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La théorie de la Relativité

Un principe général

La relativité générale (I)

Avis au lecteur. Le texte qui suit fait moult usage de la symbolique mathématique dans une version très abrégée qui nécessite un niveau de formation universitaire spécialisé en la matière. Toutefois, du fait que le texte a été allégé des développements mathématiques, les explications sont accessibles à toute personne un tant soit peu intéressée par les mathématiques et pour laquelle le terme de tenseur et les notions d'énergie ne sont pas inconnus. Si toutefois ce côté formel vous rebute, passer de suite aux exemples concrets.

Ainsi que le rapportent ses biographes, la démarche critique d’Einstein s'est élevée dans deux religions : la foi (juive et catholique, “mosaïque” comme il disait) et le tenseur de Riemann-Christoffel. De 1907 à 1911, Einstein s'était penché sur l'aspect cinématique de la gravitation. En 1912, il s'attaqua à un sujet plus difficile encore, la dynamique de la gravitation ainsi qu’à la covariance.

A l’instar de Lorentz, Einstein croyait en un cadre de référence général qui ne devait privilégier aucun référentiel puisque telle était à ses yeux la réalité de l’univers. Comme le disait Eddington[1], cela lui permit de relier les systèmes en rotation ou non inertiels en général aux systèmes statiques en imaginant qu’ “un champ de force représente l’écart entre la géométrie naturelle d’un système de coordonnées et la géométrie abstraite qui lui est arbitrairement assignée”. Nous allons voir comment Einstein découvrit que c’est le champ gravitationnel qui déterminait cette “torsion” de la géométrie euclidienne.

Einstein commença par publier deux articles théoriques qui donnaient le sens de ses recherches : abolir le concept d'un espace plat et d'un temps courbe. Mais il n'y arrive pas car il considère encore que "les axes des coordonnées [sont] comme des corps rigides". Il note cependant que les "transformations de Lorentz sont insuffisantes". Einstein devait absolument inclure le principe d'équivalence dans ses équations, et tenir compte de la théorie de Newton et de la relativité restreinte en tant qu'approximation. Comme il le dira lui-même souvent, il avait peu lu les ouvrages de ses aïeuls et de toute façon il s'attaquait à un domaine ignoré de tous.

Le 26 mars 1912, Einstein écrit à son ami Besso : "Ces temps-ci j'ai travaillé avec acharnement sur le problème de la gravitation. J'ai pour l'instant mis en place la statique. Je ne sais encore rien sur le champ dynamique, ma prochaine étape. [...] chaque pas supplémentaire présente des difficultés diaboliques".

Un peu plus tard il écrit à P.Ehrenfest : "Je réfléchis actuellement sur le cas dynamique [de la gravitation], encore une fois en partant du particulier pour aller vers le général".

Le 20 mai, Einstein télégraphie à H.Zangger : "Mes recherches sur la gravitation m'ont conduit à quelques résultats satisfaisants, bien que jusqu'ici je n'ai pu dépasser le cas statique" et un peu plus tard, "le développement de la théorie de la gravitation se heurte à d'importants obstacles".

Dans un article[2] qu'il publia en juillet 1912, il précisa cependant : "Il faudra renoncer à l'interprétation immédiate des coordonnées de l'espace-temps, mais l'on ne voit pas encore quelle pourrait être la forme des équations générales de transformation de l'espace-temps. Je convie tous mes confrères à se pencher sur cet important problème !".

Le 16 août 1912, Einstein semblait avoir aplani tous les obstacles. Dans une lettre optimiste adressée à L.Hopf il écrivit : "La gravitation marche à merveille. Si tout cela n'est pas une erreur, j'ai trouvé les équations les plus générales". Mais dans la nuit, quand dame Nature se fut assoupie, la surface de l’espace-temps révéla quelques écueils...

Einstein avait compris que la clé du problème résidait dans la théorie des surfaces de Gauss. Il avait suivi les cours de géométrie infinitésimale du professeur Geiser lorsqu'il était étudiant en polytechnique - certaines leçons se rappelle son professeur - mais il manquait d'outils pour résoudre ses problèmes et il ne connaissait pas encore le calcul différentiel absolu (pour rappel, ∇Φ).

Les acteurs

Marcel Grossman vers 1900 et Einstein vers 1905

Pour résoudre ces difficultés Einstein alla chercher l’inspiration auprès de son ami mathématicien Marcel Grossmann, tout deux étant à Zurich et à présent membres de l’Institut polytechnique, lui disant : “Grossmann, il faut que tu m’aides, sinon je vais devenir fou[3]. Dans la conférence qu'il donna à Kyoto en 1922, Einstein[4] se rappela les faits : "Je lui ai demandé alors si on pouvait résoudre mon problème par la théorie de Riemann, c'est-à-dire si les invariants des éléments de distance pouvaient déterminer complètement les grandeurs que je recherchais".

