Contacter l'auteur / Contact the author

Recherche dans ce site / Search in this site

 

La théorie de la Relativité

Un principe général

La relativité générale (II)

En septembre 1912, Einstein fait donc appel à Grossmann pour l’aider à dégrossir la partie mathématique de sa théorie. Le 29 octobre, Einstein écrivit[8] à A.Sommerfeld : "A présent je me consacre au problème de la gravitation et j'espère surmonter toutes les difficultés à l'aide d'un ami mathématicien [...]. Nous menons cette recherche selon une approche heuristique [...] faite d'un mélange pittoresque de méthodes mathématiques et physiques". Cette collaboration durera jusqu’en septembre 1913.

Si la géométrie riemannienne semblait dans une belle “pagaille” pour reprendre le mot de Grossmann[9], il constata également que “les équations différentielles ne sont pas linéaires”, réflexion qui enchanta Einstein. Il avait en effet depuis quelques temps trouvé une équation du champ c qui démontrait que le principe d’équivalence n’était valable que localement et n’était donc pas linéaire.

Einstein et Grossmann corrigent donc immédiatement l’équation de Newton-Poisson pour remplacer l’opérateur Δ par le d’alembertien symbolisé par ☐ afin de tenir compte de la limite imposée par la vitesse de la lumière dans le vide.

L’équation de Newton-Poisson s’écrit à présent sous la forme relativiste de l’équation de d’Alembert :

L’équation de d’Alembert

A travers ce nouveau concept ☐, Einstein parvient à “linéariser” sa solution. Cette équation limite la vitesse de propagation du champ de gravitation à la vitesse de la lumière, c. Toutefois cette équation du champ de gravitation n’est pas invariante pour les transformations de Lorentz. Si le premier membreφ respecte cette invariance, le second membre doit être corrigé pour rendre compte des variations de la densité de matière dans un référentiel relativiste, c’est-à-dire si l’objet repéré est animé d’une vitesse suffisante pour que les effets de “contractions des longueurs” ou de “dilatation du temps” deviennent mesurables.

Pour trouver une solution dans le cadre de la relativité générale, Einstein et Grossmann construisent un cadre formel provisoire leur “permettant de représenter la totalité de la réalité physique”. Leur travail consista à trouver un groupe de transformations qui conservait la covariance dans les cas de champs faibles et si possible de façon générale, quel que soit le champ considéré.

L’intention d’Einstein et de Grossmann était d’utiliser un tenseur de Ricci complet Rμν qui par passage à la limite donnerait l'équation du champ gravitationnel de Newton-Poisson de façon à retrouver la théorie de Newton dans le cas d’un champ engendré par des masses au repos, un champ dit statique[10].

Pour commencer, Grossmann consacre une partie de son temps aux tenseurs asymétriques et contravariants et finit par découvrir que “les équations différentielles du champ de gravitation font jouer un rôle particulier aux invariants [...] et aux covariants différentiels de la relation ds 2 = gμν dxμdxν ”.

Grossmann propose ensuite à Einstein d’utiliser le tenseur de Reimann “à quatre indices”, Rλμνκ qui leur permet “de déduire un tenseur de rang deux du deuxième ordre” par rapport aux dérivées de gμν, le fameux tenseur de Ricci. Mais Grossmann ne voulait pas assumer les interprétations que cette théorie pouvait entraîner.

Einstein t’attaque alors seul à la partie physique. Il s’occupa d’abord du premier tenseur qu’il devait trouver, le tenseur d’énergie-impulsion pour tenter de trouver une loi de conservation générale ou loi du mouvement. Il part du principe variationnel, dont l’expression de l’intervalle d’espace-temps ds2 est un invariant absolu. Ensuite, posant le principe d’équivalence il effectue une transformation particulière afin de travailler dans un référentiel “local”.

A partir de l’équation de conservation de la masse :

et de la loi fondamentale de la dynamique :

avec V.∇ ≡ Vkk, dans lesquels V, ∇ et F sont des vecteurs, Einstein écrit leur équivalent en relativité restreinte :

μTμν = 0.

A l’instar de l’équation de Laplace dans laquelle la densité de charge div E = 0 (où ∇2V = 0) en l’absence de charge électrique, cela permet à Einstein d’éliminer le champ de la gravitation car les tenseurs d’énergie-impulsion qui représentent la matière sont symétriques Tμν = Tνμ. Il peut ainsi considérer que les objets infinitésimaux qu’il manipule évoluent dans un espace vide, sans contraintes, comme dans une chute libre, suivant des lignes droites.

Einstein chercha ensuite à généraliser ce tenseur pour définir les champs en relativité générale. Celalui permet de calculer l’énergie et l’impulsion d’une particule de masse non nulle qui, précise-t-il, “est une caractéristique indépendante du potentiel de gravitation” φ :

relation dans laquelle ρo est la masse volumique dans le référentiel tangent, le rapport de la masse sur le volume au repos de la distribution de la matière.

Einstein remarque déjà à cette époque que la mesure d’une distance ne peut se faire que si on connaît gμν qui détermine le champ gravitationnel, ”le champ gravitationnel dit-il, influence la mesure de façon bien précise”. Tout le concept de la relativité générale est déjà dans son esprit.

Il suppose également que les lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion, qui font intervenir l’action du champ gravitationnel, doivent avoir une forme covariante ∇μ.

