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L'Univers à 11 dimensions

Escher, "Ascending-descending", 1960, 38 x 28,5cm

Dans l'arène du lion (II)

Le premier pas vers la théorie M a été réalisé en 1995 par Edward Witten et Paul Townsend de l'Université de Cambridge qui ont montré que la théorie des cordes de Type IIA à 10 dimensions était équivalente à la théorie M à 11 dimensions dont une était compactifiée. Depuis lors, on a démontré que les cinq théories étaient équivalentes. C'est ainsi que les physiciens savent à présent d'où viennent les supercordes : leur origine se situe dans la 11eme dimension de la théorie M.

Notons qu'on peut également y ajouter une sixième théorie, la supergravité à 11 dimensions qui concerne essentiellement les symétries locales dans le cadre de la relativité générale et des basses énergies mais qui utilise les "mêmes cordes" que les théories des supercordes. Ses prédictions sont toutefois différentes dans le cadre des collisions entre particules de haute énergie qui s'accordent beaucoup mieux avec les théories des supercordes.

La théorie M prédit également que les cordes coexistent avec des membranes, les fameux "branes" de différentes dimensions. "p" représente la dimension de l'objet. Ici un petit mot d'explication n'est pas superflu. En théorie M, une particule peut être décrite comme un "0-brane", un objet de dimension zéro. Une corde est une "1-brane", une surface ou une membrane ordinaire comme une bulle de savon est une "2-brane", et ainsi de suite. Globalement, Townsend surnomme cette collection hétéroclite d'objets des "p-branes". Mais cette topologie est subtile. Ainsi, une simple membrane 3-brane détendue ressemble à une feuille dans l'espace-temps. Mais légèrement enroulée comme un cylindre, elle peut ressembler à une 2-brane, un tore, tandis qu'une membrane enroulée de manière très serrée peut ressembler à une fine corde (1-brane). Tous ces p-branes peuvent interagir entre elles dans une ou plusieurs dimensions.

Lorsque ces p-branes vibrent ou pulsent, ils ou elles créent de nouvelles résonances ou des particules, qui furent ignorées dans les premières formulations des supercordes.

C'est ainsi que les physiciens sont amenés à étudier aujourd'hui des solutions de la supergravité à D dimensions, en particulier des solutions de type p-branes. Très abstraites, on peut les décrire comme représentant des hyperplans de dimension d plongés dans un espace-temps de dimension D. Qu'est-ce qu'un hyperplan me direz-vous ? C'est un hypervolume d'univers constitué d'hypersurfaces de dimension p=d-1. Si le sujet vous passionne, sachez que Stephen Hawking y consacre tout un chapitre richement illustré dans son excellent ouvrage L'Univers dans une coquille de noix publié en 2001.

Les dimensions des p-branes

Dans la théorie des supercordes, l'univers à 10 ou 11 dimensions peut présenter des dimensions à la fois étendues ou enroulées sur elles-mêmes. Certaines se présentent comme des membranes (p-brane), des feuilles (2-brane) ou des cordes ouvertes ou fermées (1-brane). Ce sont leurs différents modes de vibrations et leurs interactions avec d'autres p-branes, localement ou dans différentes dimensions, qui créent les particules, les singularités ou déterminent la portée ou le confinement des différentes forces par exemple.

Il est difficile d'imaginer un concept plus abstrait que les branes. Heureusement, les simulations et les illustrations aident quelque peu à fixer les idées. Mais à l'image de l'hypercube (deux cubes bizarrement imbriqués l'un dans l'autre qui représentent un univers à 4 dimensions plongé dans un univers tridimensionnel), un univers 5D ou ayant encore plus de dimensions est tout aussi abstrait qu'une peinture du même genre. N'essayez donc pas de représenter un univers à 10 ou 11 dimensions, même si certains physiciens vous disent qu'à bonne distance... il ressemble au nôtre !