Passionné par la géométrie descriptive mais peu féru de géométrie différentielle ou riemannienne, Grossmann ne put lui répondre immédiatement, pas plus lorsque Einstein[5] lui posa “le problème de la recherche de tenseur à covariance générale dont les composantes ne dépendent que des dérivées des coefficients de l’invariant quadratique fondamental gmndxmdxn”. Mais dès le lendemain raconta Einstein, Grossmann lut tout ce qu’il put sur la géométrie riemannienne et le calcul différentiel absolu de Ricci et Levi-Civita. Il confirma finalement à Einstein, qui découvrit en même temps que lui ces théories, que la géométrie courbe pouvait correspondre aux règles de transformations de Lorentz. Elle pouvait s’appliquer à un référentiel en rotation relativement à un référentiel d’inertie, ce que la géométrie euclidienne était incapable de résoudre. Ensemble Einstein et Grossmann allaient formaliser leurs idées dans un cadre mathématique rigoureux.

De la loi de Newton à la loi du champ

Pour déterminer la structure de l’espace-temps et la répartition des champs en général (les corps matériels mais aussi le champ électromagnétique, etc.), si Einstein avait eu des dons prémonitoires vers 1907 il aurait su qu’il devait trouver deux tenseurs : l’un appelé tenseur d’énergie-impulsion, servant à définir la répartition matérielle des champs dans l’espace physique, le second appelé le tenseur métrique pour décrire l’effet de la gravitation. Mais à l’époque Einstein ne disposait pas encore de ce cadre formel et ne pouvait donc pas interpréter ces solutions. Ouvrons-lui les pages du livre de la Nature et voyons de quelles manières il s’engagea dans cette voie royale.

Pour déduire l'effet potentiel de la gravitation à travers les mesures de distance nous avons à présent compris qu’Einstein adapta en fait la théorie de Newton à la relativité.

La loi de Newton décrit la force d’attraction à distance. Cette force (vecteur F) agit entre deux masses M et M’ séparées de la distance r au même instant t :

avec G, la constante newtonienne de la gravitation

Mais cette équation se heurte aux principes de la relativité, en particulier aux notions de simultanéité et de distance que Newton jugeait lui-même “inconcevables”. A sa décharge il faut bien dire que Newton ignorait que la vitesse de propagation était limitée à c.

Préférant “abandonner l’idée d’assigner aux coordonnées une signification métrique immédiate (différences de coordonnées = longueurs mesurables ou temps)”, trop étroite dans le cadre de la relativité restreinte, en 1908 Einstein pense qu’il faut “envisager une indépendance des lois physiques par rapport à des transformations non-linéaires des coordonnées, dans l’espace quadri-dimensionnel[6]. C’est la seule solution dans son esprit pour poser l’égalité entre la masse inerte et la masse gravitationnelle d’un corps. On oublie le “référentiel d’inertie”, le “principe de Mach” et toute accélération “par rapport” à l’espace pour tenter d’expliquer pourquoi on ne ressent plus la gravité en chute libre et pourquoi on ne mesure pas le même temps avec des horloges au repos et des horloges dans un référentiel accéléré.

En 1909, Einstein prit connaissance d’un article de Max Born[7] traitant de l’interprétation relativiste des corps rigides qui, rappelons-le, sont des systèmes ou champs finis. Ils se rencontreront peu après et il est vraisemblable que leurs discussions permettront à Einstein de trouver des indices en faveur du principe de covariance généralisée. Le 7 juin 1912, voici ce qu’Einstein écrivit à Paul Ehrenfest :”Il me semble que [le principe d’] équivalence ne puisse s’appliquer qu’aux systèmes infiniment petits et que l’on ne puisse donc considérer le système fini accéléré de Born comme un champ gravitationnel statique, c’est-à-dire qu’il ne peut être engendré que par des masses au repos [...] Je n’ai pas encore compris pourquoi le principe d’équivalence ne marche pas pour les champs finis“.

Born avait tenté de définir la rigidité physique comme une propriété à la limite du milieu “continûment déformable” et s’appliquant localement plutôt que globalement. Pour déduire l’histoire d’une particule, son Lagrangien, Born partit tout d’abord d’une représentation cartésienne et déduisit l’élément ds2 comme équivalent à la somme des carrés des différentielles des points de coordonnées à l’instant considéré, formulation classique. Puis il introduisit la notion des champs pkl (ξ, t) fonctions des coordonnées cartésiennes x dépendant du temps t.

Dans le cadre newtonien, il déduisit “une condition de rigidité” invariante de la dérivée :

dpkl / dt = 0

Cela pouvait s’interpréter comme le fait que la distance ds entre deux points restait identique à chaque instant. Born généralisa ensuite son équation dans le cadre d’un “Lagrangien relativiste restreint” et démontra que si la condition de rigidité était respectée, mais cette fois dérivée par rapport au temps propre, on retrouvait l’élément de distance invariant ds2.

L’interprétation ne faisait aucun doute. Si on considérait un mobile animé d’un mouvement quelconque, un observateur extérieur au repos verrait cet objet subir une contraction de Lorentz. En corollaire on pouvait en déduire de façon générale que les pkl étaient uniquement déterminés par la dynamique de l’espace-temps.

