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La théorie de la Relativité

Concepts fondamentaux

Les référentiels (II)

Un référentiel est un système de coordonnées dont l’ensemble des évènements (des "objets") constitue un espace affine, euclidien ou non, à n dimensions. 

L’espace affine de l’espace-temps plat de Minkowski ou minkowskien est un référentiel pseudo-euclidien, à 4 dimensions.

Cet espace affine est très proche de l’espace euclidien de Newton à 3 dimensions.

La cinématique newtonienne

(référentiel galiléen ou non)

Le mouvement d’un mobile ponctuel défini par ses coordonnées x,y,z dans un espace euclidien varie en fonction du temps t dans un espace absolu. La distance parcourue entre les instants t° et t1 est égale à la différence des espaces parcourus par le mobile considéré dans l’intervalle de temps.

Les dérivées première et seconde de la position du mobile à un instant donné nous donnent respectivement les grandeurs de vitesse V et d’accélération a du mobile. Pour un exemple pratique, voyez le tableau de bord de votre voiture !  

Conscient de la difficulté du sujet, rappelons ce que l'on vous a enseigné il y a longtemps, que cette notion d’espace affine présente deux caractéristiques :

- A tout couple de point (A, B) de l’espace quadri-dimensionnel correspond un vecteur AB dans l’espace vectoriel tel que :

AB = - BA

et

AB + BC + CA = 0

- Un point O d’origine fixé une fois pour toute dans l’espace quadri-dimensionnel qui permet d’écrire qu’à tout vecteur V de l’espace vectoriel correspond un et un seul point P tel que le vecteur OP = V.

En mécanique newtonienne les évènements se produisent dans un espace absolu et le temps du système, le “temps propre”, ne dépend que des évènements considérés dont la durée est absolue. L’évènement se déroule donc dans un temps absolu dénommé “l’instant” dans un espace également absolu.

Ce système de coordonnées newtonien n’est approprié que pour calculer de petites vitesses ou accélérations mais l’utiliser pour calculer des fonctions “relativistes”, invariantes des lois physiques est inapproprié car elles subissent des transformations non linéaires ingérables dans un tel référentiel, même non galiléen. Nous devons adapter ce référentiel à l’espace-temps, il devient le système de coordonnées Minkowskien, où hmn désigne la métrique de Minkowski, lequel permet des “transformations de Poincaré”, acceptant en particulier les solutions de Lorentz.

Les systèmes de coordonnées

En géométrie, la mesure de la distance ds entre deux points plongés dans un espace à deux dimensions peut s’effectuer au moyen d’un grand nombre de systèmes de coordonnées parmi lesquels :

Les coordonnées rectangulaires :

Les coordonnées polaires :

Les coordonnées obliques :

Les coordonnées sphérique (latitude, longitude) :

ds² = dx² + dy²

ds² = dr² + r²dq²

ds² = dx² - 2kdxdh + dh²

ds² = db² + cos²bdl²

Si ds² satisfait l’une des trois premières formules, l’espace est analogue à une surface plane, s’il satisfait la dernière formule il est courbé telle une sphère.

De façon générale, l’expression ds² peut s’écrire :

ds² = gmndxmdxn

Dans ce système de repères relativiste, un évènement se repère également par ses 4 coordonnées x,y,z,t. La différence réside dans la notion d’évènement qui n’est plus repérable distinctement dans l’espace ou le temps absolu. L’évènement évolue dans l’espace-temps et il est insensé de chercher à savoir “où”, dans quel lieu et “à quel instant” il s’est produit. Un mobile évolue sur une trajectoire d’espace-temps dénommée sa ligne d’univers (on parle de tube d’univers lorsque l’objet est étendu).

L’interprétation des notions d’antériorité, postériorité et vieillissement d’un évènement de la physique classique prend un tout autre sens en relativité car elles dépendent des caractéristiques du référentiel considéré. Ces notions sont beaucoup plus nuancées et les deux premières expressions disparaissent même. A la question de savoir quel est le vieillissement par exemple d’un mobile relativiste, si Einstein avait été Normand, il vous aurait dit ça dépend de la façon dont il se déplace dans l’intervalle concerné. C’est le fameux paradoxe du “ralentissement du temps” dut à l’importance du facteur γ entrevu précédemment.

Changement de base

Pour pouvoir repérer un point dans un référentiel il faut également se donner une base vectorielle {eα}, dite base naturelle, dans cet espace. Dans un espace vectoriel à 4 dimensions, un point P est déterminé à l’origine O par la somme des composantes xα, avec α = 0, 1, 2, 3 du vecteur OP dans {eα}. Ses coordonnées naturelles dans le repère naturel vectoriel {0,eα} sont :

{xα} = {x°, x1, x2, x3}

On peut donc considérer que le vecteur OP est une fonction des coordonnées xa du point P. Le concept est similaire lors d’un changement de base ou lorsqu’on change de système de coordonnées. A partir de ces quatres nombres il est possible d’effectuer des produits scalaires entre vecteurs, donc de les dériver ou de les différentier par exemple selon les évènements et les relations utilisées.

