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La théorie de la Relativité

Un principe général

La magie de la Relativité (V)

De retour à Berlin, Einstein rechercha la solution du champ de gravitation en utilisant successivement un lagrangien gravitationnel invariant par rapport à des transformations linéaires, le groupe des transformations complexes puis la théorie de l’univers à 5 dimensions de Kaluza, mais en vain.

Puis finalement ses idées s’agencèrent dans son esprit et il proposa une nouvelle version de sa théorie. Le traitement des transformations unimodulaires qui comprennent à présent des rotations de vitesses angulaires arbitrairement variables (gyromagnétisme) permet à Einstein de découvrir que l’équation gravitationnelle pour l’espace vide :

rμν = - κTμν

est une relation tensorielle covariante. Reliée au principe variationnel, Einstein démontre que les lois de conservation sont satisfaites à condition de tenir compte d’une contrainte sur le tenseur métrique gμν :

  avec g le facteur de Landé et T la trace de Tμν.

Einstein explique que dans la métrique de Minkowski ημν et dans les limites du champ faible hμν dont on ne retient que les termes du premier ordre afin que les équations soient linéaires, le tenseur métrique gμν satisfait la relation tensorielle que nous connaissons déjà :

gμν = ημν +  hμν

et redonne la loi de Newton car dit-il, “quatre équations étant nécessaires pour le déterminer, le système de coordonnées n’est pas encore fixé. Nous sommes donc libres de choisir” :

ce qui permet de retrouver une équation de Newton-Poisson à la limite statique (masse au repos) :

hμν = 2 κ Tμν

A présent Einstein comprend que les tenseurs hμν et gμν ne sont pas déterminés par la gravitation et que l’on peut choisir un système de coordonnées librement sans devoir nécessairement leur donner une signification physique.

Alors qu’il était en train de rédiger son célèbre article de 1915 pour les Sitzungsberichte de Prusse, le 4 novembre Einstein propose devant une session plénière de l’Académie des Sciences de Prusse sa nouvelle version de la relativité générale.

Einstein postule une covariance plus générale des équations de champ alors qu’il y avait renoncé trois ans plus tôt, durant sa collaboration avec Grossmann, pensant que les équations de la gravitation devaient déterminer de manière unique les gμν. La contrainte sur les transformations unimodulaires inutile évacuée, ses équations pouvaient s’exprimer librement. A son tour il pouvait se détendre et annoncer devant l'Académie : "Quiconque aura vraiment compris cette théorie pourra difficilement éviter d'être captivé par sa magie".

Mais le 11 novembre 1915 Einstein constate une erreur et recule d’un pas[22]. Comme il l’écrira avec ironie à Ehrenfest[23] un peu plus tard “il en prend à son aise l’ami E. Chaque année il renie ce qu’il a écrit l’année précédente”. A partir de son équation gravitationnelle rμν pour l’espace vide et du principe variationnel il postule que les lois de conservation sont satisfaites, invariantes par rapport aux transformations unimodulaires, que g reste un champ scalaire, mais à condition de choisir un système de coordonnées plus contraignant, respectant la condition générale g = 1 sur le facteur de Landé dans les limites du champ faible.

Aussi, après une semaine d’hésitation, Einstein déduit à partir de ces équations la relation suivante :

Rμν = -κ Tμν

Ca marche ! Le tenseur de Ricci est cette fois complet, le principe de covariance général est respecté, la relation est satisfaite quel que soit le système de coordonnées. Les équations de la gravitation ne déterminent par les gμν et le tenseur sμν = 0. La loi de causalité est sauvegardée car on peut choisir librement le système de coordonnées.

Einstein prend alors confiance en ses équations et pense que la contrainte sur le facteur de Landé Ög = 1 l’a rapproché de la covariance générale : “le problème a progressé d’un pas”, confie-t-il à D.Hilbert[24] le 12 novembre, “si ma modification actuelle est justifiée, la gravitation doit alors jouer un rôle fondamental dans la structure de la matière. La curiosité rend le travail difficile !

Cette relation explique aussi pourquoi Einstein et Grossmann n’étaient pas parvenus à trouver dans le tenseur de Ricci un candidat probable pour Γμν : il ne se réduit pas à Δφ pour les champs gravitationnels faibles si on limite le choix du système de référence de la source qmn du champ de gravitation; les distributions de gμν sont alors contraintes. L’argument “physique” d’Einstein n’était pas pertinent car les θμν ne sont pas complètement déterminés par les gμν. Tout ceci reposait finalement sur une méconnaissance des identités de Bianci par Einstein.

Mais cette expression a une autre conséquence qu’Einstein confirmera au cours dix années qui suivirent. Le tenseur d’énergie-impulsion total est comme son nom l’indique, la somme de deux termes : celui de la distribution de la matière rμν et celui du champ électromagnétique sμν. Cette relation permet d’évaluer les transferts d’énergie et d’impulsion entre matière et champ électromagnétique et d’effectuer des bilans énergétiques lorsque le système rayonne.

