MEDIDAS DE LA SOMBRA CON EL GNOMON
Instrucciones de operativa y
alguna idea que puede ser de utilidad
Versión 1.20 30/5/08
Pere Closas
En la página del AIA-IYA2009, está colgada la última versión del proyecto y el Power Point con la presentación.
En la opción de "Proyectos Emblemáticos", al final encontraremos la opción de "Determinación del Radio de la Tierra"
http://www.astronomia2009.es/
Presentación en Power Point
Versión 1.25 30/5/2008
2. REALIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA
2.1. Preparación de la experiencia
2.2. Tablas astronómicas de posición del sol. La ecuación del tiempo
2.3. Registro de la longitud de la sombra
2.4. Recogida y tratamiento de datos
2.4.1. Medida de la longitud de la sombra. Tabla de datos
2.4.2. Determinación de la hora de paso por el meridiano
2.4.3. Proceso gráfico del registro de datos
2.4.4. Tratamiento analítico de las medidas
2.4.5. Medidas necesarias para la determinación conjunta del radio de la Tierra
2.4.6. Comunicación de resultados
3. OTRAS ACTIVIDADES DE CÁLCULO
3.1. Medida de alturas, por semejanza de triángulos
3.2. Problemas de Astronomía. El marino y el astrónomo
3.2.1. Astronomía de posición
3.2.2. El astrónomo construye una tabla de posiciones del Sol
3.2.3. El navegante desea saber dónde se encuentra
4. CONVERSACIONES DISTENDIDAS EN TORNO AL GNOMON
4.1. Preguntas de introducción
4.2. ¿Qué es un día?
4.3. Una explicación intuitiva de los conceptos de día sidéreo y solar.
4.4. Relación del concepto de día con el movimiento de traslación
4.5. Una alternativa del gnomon: la meridiana
4.5.1. Las grandes meridianas
4.5.2. Una meridiana casera
4.6. Historia de la medida del tiempo
4.7. La determinación de la longitud
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__________________________________
1. PRESENTACIÓN
A desarrollar
1.2. Medida a partir de dos observaciones sobre el mismo meridiano
Posiblemente la comprensión del método de Eratóstenes es más fácil cuando la vertical de uno de los lugares de observación coincide con la de los rayos solares.
Se aplica la geometría elemental: dos líneas paralelas (dos rayos de sol) cortadas por una secante (radio terrestre que pasa aquel lugar de observación cuya vertical no coincide con los rayos solares (Alejandría) definen ángulos iguales (o suplementarios).
Medida angular del arco entre Assuan (o Siena) y Alejandría = ángulo que forman los rayos solares con la vertical en Alejandría. 
Evidentemente estas afirmaciones son válidas solamente para aquel día del año (solsticio de verano) en que los rayos solares en Assuan inciden en el fondo del pozo (= caen verticales).
En cuanto a la distancia lineal entre las dos ciudades, la tradición dice que Eratóstenes la estimó en estadios (medida de aquel tiempo, de equivalencia no del todo bien conocida) a partir del tiempo empleado por las caravanas de camellos para el desplazamiento entre estas ciudades.
1.3. Propuesta para la realización de la medida por dos observadores, situados en meridianos próximos
La repetición de la determinación original de Eratóstenes exigiría que los dos observadores estuviesen situados en el mismo meridiano. En las líneas que siguen se indica la forma de proceder si no se cumple esta condición. De forma rigurosa, los razonamientos que siguen sólo serían válidos si el sol estuviese fijo e inmóvil en el cielo. Esta condición no se cumple estrictamente, ya que el sol va cambiando de posición sobre el fondo de estrellas; pero su movimiento es suficientemente lento para poder despreciarlo si la separación temporal de las medidas es del orden de pocas horas. Por tanto supondremos que el sol se comporta como un punto fijo en el cielo y su cambio de posición aparente para cada lugar de observación viene dado solamente por la rotación de la Tierra.
Medida angular de la diferencia de latitud
Para cualquier lugar y cualquier día del año y exactamente en el instante del mediodía solar local, se cumple que
Distancia angular del Sol al cenit = Latitud del lugar - Declinación del Sol [1]
Y también
Distancia angular del Sol al cenit = 90º - Altura del sol [2]
De donde tomando dos puntos cualesquiera
Diferencia de latitud = Diferencia de alturas del Sol en el mediodía solar local. [3]
Por tanto si cada observador calcula la altura del Sol en el momento del tránsito, la diferencia de alturas coincide con la diferencia de latitud.
