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Triangulation : mesure de l'altitude d'un phénomène

Calcul de l'altitude d'un météore ou d'une aurore

Beaucoup d'amoureux du ciel nocturne aimeraient par curiosité intellectuelle connaître l'altitude à laquelle ils observent les aurores polaires ou aperçoivent les météores.

La méthode que je vous propose est vieille comme le monde mais fait appel à une contrainte qui malheureusement ne permet pas à chacun d'entre nous de l'utiliser comme nous le voudrions.

En effet il s'agit d'évaluer la hauteur d'une aurore ou d'un météore à partir des mesures effectuées en deux lieux différents distants de quelques kilomètres. 

En général ces phénomènes se manifestent à des altitudes comprises entre 80 et 120 km pour les météores et bolides et entre 90 et 250 km pour les aurores. Evidemment, les plus volumineux et les plus lourds peuvent tomber beaucoup plus bas jusqu'à percuter le sol (météorite).

En général l'observation d'un météore est limitée à une région inférieure à 100 km2. Exceptionnellement certains bolides peuvent survoler plusieurs provinces, départements ou pays limitrophes et parcourir ainsi plus 300 km en quelques secondes.

Si vous voulez réaliser cet exercice, préparez votre observation avec un ami et profitez des périodes à essaim, éventuellement lors d'une sortie d'un club d'astronomie.

Avant toute chose rappelons les formules classiques de trigonométrie concernant les triangles rectangles :

Pour déterminer la hauteur d'un phénomène, projetons plusieurs droites à partir du phénomène à mesurer pour créer des triangles rectangles : l'une vers la verticale du lieu et deux autres respectivement vers chacun des observateurs. Réunissons ensuite les coins de la base comme illustré dans le schéma présenté ci-dessous. Nous avons en fait trois triangles rectangles : la base DAB et les deux côtés EBC et FCA et leurs angles respectifs.

Calcul de l'altitude d'un météore par triangulation.

Exemple :

Deux observateurs O1 et O2 séparés de 20 km (D) observent simultanément un bolide. Ils doivent effectuer les mesures suivantes : 

- Projeter une droite C à la verticale du lieu et repérez-là au sol. 

- Mesurer les 4 angles a, b, d et une élévation à partir de l'un des observateurs; nous prendrons l'angle g depuis O1.

On obtient : a = 60°, b = 50°, d = 70°, g = 70°.

Vérifier toujours que la somme des angles  a + b + d  = 180°.

En appliquant les règles de trigonométrie à la base formée par le triangle DAB dans lequel d est un angle droit, nous pouvons calculer la longueur des côtés A ou B à partir de la distance D :

On obtient ainsi pour les côtés de la base adjacents à la verticale du phénomène :

A = 20 x (sin 60 / sin 70) = 18.4 km

B = 20 x (sin 50 / sin 70) = 16.3 km

Dans le triangle levé EBC joignant l'observateur O1 au sommet S nous devons calculer la hauteur C correspondant à l'altitude du phénomène. Nous pouvons la calculer à partir de l'un des résultats de la formule précédente et de la tangente de l'angle g :

C = B tg g

Nous obtenons une hauteur de (16.3 tg 70) = 44.8 km, telle est l'altitude à laquelle s'est produit le phénomène. CQFD.

Quelle est la longueur de la trajectoire d'un météore ?

A partir des valeurs que nous avons calculées nous pouvons également connaître la longueur véritable de la trajectoire d'un météore dans l'atmosphère (DA). En nous référant à l'illustration ci-dessous, nous avons besoin de la distances d'entrée du météore dans l'atmosphère par rapport à l'observateur (DO), sa distance terminale par rapport à l'observateur (AO) ainsi que la séparation angulaire entre ces deux points (w).

w2 = DO2 + AO2 - 2 DO.AO cos w

Comment calculer la vitesse d'un météore ?

A partir des valeurs que nous avons calculées nous pouvons également connaître la vitesse linéaire d'un météore dans l'atmosphère. Notre méthode requiert la connaissance préalable de 3 paramètres :

- La vitesse angulaire moyenne w du météore

- La distance DO du météore à l'observateur

- L'écart angulaire j au radiant.

La distance au radiant est mesurée parallèlement à la trajectoire du météore depuis l'observateur.

Si la vitesse v du météore est représentée par la trajectoire DA, à partir des équations de trigonométrie nous pouvons calculer dans le triangle DOA la vitesse du météore en radian/sec :

(1)

Si w est petit :

(2)

Pour mesurer la distance à l'observateur DO, il suffit de calculer l'hypoténuse du triangle mesurée par triangulation en appliquant le  théorème de Pyhthagore, pour rappel :

Connaissant tous les angles ainsi que les distances c et b, il est facile de calculer l'hypoténuse a et d'en déduire la vitesse linéaire de notre météore en appliquant la formule (2).

Pour information, la vitesse d'un météore varie entre 11 km/s (39600 km/h) et 72 km/s (259200 km/h). Les essaims les plus rapides sont les Léonides (71 km/s), les Orionides (67 km/s) et les Perséides (61 km/s), les plus lents sont les Draconides et d Léonides qui se déplacent à 23 km/s.

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