A quoi ressemble un p-brane ? Jouons à "Qui suis-je ?". Imaginez trois hommes aveugles autour du lion d'Einstein auxquels un physicien demande de quoi il s'agit. Le premier va attraper la queue de l'animal et dira qu'il s'agit d'une corde : "Le lion est une corde". Le second va attraper l'oreille du lion. Sentant qu'il s'agit d'une surface à deux dimensions, il s'écrira : "Non, le lion est un deux-brane". Le troisième homme aveugle trébuchera sur une des pattes du lion et sentira qu'il s'agit d'un corps solide tridimensionnel et s'exclamera, "Vous avez tous les deux tord. Le lion est un trois-brane !" Ils ont tous les trois raisons. Comme la queue, l'oreille et la patte forment les différentes parties du même lion, la corde et les variétés de p-branes apparaissent comme étant les différentes limites de la théorie M. Townsend appelle cela la "démocratie p-brane".

Le verdict de dame Nature

A l'image des dessins d'Escher qui défient le sens commun, chacun sait que le test ultime et sans appel de toute représentation théorique est le verdict de dame Nature : la théorie doit être compatible avec les données expérimentales. Que la théorie des supercordes soit la plus originale ou la plus élégante, elle réussira ou échouera à décrire le monde physique qui nous entoure. Comme le dit Kaku, "soit c'est une Théorie de Tout, comme ses avocats l'espèrent, soit c'est une théorie de rien. Il n'y a pas de milieu". Aussi, pour trancher la question, les physiciens théoriciens doivent répondre à la seconde question : est-ce que notre Univers, avec son étrange collection de quarks et de particules subatomiques est l'une des solutions de la théorie des supercordes ?

C'est ici que les physiciens sont confrontés à un problème embarrassant car jusqu'à présent ils ont été incapables de trouver toutes ses solutions à quatre dimensions. Les mathématiciens sont confrontés à des difficultés diaboliques que personne n'est parvenu à résoudre totalement.

En général, il existe deux types de solutions. Jusqu'ici, seule la première classe, appelée les "solutions perturbées" ont été trouvées. A travers toutes les branches de la physique, les théoriciens font face à une équation qu'ils ne peuvent pas résoudre, même pas pour trouver des solutions approximatives. Ainsi que nous l'avons évoqué, dans la théorie des supercordes, des millions de solutions perturbées ont été cataloguées. Chacune correspond à une manière différente de recourber les 6 des 10 dimensions. Toutefois, aucune d'elles ne génère les quarks, les leptons et les bosons du Modèle Standard, bien que certaines s'en approchent.

Aussi, beaucoup de chercheurs pensent que le Modèle Standard pourrait se trouver dans la seconde classe de solutions, les solutions "non perturbées". Mais cette seconde classe de solutions compte généralement parmi les solutions les plus difficiles de la physique. Certains physiciens désespèrent même de jamais trouver une solution non perturbée de la théorie des supercordes; après tout, même les solutions non perturbées des théories à quatre dimensions sont totalement inconnues, laissant les physiciens aux prises avec une théorie compliquée à 10 dimensions.

La dualité et la méthode des perturbations

De quelle manière la théorie M pour résoudre cet inextricable problème ? La réponse réside dans un nouvel outil appelé la "dualité". En deux mots, dans la théorie M il y a une dualité, une relation mathématique simple entre les régions perturbées et non perturbées. Ceci nous permet enfin de jeter un oeil sur cette "région interdite".

Pour comprendre comment la dualité fonctionne, considérons par exemple la théorie de Maxwell de l'électricité et du magnétisme. Les physiciens savaient depuis une décennie que s'il échangeaient le champ électrique E et le champ magnétique B dans les équations de Maxwell et qu'ils inversaient également la charge électrique e avec la charge magnétique g, les équations restaient identiques. Ces changements ne modifient en rien la théorie de Maxwell à condition d'effectuer cette double transformation.

En fait, dans la théorie de Maxwell, le produit e*g est une constante : à un petit e correspond un grand g. Ceci est la clé. Supposons qu'une équation comprend une fonction mathématique qui dépend de g2 et qui ne peut pas être résolue exactement. L'astuce mathématique qu'on utilise habituellement est d'approcher la solution en utilisant la méthode des perturbations : g2 + g4 + g6... etc. Tant que g < 1, chaque terme de la série est plus petit que le suivant et le résultat converge vers un seul chiffre.