Mais Einstein constate rapidement qu’en généralisant ce qu’il appelait “une expression atténuée de la loi universelle de l’espace physique”, c’est-à-dire une loi du champ purement gravitationnel et en laissant tomber pour l’instant le champ électromagnétique, il devait dériver le gradient de potentiel de la gravitation (div grad φ), mais que sa dérivée covariante :

Rμν = 0

C’était la seule contrainte sur les Γ de l’équation Γσμν = Γσνμ lorsqu’il n’y avait pas de matière.

Par ailleurs une autre dérivée covariante le déroutait :

gμν = 0

Si on regarde ses calculs par dessus son épaule, on constate que sa loi du champ était bien du second ordre et linéaire par rapport aux dérivées secondes, il y avait bien conservation du tenseur d’énergie-impulsion mais uniquement dans un espace-temps plat, statique, dans lequel les masses étaient au repos ! S’il fallait en rester à ce groupe restreint de Lorentz, “il n’y aurait aucune justification écrit Einstein, pour représenter la gravitation par une structure aussi compliquée que celle du tenseur gik[11]. Nous sommes tous de son avis !

La généralisation de φ étant le tenseur métrique covariant gmn, il en conclut que “ces opérations dégénèrent quand on les applique à gμν et qu’elles ne sont covariantes que pour certaines transformations seulement” dont il ignore tout. A son tour Grossmann se fourvoie dans les difficultés. Comme lui suggéra Einstein il chercha dans le tenseur de Ricci un candidat possible pour le tenseur Γμν. En fait la généralisation des équations de Newton-Poisson impose :

κθμν = Γμν

κ étant une constante.

De ce fait, ils pensaient tous deux que Γμν serait engendré par des opérations différentielles à partir du tenseur métrique fondamental gμν. Cela n’aboutit vraiment pas, même pas “dans le cas particulier du champ gravitationnel faible”, dira Grossmann.

Entre-temps, en 1911 Einstein[12] tomba sur un autre écueil ne parvenant pas à traiter la vitesse de la lumière comme une constante dans un champ gravitationnel statique F. Le physicien Max Abraham se dressa alors contre la théorie d’Einstein lui disant par magazine[13] interposé que si cette théorie n’était pas capable d’incorporer la gravitation et de conserver l’invariance de Lorentz, on pouvait aussi bien l’abandonner et lui proposa sa propre solution : un espace absolu, une vitesse de la lumière variable et surtout un groupe de Lorentz non invariant sauf si la constante c s’applique sur des échelles infiniment petites, ce qu’Einstein réfuta aussitôt. Et dans son esprit le débat était clos.

Fin 1912 à Helsinki, Gunnar Nordström se pencha sur la difficulté qu’avaient Einstein et ses collègues à traiter la vitesse de la lumière en fonction du champ gravitationnel et émit l’hypothèse que c pouvait être indépendante du potentiel de gravitation φ. Il imposa non pas une dépendance de c vis-à-vis de φ mais une dépendance de la masse par rapport à φ.

Son idée, déjà entrevue par Einstein, était de concevoir que la source du champ gravitationnel scalaire était la trace du tenseur d’énergie-impulsion Tμν dans la métrique de Minkowski hμν ; ses composantes devaient en quelque sorte s’imprégner dans le tissu de l’espace-temps pseudo-euclidien :

Tr[T] = ημνTμν

Physiquement parlant Nordström aboutit au résultat escompté par Einstein, à savoir que la masse gravitationnelle variait en fonction de l’énergie totale du système dans un espace quadridimensionnel Minkowskien :

Δφ = - k E / c4

Einstein présenta ce résultat au congrès de Vienne de 1912 mais il ne put présenter d’avancées notables dans sa théorie du champ gravitationnel, mis à part le résultat remarqué de Nordström. Les physiciens étaient prêts à accepter la théorie de la relativité restreinte mais ils n’acceptaient le principe d’équivalence que du bout des lèvres. Ils considéraient que le statut de sa théorie n’était pas très enviable et seul Lorentz une fois encore l’encouragea à poursuivre.

Troisième partie

Page 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 -


[8] Lettre à A.Sommerfeld du 29 octobre 1912, citée in A.Hermann, "Einstein/Sommerfeld Briefwechsel", Schwabe Verlag, 1968, p26.

[9] A.Pais, “Albert Einstein. La vie et l’oeuvre”, InterEditions, 1993, p211.

[10] Vous trouverez le développement de ces problèmes dans les cours de Relativité de fin de cycle universitaire. Consulter également H.Reeves, "Dernières nouvelles du cosmos", Seuil, 1994, p96 et suivantes; P.Tourrec, “Relativité et gravitation”, op.cit.; A.Pais, “Albert Einstein. La vie et l’oeuvre”, op.cit.

[11] A.Einstein, “Autoportrait”, op.cit., p69.

[12] A.Einstein, Annalen der Physik, 35, 1911, p898.

[13] M.Abraham, Annalen der Physik, 38, 1912, p1058 - M.Abraham, Annalen der Physik, 39, 1912, p444 - M.Abraham, Zeitschrift für Physik, 13, 1913, p793 - A.Einstein, Annalen der Physik, 38, 1912, p1058 - A.Einstein, Annalen der Physik, 39, 1912, p704.


Back to:

HOME

Copyright & FAQ