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La physique quantique

 Werner Heisenberg à la fin des années 1930.

Les relations d'incertitudes de Heisenberg (II)

En 1926, Heisenberg fit un exposé sur la mécanique quantique à l'Université de Berlin qui éveilla l'intérêt d'Einstein. Après le colloque, celui-ci lui avait fait remarquer que "fonder une théorie physique sur des grandeurs observables peut sans doute aboutir à des résultats mais cette sorte de philosophie n'en reste pas moins absurde.[...] C'est seulement la théorie qui décide de ce qui peut être observé". Ce commentaire surprit Heisenberg. Ce n'est que quelques mois plus tard qu'il comprit la portée de cette remarque : c'était la clef de l'énigme quantique ! En effet, toute la question était de savoir si on observait bien la réalité au cours des expériences ou si la théorie n'imposait pas certaines limites à notre perception du réel ?

A la fin de l'année, Pauli écrivit à Heisenberg pour lui dire qu'il avait trouvé un "point noir" dans le comportement des atomes : on ne pouvait pas attribuer une orbitale déterminée à une particule et simultanément connaître sa position (q, parfois nommée r) et sa quantité de mouvement (son impulsion p). Si l'une était mesurable, l'autre devait être "moyennée sur l'ensemble des valeurs"!

Cet étrange comportement des "q-nombres" permit à Heisenberg de trouver la solution qu'il espérait. Il comprit que la diffusion de la longueur d'onde d'une particule dans une région de l'espace plutôt qu'en un point précis signifiait que toute détermination corrélée de sa position et de sa quantité de mouvement seraient entourées d'incertitudes. Puisque la théorie ne peut rien expliquer se dit-il, la réponse doit être indéterminée. Nous étions en 1927, Heisenberg venait de formuler ses "relations d'incertitudes", qu'on appelle également à tord le "principe d'indétermination" car il n’a rien d’un principe malgré ce que semble signifier sa mauvaise traduction de l'anglais (uncertainty principle). Ceci dit, Heisenberg et Bohr eux-mêmes ne se sont jamais accordés sur une seule terminologie.

Heisenberg illustra son point de vue en reprenant l'idée du microscope développée par son ami Burkhard Drude. En relevant la trajectoire d'un électron explique-t-il, je peux anticiper sa position et sa vitesse future. Mais ses dimensions sont tellement petites que je dois l'éclairer avec une "lumière" de très courte longueur d'onde également, par exemple des rayons gamma. Heisenberg démontra ainsi que plus on essayait de préciser la position d'une particule plus son mouvement devenait incertain. L'énergie du rayonnement frappait l'électron et du même coup modifiait sa trajectoire. L'observateur "perturbait" en fait le système en cherchant à préciser les mesures de position et de vitesse. L'énergie absorbée par l'électron modifiait sa vitesse tandis que son mouvement dépendait maintenant d'un facteur extérieur.

Les relations d'incertitudes de Heisenberg

Position d'une particule

en fonction de son état de mouvement

Temps requis pour atteindre

un certain niveau d'énergie.

Concrètement, selon les lois classiques de l'optique, la précision d'un microscope dépend à la fois de la longueur d'onde de travail λ et de l'angle d'ouverture ε auxquels s'ajoutent le critère d'Abbe relatif au pouvoir séparateur qui détermine la dimension des plus détails discernables selon la relation suivante (on peut aussi remplacer le signe ≥ par ~) :

dq ≥ λ / (sin ε)

En complément, dans un microscope la direction d'un photon incident dispersé est indéterminée dans l'aire de l'angle ε, rendant incertaine la mesure de tout changement d'impulsion de l'électron d'une quantité égale à :

dp ≥ ( h sin ε) / λ

Ces deux résultats conduisent à la relation (2) ci-dessous. En conclusion un juste milieu devait être considéré, c'est le "principe de perversité", celui-là même qui imposera à Heisenberg la non-commutativité du produit des paramètres du mouvement (voir plus bas).

Mais cela signifie-t-il que la position et l’impulsion exactes d’une particule existent mais demeurent cachées ? Heisenberg répondit non. Il est en fait impossible de déterminer simultanément ces valeurs car les particules ne possèdent pas ces deux caractéristiques en même temps, comme cela n’a pas de sens de dire qu’une particule suit une trajectoire.