Mais si g 1 alors le total devient de plus en plus grand, il diverge et l'approximation échoue. C'est ici que la dualité entre en jeu. Si g est grand, alors e < 1. En utilisant les perturbations, on obtient une série de la forme e2 + e4 + e6..., qui donne une valeur raisonnable. En conclusion, cela signifie qu'en utilisant la perturbation sur e on peut résoudre les problèmes qui apparaissent dans la région non perturbée de g.

La dualité dans la théorie de Maxwell est évidente. Mais dans la théorie M, on trouve une autre dualité : g1/g. Cette relation, bien qu'étant la plus simple, dispose d'une incroyable puissance. Pour un théoricien, elle signifie qu'une théorie des cordes définie pour de grands valeurs de g, habituellement impossible à décrire en utilisant les mathématiques modernes, peut être décrite comme équivalent à un autre type de théorie des cordes valant pour de petits g, laquelle est facilement descriptible en utilisant la théorie des perturbations.

Ainsi, deux théories différentes des cordes peuvent être duales l'une envers l'autre. Dans une région non perturbée de la théorie des cordes il peut se cacher une autre théorie des cordes ! C'est en fait de cette manière que les physiciens théoriciens ont prouvé l'équivalence des cinq théories des cordes. 

Ensemble, trois types différents de dualités appelées S, T et U ont été découvertes qui tendent un inextricable réseau de dualités entre les théories des cordes de différentes dimensions et types. A une vitesse étonnante, les physiciens peuvent à présent cartographier presque toutes les solutions et dualités existant dans les 10, 8 et 6 dimensions.

Relations de dualités entre les différentes théories des cordes.

Qu'est-ce que cela donne en pratique ? Avant la théorie M, découvrir des solutions non perturbées dans ces dimensions était considéré comme une tâche impossible. A présent, selon les physiciens, le problème est trivial. Par exemple, admettons que deux théories A et B sont duales l'une envers l'autre dans les 10 dimensions. Si nous compactifions les deux théories de la même manière, nous obtenons les théories A' et B'. Mais à présent nous savons quelque chose de plus : que A' est également en dualité avec B'. Et donc que le comportement non perturbé de A' est décrit par B'. En élaborant ce processus, on peut obtenir une compréhension presque complète des différents univers possibles jusqu'à 6 dimensions. Ainsi la théorie M résout des classes entières de problèmes considérées jusqu'alors comme insolubles. Cette méthode donne même de nouveaux détails intéressants à propos des effets quantiques des trous noirs.

Concrètement, nous savons que les cinq théories des cordes donnent des résultats différents, principalement dans le cadre d'une théorie des perturbations faiblement couplées. Ainsi que nous l'avons expliqué, deux théories sont duales si toutes deux peuvent décrire la même physique.

Comme indiqué dans le schéma présenté ci-dessus, la première dualité est appelée la dualité T. Cette dualité met en relation une théorie qui est compactifiée sur un cercle de rayon R avec une autre théorie compactifiée sur un cercle de rayon 1/R. Ceci explique pourquoi, lorsqu'une théorie présente une dimension enroulée jusqu'à former un cercle, dans sa contrepartie, le cercle présente un très grand diamètre (il n'est pratiquement plus compactifié du tout). Toutefois, les deux théories décrivent la même physique... Cela signifie que les théories des supercordes de Type IIA et IIB sont en relation par la dualité T, tout comme le sont les théories Hétérotique SO(32) et E8 x E8.

La deuxième dualité est appelée la dualité S. Cette dualité met en relation la limite de couplage fort (haute énergie) d'une théorie à la limite de couplage faible (basse énergie) d'une autre théorie (bien que la notion de couplage faible dans les deux théories puisse être différente). C'est ainsi que la théorie des supercordes Hétérotiques SO(32) faiblement couplée et la théorie des supercordes de Type I sont duales dans les 10 dimensions. Cela signifie que la limite de couplage fort de la théorie des supercordes Hétérotique SO(32) est faiblement à la théorie des surpercordes de Type I et vice versa.

Une méthode pour trouver les preuves de cette dualité entre les couplages fort et faible consiste à comparer le spectre des états de basse énergie dans chaque représentation et de voir s'ils correspondent. Par exemple, la théorie de Type I présente un état de corde D qui est massif sous un faible couplage mais léger sous fort couplage. Cette corde D transporte un champ tout aussi léger que la membrane d'une corde Hétérotique SO(32). Aussi, lorsque la théorie de Type I est fortement couplée, cette corde D devient très légère et on voit émerger la description de la corde Hétérotique faiblement couplée, de basse énergie.