Pour pouvoir effectuer des mesures similaires avec le champ de gravitation, Einstein dut poser une nouvelle quantité τμν,ν = 0 qui satisfaisait les lois de conservations. Si τμν est une grandeur symétrique qui contient les attributs spécifiques du champ gravitationnel, ce n’est toutefois pas un tenseur. On l’appelle le pseudo-tenseur d’énergie-impulsion.

Einstein découvrit qu’en associant le tenseur d’énergie-impulsion Tμν à la contrainte g = 1 , la trace de Tμν =  0 pour le champ électromagnétique mais pas pour la matière ! Que cela signifiait-il ?

Sans entrer dans les détails, cette notion fait intervenir la quantité τoo, dénommée la quantité d’énergie et τoκ/c la quantité d’impulsion. L’intégration de la quantité d’énergie τoo dans les trois dimensions définit l’énergie, quelle que soit sa forme, que contient le volume de matière considéré. C’est une fonction du temps. A l’instar du champ électromagnétique qui est émis par des particules chargées en accélération, ce flux est émis par une masse en accélération et s’interprète comme étant la puissance gravitationnelle rayonnée par la surface du corps. Loin des sources, ces ondes se propagent à la vitesse de la lumière.

Einstein interprète ce résultat en pensant que “les champs gravitationnels moléculaires constituent une part essentielle de la matière“ et que la “densité de trace” que nous voyons dans la matière se décompose en fait en termes plus subtils, la trace de son champ gravitationnel et la somme de la trace du tenseur d’énergie-impulsion T et de sa dérivée T’. T’ peut donc être positif tout en laissant une trace T nulle.

Si vous me suivez toujours, Einstein venait de découvrir les ondes gravitationnelles !

Les ondes gravitationnelles sont caractérisées par un champ h(w)jk qui vérifie l’équation de d’Alembert :

h(w)jk = 0

Un système binaire perdant de l’énergie par rayonnement gravitationnel, son mouvement orbital s’en trouve perturbé, et ce d’autant plus que les masses en interactions sont élevées. Einstein considéra qu’il s’agissait là d’un test positif de sa théorie. Malheureusement, ainsi que nous le verrons dans les expériences, il nécessite des appareillages d’une telle sensibilité qu’à l’heure actuelle aucune observation directe ne peut confirmer leur existence. Einstein avait toutefois posé leur équation. Trois ans plus tard il précisera sous la formule du quadrupôle quelle est la perte d’énergie mécanique d’un tel système.

Le 14 novembre Einstein reçoit un courrier de D.Hilbert dans lequel il écrit : j’ai trouvé “la solution axiomatique à votre grand problème des équations [de Maxwell généralisées], les équations de la dynamique qui se révèlent être une conséquence mathématique des équations gravitationnelles, de sorte que la gravitation et l’électrodynamique ne sont plus des phénomènes distincts...” et invite Einstein pour en discuter lors d’un séminaire sur le sujet.

Fatigué et un peu incommodé Einstein décline son invitation mais lui demande de lui envoyer une copie de ses démonstrations. Ce que D.Hilbert s’empressera de lui communiquer.

Entre-temps, à une semaine du bouclage de son article de 1915, Einstein se pencha encore sur le problème de la précession du périhélie de l’orbite de Mercure, resté en suspens depuis Le Verrier en 1859. Si proche du Soleil, l’orbite de la planète subissait en effet un lent décalage séculaire, son périhélie se déplaçant de 43” d’arc environ par an sans que l’on puisse l’expliquer sur le plan théorique. Seul Simon Newcomb à la fin du XIXeme siècle émit l’hypothèse que la loi de la gravitation en 1/r2 de Newton ne devait pas être statique et devait être corrigée en fonction de la vitesse[25].

A partir de l’équation rμν = 0 et d’un système de coordonnées respectant la contrainte de Landé g = 1, Einstein recherchera “une solution pour une masse ponctuelle dans le champ gravitationnel isotrope statique d’une sphère fluide incompressible” pour pouvoir l’injecter dans l’équation des géodésiques. Il y parvient, en particulier grâce au développement en série de puissance d’une constante d’intégration en α/r puis finit par l’appliquer au calculer des orbites fermées. Einstein parvint ainsi à définir l’orbite de Mercure autour du Soleil et trouve la valeur exacte de la précession D :

C’est alors qu’il comprend seulement que le fait de partir de l’équation rμν = 0 ou Rμν = 0 ne change en rien le résultat. Aujourd’hui en effet les physiciens, géomètres du ciel, préfèrent partir de la deuxième expression.

Cette découverte ne faisait pas “intervenir la moindre hypothèse particulière.[...] Pendant quelques jours je fus en proie à une joyeuse agitation”, écrivit Einstein à Ehrenfest[26], jusqu’à lui donner des palpitations cardiaques confiera-t-il à Adriaan Fokker[27] un peu plus tard.