Pour effectuer les mêmes opérations dans l’espace-temps de Minkowski on définit une base dite minkowskienne telle que le couple vectoriel :

(eα, eβ) = hαβ

avec pour condition hαβ = 0 pour α ≠ β, les seules composantes non nulles étant h00 = h11 = h22 = 1 et h33 = -1.

Ce type de référentiel a la particularité de pouvoir décrire ou plutôt mesurer un évènement, par exemple le fait d’observer une lampe s’allumer, une étoile se déplacer, etc, car il est repéré et déterminé par ses 4 coordonnées x, y, z et t dans la base eα ou hαβ.

Comme tout résultat d’une mesure, toute quantité qui reste invariante par changement de repère est dite scalaire, c’est un tenseur d’ordre 0; la valeur numérique ne dépend pas du référentiel considéré (mais uniquement des coordonnées) et elle ne dépend donc pas d’une fonction mathématique définie.

Un changement de repères n’est pas un changement de coordonnées et consiste seulement en un changement de base mais à l’inverse, par convention un changement de coordonnées est toujours associé à un changement de base.

Le système de coordonnées comobile

Ainsi que chacun a dut l’éprouver un jour ou l’autre à son insu, à se déplacer sans prendre de repères on perd le sens de l’orientation, a stricto senso le sens de la mesure. Que deviennent les coordonnées d’un objet quand il se déplace dans un référentiel ? Comment garder la trace des repères ? Fervent adepte des expériences de pensées, Einstein considère que pour garantir les mesures physiques, il faut construire un référentiel avec des règles matérielles solides et placer en chaque point de l’espace une horloge. En somme Einstein construit son univers avec du matériel d’écolier : du papier, une calculette, une règle et sa montre !

Tout ce “matériel bureautique” a pour but de solidariser un point mobile de l’espace au référentiel afin que ses coordonnées x,y,z demeurent constantes. Si ce principe est respecté, le système de coordonnées est caractérisé de “comobile” avec la matière (ici les règles).

Reste à définir si le point est “libre”, c’est-à-dire si sa vitesse dans l’espace absolu est constante au cours du temps. Dans l’affirmative le système est dit “galiléen”.

Un système comobile est rarement galiléen dans l’univers car son référentiel peut tourner par exemple. Mais en effectuant certaines transformations de coordonnées, comme déplacer une règle près d’un objet éloigné, synchroniser les horloges ou maîtriser les lois de l’électromagnétisme quand il s’agit de mesurer un rayonnement, on peut arriver à construire un référentiel galiléen avec plus ou moins de précision.

Pour y parvenir deux méthodes ont été envisagées dès la fin du siècle dernier :

- Les transformations de Galilée dont les expressions sont des fonctions linéaires de x,y,z,t dont le temps, l’espace et le mouvement sont invariants ou scalaires; il est impossible de privilégier un référentiel plutôt qu’un autre par des expériences de cinématique. Si v est la vitesse constante de l’objet considéré, nous avons vu que le changement de coordonnées s’effectue comme suit: x’ = x - vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t.

- Les transformations de Poincaré dont seule l’expression du temps propre τ est invariante car il possède une valeur intrinsèque indépendante du système de coordonnées employé.

Parmi les solutions proposées par les transformations de Poincaré nous retrouvons le groupe des transformations de Lorentz et ses fameuses expressions β2 et γ.

Enfin, on parle également de champ invariant ou de champ scalaire si, après transformation d’une fonction f des coordonnées, non seulement en un point particulier mais en tous points de cet espace auxquels un nombre est attaché, toutes les grandeurs présentent la même propriété d’invariance :

De l’infiniment petit aux dérivées covariantes

Ainsi que je l’ai développé en détail dans le dossier consacré à la philosophie des sciences, depuis toujours les mathématiciens ont été préoccupés par le problème des tangentes et de la division infinitésimale des espaces : comment calculer l’espace parcouru par un objet en un intervalle de temps voisin de zéro ? A cette question comme à bien d’autre du même acabit, Newton et ses émules mathématiciens répondent en remplaçant les grandeurs “infiniment petites” par la notion moderne de limite, qui aboutira au calcul des dérivées et des différentielles d’une fonction et le calcul des primitives.

Dans l’espace-temps de Minkowski de la relativité restreinte, les dérivées covariantes se substituent aux dérivées ordinaires.

Les dérivées partielles en particulier, que l’on retrouve dans les équations d’Einstein, sont nécessaires dès l’instant où l’on manipule des champs continus qui sont incompatibles avec une interprétation “à la Newton”, ainsi qu’Einstein en avait la profonde conviction. Ainsi /xm représente la variation du champ selon la position de l’objet dans l’espace-temps. Tout ceci en une relation mathématique !