L'autre dualité S dans les 10 dimensions est l'auto-dualité des supercordes de Type IIB : la limite de couplage fort de la corde IIB correspond à une autre théorie IIB faiblement couplée. La théorie IIB dispose également d'une corde D (contenant plus de supersymétrie que la corde de Type I D, d'où la physique différente), qui est un état léger sous un couplage fort, mais cette corde D ressemble à une autre corde fondamentale de type IIB.

La théorie M

C'est en 1995 qu'Edward Witten suggéra que les théories des cordes de Type IIA et E8 x E8 étaient en relation à travers une nouvelle théorie à 11 dimensions qui deviendra la théorie M.

La théorie M décrit le monde à basse énergie (c'est relatif) de la supergravité à 11 dimensions. C'est une théorie qui décrit des membranes et des 5-branes sous forme de solitons plutôt que de cordes. Pourquoi alors avons-nous fait tout ces développements si c'est pour les supprimer ? En fait, si on compactifie la 11eme dimension de la théorie M dans un petit cercle, on peut obtenir une théorie à 10 dimensions. Si on prend une membrane ayant la topologie d'un tore et qu'on enroule l'une de ses dimensions sur ce petite cercle compact, la membrane se transforme en... corde fermée. A la limite, lorsque le cercle devient très petit, on découvre une supercorde de Type IIA !

On peut modifier ainsi les membranes de différentes manières pour obtenir différents types de branes :

Théorie M sur un cercle

Type IIA en 10 dimensions

Enroulement d'une membrane sur un cercle

Corde IIA

Compactification de la membrane à l'échelle de Planck

0-brane

Déroulement d'une membrane

2-brane

Enroulement d'un 5-brane sur un cercle

4-brane

Déroulement d'un 5-brane

5-brane NS

Deux types de branes ne sont pas décrits, les 6 et 8-brane. Le 6-brane peut être considéré comme un monopôle de Kaluza-Klein qui est une solution particulière de la supergravité à 11 dimensions lorsqu'elle est compactifiée sur un cercle. Le 8-brane n'a pas d'interprétation très claire dans la théorie M actuellement. Avis aux chercheurs !

A présent, avec cette 11eme dimension de la théorie des supercordes et les différentes dualités existants entre les théories des cordes, les théoriciens sont naturellement conduits à étudier la seule théorie fondamentale qui chapeaute l'ensemble, la théorie M. 

Les cinq théories des cordes et la supergravité à 11 dimensions peuvent être considérées comme des limites classiques de la théorie M (c'est ce que nous avons déduit de leurs théories quantiques en utilisant la théorie des perturbations). Mais les perturbations ont des limites formelles. Aussi, en étudiant les aspects non perturbés de ces théories grâce aux dualités, la supersymétrie, etc, on en vient à la conclusion qu'il semble n'y avoir qu'une seule théorie quantique derrière tout ceci. Cette unité est très attirante et tout le travail consiste à présent à formuler complètement la théorie M sous forme quantique.

Mais le travail est complexe. Les solutions se comptent par millions et les passer en revue pour trouver celle que nous cherchons peut durer de nombreuses années, des décennies. 10 ans après les premières tentatives, il en reste encore des millions à analyser !

La "Théorie de Tout" aura-t-elle 10, 11 voire même 12 dimensions comme le proposa Vafa de l'Université d'Harvard en 1994 ? Selon Schwarz, la réponse peut être aucune d'entre elles. Il pressent que la véritable théorie n'a peut-être pas de dimension fixe et que les 10 dimensions émergent seulement une fois que nous avons essayé de résoudre le problème. Townsend partage une vue similaire quand il dit : "Toute la notion de dimensionnalité est une approximation qui émerge uniquement dans un contexte semi-classique". Si leur idée se concrétise, ce serait vraiment la théorie idéale !

Witten également, pense que nous sommes sur la bonne piste. Mais il pense qu'il nous faudrait encore d'autres "révolutions" : "Je pense qu'il y aura encore au moins deux révolutions des supercordes à l'avenir". Vafa ajouta : "J'espère que c'est la lumière à la fin du tunnel. Mais qui connaît la longueur du tunnel ?"

