L’équation de Newton-Poisson s’écrit à présent sous la forme relativiste de l’équation de d’Alembert :

A travers ce nouveau concept ☐, Einstein parvient à “linéariser” sa solution. Cette équation limite la vitesse de propagation du champ de gravitation à la vitesse de la lumière, c. Toutefois cette équation du champ de gravitation n’est pas invariante pour les transformations de Lorentz. Si le premier membre ☐φ respecte cette invariance, le second membre doit être corrigé pour rendre compte des variations de la densité de matière dans un référentiel relativiste, c’est-à-dire si l’objet repéré est animé d’une vitesse suffisante pour que les effets de “contractions des longueurs” ou de “dilatation du temps” deviennent mesurables.

Pour trouver une solution dans le cadre de la relativité générale, Einstein et Grossmann construisent un cadre formel provisoire leur “permettant de représenter la totalité de la réalité physique”. Leur travail consista à trouver un groupe de transformations qui conservait la covariance dans les cas de champs faibles et si possible de façon générale, quel que soit le champ considéré.

L’intention d’Einstein et de Grossmann était d’utiliser un tenseur de Ricci complet R_μν qui par passage à la limite donnerait l'équation du champ gravitationnel de Newton-Poisson de façon à retrouver la théorie de Newton dans le cas d’un champ engendré par des masses au repos, un champ dit statique[10].

Pour commencer, Grossmann consacre une partie de son temps aux tenseurs asymétriques et contravariants et finit par découvrir que “les équations différentielles du champ de gravitation font jouer un rôle particulier aux invariants [...] et aux covariants différentiels de la relation ds ² = g_μν dx^μdx^ν ”.

Grossmann propose ensuite à Einstein d’utiliser le tenseur de Reimann “à quatre indices”, R^λ_μνκ qui leur permet “de déduire un tenseur de rang deux du deuxième ordre” par rapport aux dérivées de g_μν, le fameux tenseur de Ricci. Mais Grossmann ne voulait pas assumer les interprétations que cette théorie pouvait entraîner.

Einstein t’attaque alors seul à la partie physique. Il s’occupa d’abord du premier tenseur qu’il devait trouver, le tenseur d’énergie-impulsion pour tenter de trouver une loi de conservation générale ou loi du mouvement. Il part du principe variationnel, dont l’expression de l’intervalle d’espace-temps ds² est un invariant absolu. Ensuite, posant le principe d’équivalence il effectue une transformation particulière afin de travailler dans un référentiel “local”.

A partir de l’équation de conservation de la masse :

et de la loi fondamentale de la dynamique :

avec V.∇ ≡ V^k∂_k, dans lesquels V, ∇ et F sont des vecteurs, Einstein écrit leur équivalent en relativité restreinte :

∂_μT^μν_;μ = 0.

A l’instar de l’équation de Laplace dans laquelle la densité de charge div E = 0 (où ∇²V = 0) en l’absence de charge électrique, cela permet à Einstein d’éliminer le champ de la gravitation car les tenseurs d’énergie-impulsion qui représentent la matière sont symétriques T^μν = T^νμ. Il peut ainsi considérer que les objets infinitésimaux qu’il manipule évoluent dans un espace vide, sans contraintes, comme dans une chute libre, suivant des lignes droites.

Einstein chercha ensuite à généraliser ce tenseur pour définir les champs en relativité générale. Celalui permet de calculer l’énergie et l’impulsion d’une particule de masse non nulle qui, précise-t-il, “est une caractéristique indépendante du potentiel de gravitation” φ :

relation dans laquelle ρ_o est la masse volumique dans le référentiel tangent, le rapport de la masse sur le volume au repos de la distribution de la matière.

Einstein remarque déjà à cette époque que la mesure d’une distance ne peut se faire que si on connaît g_μν qui détermine le champ gravitationnel, ”le champ gravitationnel dit-il, influence la mesure de façon bien précise”. Tout le concept de la relativité générale est déjà dans son esprit.

Il suppose également que les lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion, qui font intervenir l’action du champ gravitationnel, doivent avoir une forme covariante ∇_μ.

Mais Einstein constate rapidement qu’en généralisant ce qu’il appelait “une expression atténuée de la loi universelle de l’espace physique”, c’est-à-dire une loi du champ purement gravitationnel et en laissant tomber pour l’instant le champ électromagnétique, il devait dériver le gradient de potentiel de la gravitation (div grad φ), mais que sa dérivée covariante :

R_μν = 0

C’était la seule contrainte sur les Γ de l’équation Γ^σ_μν = Γ^σ_νμ lorsqu’il n’y avait pas de matière.

Par ailleurs une autre dérivée covariante le déroutait :

g_μν;ρ = 0

Si on regarde ses calculs par dessus son épaule, on constate que sa loi du champ était bien du second ordre et linéaire par rapport aux dérivées secondes, il y avait bien conservation du tenseur d’énergie-impulsion mais uniquement dans un espace-temps plat, statique, dans lequel les masses étaient au repos ! S’il fallait en rester à ce groupe restreint de Lorentz, “il n’y aurait aucune justification écrit Einstein, pour représenter la gravitation par une structure aussi compliquée que celle du tenseur g_ik”[11]. Nous sommes tous de son avis !

La généralisation de φ étant le tenseur métrique covariant g_mn, il en conclut que “ces opérations dégénèrent quand on les applique à g_μν et qu’elles ne sont covariantes que pour certaines transformations seulement” dont il ignore tout. A son tour Grossmann se fourvoie dans les difficultés. Comme lui suggéra Einstein il chercha dans le tenseur de Ricci un candidat possible pour le tenseur Γ_μν. En fait la généralisation des équations de Newton-Poisson impose :