Nous étions le 18 novembre et jugeant que sa “théorie est tout à fait radicale” du fait de la condition Ög =1, Einstein publie ce résultat[28] en même temps que son calcul de la déviation de la lumière près des corps massifs, qui finalement n’est qu’une version du premier résultat adaptée aux orbites ouvertes. Il donne toutefois une déviation de la lumière deux fois plus importante que celle qu’il avait calculée auparavant : “Un rayon lumineux passant près du Soleil devrait subir une déflexion de 1.7” (au lieu de 0.85)”. Ces deux découvertes jalonneront sa vie de deux nouvelles pierres blanches.

Quelques temps après Karl Schwarzschild lui envoya une lettre du front russe mentionnant la solution exacte de sa théorie pour une masse ponctuelle, dans laquelle il parle pour la première fois du rayon de Schwarschild, ce rayon minimal en-dessous duquel un astre s’effondre sur lui-même...

Le 25 novembre 1915 son article est finalement prêt pour les Sitzungsberichte[29] qui le publient en page 844 et suivantes. Il présente sous forme contractée son équation du champ de gravitation corrigée :

Rμν  = - κ (Tμν - 1/2 gμν T)

précisant que “la théorie de la relativité générale possède désormais une structure logiquement complète”, et que le petit plus que constitue gμνR/2 ne jouait aucun rôle dans ses calculs antérieurs. Le lecteur retrouva son expression sous la forme équivalente :

Rμν - gμν R/2 = - κ Tμν

Une découverte scientifique de la sorte étant rarement isolée, même à l’époque, il faut savoir que six jours auparavant Einstein avait envoyé une missive à Hilbert le remerciant de lui avoir envoyé copie de ses équations et lui précise, sans vraisemblablement prendre le temps de les lire dans le détail, qu’elles correspondent aux équations qu’il a trouvées ces dernières semaines et soumises à l’Académie. Le lendemain, le 20 novembre, Hilbert[30] soumet un article sur les équations de champ à Göttingen. Il ne sera publié qu’en avril 1916.

Son équation du champ est identique à celle d’Einstein et sa démonstration part également d’un principe variationnel à une condition près... : son tenseur Tμν, sur lequel Einstein buta quelques temps, n’a pas une structure dynamiquement libre et dès lors, selon Hilbert, “contient simultanément la solution aux problèmes d’Einstein et de Mie”. Mais les Fondements de la physique, tel est le titre de cet article, dénote dans quel état d’esprit était Hilbert. Il ne cherchait pas simplement des équations de champ mais une équation du monde, valable de l’univers jusqu’au soubassement de la structure atomique. Mais Einstein considéra avec justesse ce rêve comme une recherche “puérile”. Tous deux avaient néanmoins découvert l’équation fondamentale du champ gravitationnel. Toutefois, une note manuscrite inscrite en marge du texte dactylographié de Hilbert prouve qu’il se référa au travail d’Einstein pour obtenir son équation de champ.

Préoccupé par des considérations plus rationnelles pourrait-on dire, devançant Hilbert et Lorentz, Einstein peut à présent correctement appliquer le principe variationnel à la gravitation et écrire fièrement son équation sur le tableau noir :

dans laquelle L est le lagrangien pour la matière et R la courbure scalaire de Riemann. Cette équation est valide pour des variations infinitésimales gμν(x) gμν(x) + δgμν(x), avec δgμν(x) = 0, s’annulant à la frontière du domaine d’intégration. Si L dépend de gmn et non de ses dérivées, on retrouve l’équation du champ corrigée du 25 novembre, y compris l’expression de la trace tensorielle.

Comme le disait Paul Dirac à un étudiant qui lui demandait pourquoi il regardait ainsi une formule inscrite au tableau : “je regarde cette équation car elle sait beaucoup plus de choses sur le monde que moi”.

Peu après, Einstein avoua à son ami Michele Besso[31] qu’il était “content mais passablement fatigué”. Pour la première fois il apportait une solution rigoureuse aux équations de champ.

Prochain chapitre

Le nouveau cadre de la dynamique

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[22] A.Einstein, Sitzungsberichte, 1915, p799 (11 nov).

[23] Lettre à Paul Ehrenfest, 26 décembre 1915.

[24] Lettre à David Hilbert du 12 novembre 1915.

[25] J.Chazy, “La théorie de la relativité et de la mécanique céleste”, Gauthier-Villars, 1928, chapitre 4.

[26] Lettre à Paul Ehrenfest, 17 janvier 1916.

[27] A.Fokker, Nederland Tijdschrift v.Natuurk., 21, 1955, p124

[28] A.Einstein, Sitzungsberichte, 1915, p831 (18 nov).

[29] A.Einstein, Sitzungsberichte, 1915, p844 (25 nov).

[30] D.Hilbert, Göttigen Nachr., 1915, p395.

[31] s/dir P.Speziali, “Albert Einstein-Michele Besso, correspondance 1903-1955”, Hermann, 1972, p35.


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