Kaku est plus optimiste : "Pour la première fois dit il, nous pouvons voir le profil du lion et il est magnifique. Un jour, nous l'entendrons rugir".

Mais depuis ces développements une autre théorie concurrente fait son chemin, celle de la gravité quantique à boucles ou LQG.

Une alternative : la théorie des twisteurs de Penrose

En marge de la théorie M et de la LQG, analysons avec Roger Penrose, professeur émérite Rouse Ball de mathématiques à l'Université d'Oxford l'utilité de la théorie M vis-à-vis de sa propre théorie, celle des twisteurs.

La théorique des cordes et la théorie des twisteurs visent toutes deux à comprendre la structure fondamentale de l'univers à travers une théorie de la gravité quantique. 

Du fait que la physique quantique et la relativité présentent chacune de sérieuses incohérences, les théoriciens ont pensé qu'en fusionnant les deux théories, chacune pourrait tirer avantage de l'autre. La principale raison est que dans certaines situations, les deux théories prises isolément n'ont pas de sens physique.

Ainsi dans le cas de la relativité générale, le problème vient des singularités de l'espace-temps, des régions dans lesquelles tout semble aller à l'infini et où les lois ne sont plus d'application. C'est particulièrement vrai dans un trou noir, où l'espace-temps  et la matière tels que nous les connaissons perdent toute existence. Et s'il nous vient l'envie d'inverser la flèche du temps, on découvre un phénomène de Big Bang aux propriétés identiques. On a donc anticipé qu'une théorie de la gravitation quantique appropriée pourrait remplacer ces phénomènes singuliers par quelque chose de mathématiquement et physiquement compréhensible.

La théorie quantique du champ est également confrontée aux problèmes de l'infini. Si on respectait rigoureusement les règles mathématiques, on aboutirait inévitablement à des solutions "infinies" dépourvues de sens. On peut y remédier par une méthode mathématique appelée la "renormalisation" qui, dans de nombreux cas, permet d'insérer dans les expression les valeurs physiques obsetvées correspondant aux différentes quantités physiques (comme la masse ou la charge électrique).

La renormalisation fonctionne très bien et a permis d'aboutir au modèle Standard de la physique des particules. Mais cette théorie jongle avec pas moins de 19 paramètres indéterminés, comme la masse de certaines particules élémentaires. Pour résoudre ce problème et quelques autres, nous avons vu de quelles manières la théorie des cordes pourrait nous apporter quelques éléments de solution si pas la solution à tous nos problèmes de physique.

Mais en jouant avec toutes ces dimensions excédentaires, l'univers a-t-il encore un sens ? Même dans la théorie M, les physiciens sont contraints de compactifier au moins 6 dimensions jusqu'à l'échelle de Planck pour aboutir à l'univers familier que nous connaissons.

Penrose soulève ici une remarque. "Ces dimensions compactifiées doivent être hautement instables et doivent s'effondrer jusqu'à la singularité de la même manière que les trous noirs et le Big Bang dans la théorie de la relativité générale, mais à présent dans une échelle de temps caractéristique aussi absurdement petite que le temps de Planck de 10-43 secondes. Aussi, avec ces dimensions excédentaires, nous sommes, pour l'essentiel revenu au départ : face à des infinis - mais à présent les infinis des singularités de l'espace-temps, pas uniquement celles de la théorique quantique du champ".

Dans les années 1960, Penrose proposa la "théorie des twisteurs" pour échapper à cette difficulté. Il considère que les règles de la physique quantique pourraient être modifiées pour s'appliquer à l'échelle macroscopique. Par ailleurs, il apparaît que ses règles peuvent être subtilement modifiées lorsqu'elles s'appliquent à la géométrie de l'espace-temps, ce qui permettrait en dernier recours de résoudre les principaux paradoxes de la physique quantique, telle que le chat de Schrödinger. 

Dans la théorie des twisteurs, la sphère céleste est considérée comme une "courbe complexe" que l'on appelle également une surface de Riemann. Une surface complexe de dimension n peut ressembler à une surface conventionnelle, comme celles que nous observons, pour la simple raison qu'un nombre complexe de la forme a + ib contient l'information sur la paire de nombres réels a et b. Les surfaces de Riemann peuvent présenter différentes topologies; la sphère céleste est un cas particulier de topologie sphérique connue sous le nom de sphère de Riemann.

