant dans une émancipation scientifique, individualiste. La philosophie parle d'un esprit devenu "deus ex machina".

Sans faire entrer un quelconque "principe anthropique", la nature ne se suffit-elle pas à elle-même ? Dans tous les cas, nos lois expliquent la nature mais rien de plus. Nous ne la forgeons pas, elle s'est créée elle-même et de toute manière nous en faisons partie. Nous rejoignons l'expression d'Andrei Linde, pour qui rien n'est à justifier, "l'univers est, point". Le pourquoi de l'Univers, la raison de notre présence ici-bas sont des problèmes métaphysiques que seules la philosophie et la religion sont à même de justifier. Mais leurs compétences n'ont rien à voir avec la science.

La religion en particulier se fonde sur un monde surnaturel qui n'est pas vérifiable. Parfois dogmatique, mais pas toujours aveugle, elle reste trop souvent opposée à la science. Le monde est réalité et ne se reconnaîtra jamais dans une conception doctrinale. Le schéma théorique que nous devons poursuivre se résume à relier nos lois à la réalité, d'établir un rapport avec la nature, sans la légitimer. Dans La Nature sans Foi ni Loi, Christian Magnan résume résume bien ces propos : "L'Univers n'a pas l'intention de l'homme; l'homme n'a pas la conception de l'Univers".

Toutefois, les croyants et notamment les Chrétiens, ne l'entendent pas ainsi ce qui nous conduit à examiner le rapport entre science et religion.

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[12] G.Gamow, "One, Two, Three… Infinity", Viking Press, New York, 1947.

[13] D.Crevier, "A la recherche de l'intelligence artificielle", Flammarion-NBS, 1997, p159.

[14] Archimède, "La mesure du temps" - Cavalieri, "Géométrie des indivisibles", 1635 - B.Pascal, "Traité des Sinus et quart de cercle" - J.Wallis, "Arithmétique des Infinis", 1655 - C.Huygens, "Cycloïde", 1658.

[15] I.Newton, "Méthode des fluxions", 1736 (œuvre posthume) - G.Leibniz, "Nova methodus pro maximis et minimis", 1684. Notons que les deux auteurs avaient déjà mis au point une méthode de calcul des infiniment petits vers 1670.

[16] Il faut toutefois rendre aux scientifiques la théorie de renormalisation, celle-là même qui leur permet, ne fut-ce que de façon empirique, d'assigner des valeurs finies aux termes infinis.

[17] Le mot nature (phusis) vient du verbe grec phuein qui signifie croître.

[18] Epictète, "Entretiens" (Manuel), ~90 de notre ère.

[19] B.Spinoza, "Traité théologico-politique", 1670.


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