Pour démontrer ces relations inéluctables dans son esprit, Heisenberg appliqua le théorème de Fourier au théorème de Schrödinger : toute variation d'énergie d'une particule correspond au passage d'une fonction d'onde (1). Heisenberg formalisa cette hypothèse en tirant deux inéquations déterminées par le quantum d'action, h :

dE dt ≥ h       (1)

dp dq ≥ h       (2)

L'inéquation (1) signifie que même l'énergie et le temps obéissent aux principes de la physique quantique. Le fait de connaître l'énergie d'une particule empêche de connaître la durée du phénomène. Concrètement, plus l'énergie d'une particule est élevée, plus courte sera sa durée de vie. Ainsi, sans masse de repos, le photon vit indéfiniment.

L'inéquation (2) liant l'impulsion et la position permet d'écrire sur base de la mécanique quantique la relation suivante :

Le produit matriciel est non commutatif en général : (q x p) est différent de (p x q). Le produit de deux fonctions scalaires est commutatif mais non le produit des deux opérateurs ( représentant les matrices ou les opérateurs) qui lui correspondent en mécanique quantique.

On peut également écrire les relations (1) et (2) sous forme des relations dites de commutation canonique, les matrices Q et P représentant respectivement les variables de position et d'impulsion :

QP - PQ = i

tE - Et = i

avec =h/2π, h étant la constante de Planck.

Deux autres inégalités viennent compléter celles de l'énergie/durée et de position/impulsion. L'une est une incertitude sur le mouvement cinétique (J) et l'orientation (φ) d'une "particule" :

dJ dφ ≥ h

φ J - Jφ = i

A laquelle il faut ajouter une incertitude sur la phase du champ (φ) et le nombre de photons (N) :

dφ dN ≥ h

φN - Nφ = i

Les effets quantiques du rayonnement laser s'expliquent paradoxalement par la physique "classique". La phase exacte d'un rayonnement cohérent est indéterminée car il est impossible de connaître avec précision l'instant de démarrage d'un laser, dt. Des fluctuations quantiques électromagnétiques interfèrent avec la lumière cohérente du laser et modulent l’intensité du faisceau. De ce fait les photons (dN) sont émis aléatoirement du laser sans qu’il soit possible d’en déterminer l’instant, en accord avec le principe d'exclusion de Pauli. En corollaire, la phase sera toujours supérieure à la fréquence des électrons : 2πν dt dN > 1. Il existe donc une inégalité quantique dans le rayonnement laser.

Wolfgang Pauli et Oskar Klein partagèrent rapidement le point de vue de Heisenberg. Bohr resta réticent quelque temps, considérant les relations d'incertitudes comme un cas particulier de la complémentarité. Finalement il adhéra à ce qui sera connu sous l’expression de l'"interprétation de l'Ecole de Copenhague".

Le postulat de Heisenberg explique sans détour la fréquence des raies du spectre de l'hydrogène, plaçant la théorique de Bohr dans une situation mal aisée. Dirac sauva l'honneur en remarquant que tous les paramètres dynamiques de la théorie classique sont en fait inclus dans la nouvelle formule quantique non commutative.

A gauche, les acteurs du Ve Congrès Solvay organisé à Bruxelles en 1927. Document colorisé de l'Institut Solvay, AIP Emilio Segrè Visual Archives. A droite, Werner Heisenberg vers 1960. Il nous quitta en 1976 à l'âge de 74 ans. Document Emaze.

Au Ve Congrès Solvay de 1927, le don d'ubiquité des atomes et le principe d'indétermination étaient au centre des débats. Il est vrai que les sujets se prêtaient aux discussions. Cette double identité du quanta était difficile à concevoir, en particulier pour Einstein qui refusait les explications en termes probabilistes de Max Born et de Heisenberg.

C'est à cette occasion que Wolfgang Pauli interrompit la discussion entre les trois savants et déclara : "une aube se lève sur des temps nouveaux". Il fallait bien se rendre à l'évidence, plus jamais le monde ne serait comme auparavant : plus les physiciens sondaient la matière, plus celle-ci se dérobait...

Prochain chapitre

L'antimatière

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