De ce point de vue cela ressemble à une simple curiosité mathématique, comme ce fut initialement le cas de la théorie des groupes, des courbes de Riemann, des attracteurs étranges et des fractals. Nous savons depuis quels ont été leur succès respectifs. 

A son tour, la théorie des twisteurs considère cette apparente curiosité comme fondamentale. Du point de vue d'un twisteur, les rayons lumineux, tels ceux émis par une étoile en direction de la Terre sont plus primitifs que les points de l'espace-temps; le twisteur considère "l'espace du rayon lumineux" - les points individuels de l'espace représentant la totalité des rayons lumineux dans l'espace-temps - comme étant plus fondamentaux que l'espace-temps lui-même. Ce principe à de multiples conséquences.

Dans la représentation classique de l'espace-temps, deux points peuvent occasionnellement être reliés par un rayon lumineux qui est généralement représenté par une ligne (géodésique) évoluant dans l'espace-temps. En revanche, dans la théorie des twisteurs, un rayon lumineux est défini comme un simple point dans l'espace du rayon lumineux tandis qu'un point P de l'espace-temps est représenté par la valeur des rayons lumineux passant par P dans la sphère céleste, en d'autres termes par une courbe complexe, une sphère de Riemann passant à travers l'espace du rayon lumineux. 

En fait, "l'espace du twisteur", l'espace total de la théorie des twisteurs, est légèrement plus grand que l'espace du rayon lumineux et, plus surprenant, c'est un espace à trois dimensions complexes. Cette translation de l'espace-temps vers l'espace des twisteurs est riche d'information. En particulier, les équations de certains champs majeurs de la physique, tel que le champ électromagnétique de Maxwell peut être résolu et exprimé simplement en termes de twisteurs.

La suite de cette passionnante aventure est décrite dans mon livre :

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Pour plus d'informations

Sur ce site

La théorie des supercordes

L'harmonie des supercordes

Les cordes cosmiques

Sur YouTube

La magie du cosmos - Univers ou multivers (reportage sur les travaux d'A.Guth, A.Linde, B.Greene, etc)

La théorie des cordes

Sur Internet

La gravitation quantique (IN2P3, Collège de France)

Notes de cours Pr L.Marleau (U.Laval, Qc)

Théorie des supercordes, Pr L.Marleau (U.Laval, Qc)

Edward Witten, son site web

Mkaku, le site web du très didactique Pr Michio Kaku

The Second String Revolution, Pr John H.Schwarz, Caltech

Superstrings, Brian Greene, Cornell

Kaluza-Klein Theories, Sabine Hossenfelder

The Kaluza-Klein theory

The Official String Theory website, Caltech

Strings, John M.Pierre, MIT

Google Scholar et arXiv.

Livres

Notre univers mathématique, Max Tegmark, Dunod, 2014

La réalité cachée, Brian Greene, Robert Laffont, 2012

L'univers élégant, Brian Greene, Robert Laffont, 2000; Folio essais, 2005

Supercordes et autres ficelles : Voyage au coeur de la physique, Carlos Calle et al., Dunod, 2004

Supersymétrie, Gordon Kane, Le Pommier, 2003

L'Univers dans une coquille de noix, Stephen Hawking, Odile Jacob, 2002/2009
La Quatrième dimension : Voyage dans les dimensions supérieures, Thomas Banchoff, Pour la Science, 1996

The Road To Reality: a complete guide to the laws of the universe, Roger Penrose, Alfred Knopf, 2004

Our Superstring Universe, L.E.Lewis, iUniverse, 2003

Hyperspace: Our Final Frontier, John Gribbin, TLC/BBC, 2001

Quantum fields and strings, P. Deligne, Masson (ou Amer Mathematical Society), 1999

Hyperspace: A Scientific Odyssey through the 10th Dimension, Michio Kaku , Anchor Books, 1995

Strings, Conformal Fields, and M-Theory, M.Kaku, Springer-Verlag, 1991

The Superstring store (livres en anglais).

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