Malheureusement de nombreuses fonctions intégrales ne peuvent se définir par des formules simples. Il faut alors calculer ces fonctions par des méthodes d’approximations et parler de valeurs “approchées”, dont l’erreur doit être précisée. Ces méthodes permettent aux mathématiciens de plancher sur les séries convergentes de Maclaurin ou de Taylor, la méthode d’interpolation de Simpson et sur les logarithmes de Neper. Deux mille ans après Archimède, on découvre ainsi que les courbes continues ne possèdent de tangente en aucun point... Paradoxalement, dans l’espace-temps les vecteurs déterminant un point sont définis localement et appartiennent à un espace vectoriel tangent à ce point. C’est la notion de variation d’un tenseur dans le champ gravitationnel que nous verrons dans un instant.

Ainsi que l’écrivit le marquis de l’Hôpital : “une courbe peut-être regardée comme un ensemble infini de segments de droites, chacun étant infiniment petit : ou... comme un polygone ayant un nombre infini de côtés”.

Ces explications démontrent donc qu’il est possible de transformer l’infini en une suite d’éléments calculables et de concevoir une théorie qui soit finalement en relation avec le monde réel. L’infini est également extensible, comme l’Univers qui se contient lui-même est capable de se dilater à l’infini. Prenez une surface élastique infinie. Vous pouvez la détendre en tirant dessus. Vous augmentez ainsi sa dimension et sans vous en rendre compte, vous manipulez des concepts très abstraits comme Einstein nous a appris à le faire.

L'intégrale

Newton et Leibnitz ont découvert que l’aire hachurée = . Elle définit la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe de l’équation y=f(x) et les limites verticales X=a et X=b. Cette fonction de x admet pour dérivée f, ce qui ramène le calcul des intégrales à celui des primitives.

L’approximation

Pour calculer la valeur approchée d’une fonction f dans l’intervalle a,b, on se fonde par exemple sur la méthode de Simpson qui substitue à la fonction f un polynôme de degré 2 (dont la valeur est par ailleurs exacte si f est un tel polynôme) :

Différentielle totale, covariance et dérivée

Tant dans le cadre des coordonnées minkowskiennes que dans le “mollusque” de Gauss de la relativité générale, tout état physique d’un système doit pouvoir être reproductible en tous points ailleurs dans l’espace-temps. Toute variation d’un vecteur, d’un tenseur ou d’un champ de telles expressions entre un système de coordonnées {xα} et {xα + dxα} doit pouvoir être décomposée sur une base naturelle dont nous savons que les coefficients sont des fonctions de xα. Ces coefficients dit “de la connexion linéaire” définissent une opération “image” de l’état physique que l’on veut étudier afin que celui-ci soit reproductible à une autre “époque” ou dans un autre “lieu”. Il va de soi que cette image doit être identique à l’originale.

Posons f(x) et f(x+dx) deux vecteurs définissant un évènement dont les coordonnées subissent une variation infinitésimale dxα dans l’espace-temps Si la translation est correcte après dérivée du premier ordre en dxμ la différentielle absolue ∇f = 0. L’expression ∇μfα est la dérivée covariante de la relation au point de coordonnée x. Cette expression peut-être calculée avant ou après contraction, avant ou après montée ou descente des indices. Si cette condition de nullité est respectée le produit scalaire reste inchangé, on dit que le déplacement est un transport parallèle. De même, lorsqu’un tenseur, fonction des champs en présence, est nul ont dit que la loi est écrite sous forme covariante.

Dans un champ de scalaires g(x) construit sur le corps des réels ou des complexes, où les quantités restent invariantes par changement de repère, la différentielle absolue est identifiée avec la différentielle ordinaire; la dérivée covariante d’un scalaire est égale à sa dérivée partielle. Ceci concerne par exemple les constituants d’une substance qui varie de point à point :

∇g≡ dg

∇μ g(x) ≡ ∂μ g(x)

Lorsqu’on doit effectuer des dérivées partielles d’une fonction scalaire les lois de transformations sont celles des composantes covariantes d’un vecteur. De même, lorsqu’un tenseur de rang n subit une variation infinitésimale dT, ses composantes sont d’un rang n+1. Toutefois, dans la dérivée Lagrangienne (on peut considérer le Lagrangien comme la quantité d’énergie) d’un champ de tenseurs Tαβ les termes sont des composantes d’un tenseur de même ordre Tαβ car le temps propre dt intervient dans l’expression : dTαβ/dt. Ce temps a valeur de paramètre et est utilisé dans toutes les représentations Lagrangiennes du mouvement, le chaos compris. La même relation s’exprime pour la dérivée d’un champ de vecteurs. Il n’est donc pas surprenant de retrouver ces formulations dans l’univers des particules élémentaires, animées ou non de mouvements relativistes.

En relativité générale, où la notion de courbure intervient, si le transport parallèle d’un vecteur entre deux points est indépendant de la géodésique suivie, alors le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel est nul et les coefficients de la métrique sont constants. En effet, après un changement approprié de base, si le transport est parallèle, les coefficients de la connexion sont nuls, la solution fα est une constante. Dans ce cas particulier, cette région de l’espace-temps est un espace plan, statique, exempt de champ gravitationnel.

Prochain chapitre

Le cône de lumière

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