Contacter l'auteur / Contact the author

Recherche dans ce site / Search in this site

 

La théorie de la Relativité

Concepts fondamentaux

Lois de conservation et principe variationnel (IV)

Les lois de conservation nous disent de quelles manières les grandeurs sont conservées lors de transformations de coordonnées. Ils en existent quatre qui sont les conséquences des équations d’Euler.

Toutes requièrent une fonction Hamiltonienne H (ou fonction de Lagrange) indépendante des déplacements dans l’espace-temps. C’est H qui édicte les lois du champ et garantit cette indépendance des lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion, mathématiquement exprimé tel que Tμν;ν = 0.

Si la relativité générale “entraîne” avec elle les lois de conservation, elles ne sont pas les conséquences des équations de champ mais représentent leurs identités.

En effet, l’invariant de densité P par exemple, pour citer le plus connu, consiste en l’invariance généralisée de son intégrale suivant les quatre relations identiques entre les dérivées Hamiltoniennes de P, des relations qui rappelons-le sont des lois de conservation. Contrairement aux équations qui résultent de dérivées Hamiltoniennes égales à zéro, les quatre relations entre les dérivées Hamiltoniennes montreront si oui ou non les solutions de ces dérivées sont nulles. Les relations deviennent alors triviales.

L’intégrale invariante de densité

La théorie de la relativité restreinte et sa généralisation exigent un principe de covariance général (définissant les variations simultanées de deux variables aléatoires). Définissons δαβ, δ étant le symbole de Kronecker, un tenseur unitaire mixte dont la matrice est composée de 16 nombres et qui respecte la condition :

δαβ = δβα = 1 pour α = β et 0 si α ≠ β

Pour n’importe quelle paire de vecteurs situé en tous points du continuum espace-temps, sachant qu’un produit scalaire est invariant, on peut écrire :

δαβ ABβ = AβBβ = invariant

dab apparaît alors comme l’une des rares entités tensorielles invariantes, dont les composantes restent identiques quel que soit le référentiel. Il ne s’agit pas à proprement parlé d’un tenseur symétrique car ce dernier ne respecte en général pas les conventions des indices lors d’une transformation de coordonnées.

Comment expliquer l’existence de ces identités ? Imaginons que nous adoptions un principe variationnel δ ∫ = 0 pour déterminer les fonctions ν, μ, λ, etc. desquelles dépendent les dérivées de l’invariant de densité P. Nous obtenons autant d'équations différentielles δP/δf = 0 qu’il y a de fonctions ν, μ, λ, etc. Mais en relativité générale ces fonctions sont quatre fois trop nombreuses. En effet, ces fonctions étant liées aux composantes tensorielles elles pourraient changer suite à une transformation du cadre de référence. Une telle transformation contenant quatre fonctions arbitraires, ces dernières ne peuvent être totalement déterminées par ces équations et ne sont donc pas indépendantes les unes des autres. Cette dépendance est justement déterminée par ces quatre identités dites de Bianci.

Si on dérive ces identités de Bianci entre les δP/δgik dans une métrique en gik on aboutit à l’invariant de densité, dont l’intégrant est le scalaire de densité. Mieux, δgik est un tenseur totalement arbitraire car formé par la différence entre deux tenseurs. Pik apparaît alors comme le tenseur symétrique contravariant de deuxième ordre de la densité.

En application le principe variationnel à une variation δgik, après intégrations partielles on obtient les quatre identités de Bianci. Il s’agit bien sur d’équations tensorielles à partir desquelles on peut obtenir Rkm:k = 0. Du coup la divergence invariante disparaît. Cela tombe à propos car c’était la seule contrepartie invariante de la divergence ordinaire de cette théorie. Le scalaire de densité permet donc de considérer les lois de conservation comme des identités de Bianci dans la théorie généralisée.

Si l’on veut garantir la validité des lois de conservation en relativité générale, le principe variationnel doit donc être utilisé, quelle que soit la théorie unifiée à laquelle on tente d’aboutir, quelles que soient les dimensions du système. C’est peu de chose que de le dire, reste à le formaliser.

Pratiquement,le principe variationnel stipule par exemple que le scalaire de densité le plus simple que l’on puisse obtenir à partir des gik est √-g, g étant le facteur de Landé que l’on retrouve dans la théorie du gyromagnétisme :

δ ∫ √-g = 0

Sa dérivée Hamiltonienne égale 1/2gik. L’expression gik n’est pas une équation de champ. Nous verrons en abordant les travaux d’Einstein comment il aboutit à cette solution.

A partir du principe variationnel, le second scalaire de densité que l’on peut construire à partir des gik est le scalaire de courbure R :

R = gikRik

En le multipliant par √-g on obtient :

δ ∫ gikRikdx4  = 0

dans laquelle Rik est le tenseur d’Einstein.

Cette équation est déjà nettement plus complexe car le tenseur d’Einstein dépend de la dérivée seconde des gik

Si on pose ds = gikRikdx4 on peut l’écrire de façon plus concise :

δ ∫ ds = 0

Cette équation précise le mouvement d’une masse ponctuelle et caractérise l’intervalle d’espace-temps ds². Elle est complétée par les deux expressions suivantes :

ds² = c²dt² - ( dx² + dy² + dz² )

En relativité restreinte

ds²    = gikdxidxk 

En relativité générale

avec gik, la composante déterminant le champ gravitationnel et c la vitesse de la lumière dans le vide.

Mais où sont nos quatre identités de Bianci ? On les obtient en fait à partir des dérivées Hamiltoniennes par rapport aux gikou gik. L’expression finale à laquelle Einstein aboutit fin 1915 s’écrit :

(Rik - 1/2gikR);i = 0

Le tenseur d’Einstein n’est pas Rik mais doit être considéré comme toute l’expression Rik-1/2gikR. Cette expression contient quelques constantes fondamentales comme la constante de la gravitation.

C’est en généralisant le principe variationnel aux systèmes mécaniques sous l’emprise de la gravité qu’Einstein découvrit que les équations de champ n’étaient pas linéaires et que la validité du principe d’équivalence ne pouvait être que locale pour satisfaire la loi de causalité. L’intervalle ds² apparaît alors comme un invariant absolu.

S’il est évident de devoir partir d’un principe variationnel quand on recherche une théorie unifiée du champ, laissant pour l’instant de côté la théorie quantique, ces relations deviennent excessivement complexes lorsqu’on dépasse la dimension 4 de l’espace-temps et que l’on incorpore des tenseurs comme dans la théorie de Kaluza-Klein qui tente de généraliser la géométrie Riemannienne dans l’espace-temps. Il faut non seulement pouvoir jongler avec quelque 80 équations de champs fondamentaux mais surtout identifier les parties symétriques et non symétriques des tenseurs dans la réalité physique, au champ de gravitation ou électromagnétique afin de fournir une interprétation correcte des propriétés physiques de l’univers.

Prochain chapitre

Le tenseur de Riemann-Christoffel

Page 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 -


Back to:

HOME

Copyright & FAQ