Einstein ne fera plus allusion aux corps rigides jusqu’en 1916 mais il avait, semble-t-il, dès 1909 une certaine intuition des propriétés de l’univers qu’il voulait construire.

Reprenant les formules de la relativité restreinte, à partir de la grandeur ds2, Einstein effectue une dérivée du premier ordre du tenseur symétrique réel gμν par rapport aux coordonnées. Si la solution n’est pas nulle nous savons qu’il peut en conclure qu’il existe un champ gravitationnel dans ce référentiel, invariant, c’est-à-dire suivant en cela les préceptes de Riemann :

1.- Le tenseur de courbure formé à partir des coefficients de la métrique est nul

2.- La trajectoire d’un point matériel dont le tenseur répond au critère (1.) suit le chemin le plus court qui est une géodésique.

Les lois de la gravitation

Dans la théorie de Newton, la gravitation est décrite par le potentiel j dont le gradient définit l’accélération subie par une particule. La loi gouvernant ce champ gravitationnel peut prendre trois formes,

En l’absence de champ :

φ = constante

Lorsqu’il y a un champ mais pas de matière :

2φ = 0

En présence de matière de densité r (G est la constante de la gravitation) :

2φ = 4πGρ

Toute la question est de savoir quelles sont les lois correspondantes gouvernant la connexion affine Γσμν dans ces trois cas. Etant donné qu’il existe une centaine d’équations tensorielles pour la première solution, on peut espérer qu’il y en aura un peu moins pour les deux autres expressions.

Einstein propose alors de représenter le champ strictement gravitationnel par une métrique de Riemann. Dans ce nouveau système de coordonnées le tenseur n’est pas nul. S’il tient ensuite compte du champ généralisé il peut alors incorporer les grandeurs du champ électromagnétique pour expliquer le comportement des électrons par exemple.

Grâce aux travaux sur les effets électromagnétiques de Faraday et Maxwell l’action à distance devient une action locale dont l’effet se mesure en des points précis de l’espace. En assimilant la gravitation à l’électromagnétisme et en établissant une correspondance entre la métrique de Minkowski et celle de Gauss, en 1912 Einstein substitue à la force de Newton le potentiel de la gravitation, qui s’exprime à travers l’équation de Newton-Poisson :

L'équation de Newton-Poisson

Δφ = 4Gρ

avec Δ, l'opérateur laplacien

Ce potentiel de la gravitation φ est relié à la distribution de matière contenue dans l’univers par l’intermédiaire de ρ, la densité de la matière.

L’équation de Newton-Poisson est une équation aux dérivées partielles du 2e ordre composée de 10 fonctions indépendantes. Les composantes de la métrique sont généralisées à toutes les propriétés géométriques de l’espace-temps. On passe de 1 composante dans la théorie de Newton à 10 composantes dans celle d’Einstein. Leur transformation dépend du tenseur de courbure de Riemann.

Présentée sous une forme très concise cette équation parle presque d’elle-même. Il faut seulement préciser qu’à l’infini spatial le potentiel φ tend vers une valeur limite. Mais résoudre cette équation est impossible aussi faut-il simplifier les deux membres de l’égalité. Simplifier le potentiel de la gravitation Δφ signifie trouver une loi de symétrie géométrique dans l’espace-temps, c’est simplifier ce qui deviendra plus tard le tenseur d’Einstein. Simplifier le membre de droite, le futur et célébrissime tenseur d’énergie-impulsion, c’est simplifier le contenu de matière de l’Univers. Dans le cas d’une seule masse M, le potentiel de la gravitation φ se réduit à :

φ = GM/ρ

Le champ de gravitation, qui n’est autre que sa force, la dérivée du gradient de potentiel φ de la gravitation s’écrit :

F = M grad φ,  avec gradx φ = ∂φ/∂ξ

L’équation de Newton-Poisson conserve l’opérateur laplacien Δ.Ici commence les difficultés. Celui-ci en effet autorise la propagation instantanée du champ de gravitation. Mais dans un espace euclidien, c’est la densité de matière ρ qui permet de déterminer la valeur du champ gravitationnel. Autre difficulté, l’équation de Newton-Poisson est linéaire, alors que l'équation d'Einstein devait tenir compte d'effets relativistes, la rendant fortement non linéaire.

Deuxième partie

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[1] A.Eddington, “The mathematical theory of relativity”, Cambridge University Press, 1923, p37-38.

[2] A.Einstein, Annalen der Physik, 38, 1912, p1059.

[3] L.Kollros, Helvetica Physica Acta Supplement, 4, 271, 1956, p271.

[4]J.Ishiwara, "Einstein Köen-Roku", Tokyo-Tosho, 1977.

[5] s/dir J.Bicak, A.Einstein, “Einstein a Praha”, Prometheus (Prague), 1979, p42

[6] A.Einstein, “Autoportrait”, op.cit., p62-63.

[7] M.Born, Annalen der Physik, 30, 1909, p1.


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