Altura = arcotangente (altura del gnomon / longitud de la sombra)
Esta diferencia de alturas se considerará como medida angular del arco de meridiano dado por la diferencia de latitud entre los dos lugares de observación. |
Medida lineal de la diferencia de latitud
Se propone una alternativa a la caravana de camellos de Eratóstenes.
Cada observador determinará la longitud lineal del arco de meridiano desde su lugar de observación hasta un punto arbitrario común de referencia. Para esta referencia se ha propuesto el paralelo 40ºN, que es el que pasa por el centro de la Península. Con un buen atlas, una regla graduada y la escala del mapa se determinará la distancia en kilómetros de este arco de meridiano.
De la medida de los dos observadores se calculará el arco de meridiano correspondiente a sus diferencias de latitud.
Ejemplo: si un observador está 300 Km al norte del paralelo 40ºN y otro observador a 200 Km al sur de dicho paralelo se tomará como arco de meridiano 500 Km.
Cada observador deberá comunicar su distancia en kilómetros al paralelo 40ºN
Puede calcularse de distintas formas
Si sugiere hacerlo a partir de un atlas, la medida con regla y el cálculo a partir de la escala del mapa |
Resultado final
El cociente entre distancia lineal / distancia angular da una proporción para la circunferencia de la Tierra expresada en kilómetros / grado.
A partir de este valor se calcula la longitud completa de la circunferencia (proporcionalidad a 360º) y el radio por simple división entre 2 pi
1.4. Propuesta para la realización de la medida por varios observadores, situados en meridianos próximos
En este apartado se presenta el tratamiento de un conjunto más numeroso de observaciones Es útil para hacer el tratamiento de todos los datos. Es discrecional la presentación y explicación a todos los participantes. Posiblemente su comprensión exige una cierta habilidad en la construcción e interpretación de gráficas.
Es principio básico en la observación que incrementar el número de mediciones contribuye a disminuir el error de las mismas.
La forma de obtener un resultado único a partir de las aportaciones de todos los observadores es la siguiente:
Cada observador aporta los dos datos siguientes:
la altura del Sol en el momento del tránsito (medida en grados)
la distancia de su lugar de observación al paralelo 40ºN (medida en kilómetros)
Con estos puntos se construye una gráfica, tomando como abscisas la altura del sol y como ordenadas la distancia kilométrica al paralelo de referencia (valores positivos hacia el norte). Las proporcionalidades presentadas al final del apartado anterior indican que la gráfica deberá dar una línea recta.
La pendiente de la recta, que se puede ajustar por el método de mínimos cuadrados, proporciona un valor a la relación kilómetros/grado
Para la elección de la fecha de realización deben tenerse en cuenta aspectos de tipo objetivo y aspectos de adecuación al calendario escolar.
Esas consideraciones hacen referencia solamente a una realización en un mismo día del año de las medidas con el gnomon, por un conjunto amplio de centros a efectos de determinar conjuntamente el radio de la Tierra. Otras posibilidades didácticas de la experiencia quedan fuera de estas consideraciones.
1.5.1. Consideraciones Astronómicas
En este apartado se analiza la época del año en que se puede esperar mayor exactitud en la determinación de la altura del Sol, en el momento del tránsito.
La relación del ángulo altura del Sol y la longitud de la sombra viene dada por la expresión
donde a es el ángulo a calcular, h la altura del gnomon y s la longitud de la sombra.
Derivando esta expresión
  o bien  [1]
o bien, teniendo en cuenta que 
 [2]
Esta fórmula indica que cuanto más corta es la longitud de la sombra (menor valor s) los posibles errores en la medida de la longitud de la sombra tienen mayor incidencia en el error del ángulo a.
Para ilustrar este hecho se tabula el valor del coeficiente de ds en la expresión [1], para diferentes épocas del año y para latitudes medias. Se ha trabajado con un gnomon de 80 cm de altura
Época del año |
Altura aprox. del Sol (º) |
Long. Sombra (cm) |
Cos (altura) |
Coeficiente |
Solsticio de Verano |
70 |
29 |
0,342 |
0,0111 |
Equinoccios |
40 |
95 |
0,766 |
0,0052 |
Solsticio de Invierno |
30 |
139 |
0,866 |
0,0031 |
La repercusión de los errores de la medida de la longitud de la sombra en el error del ángulo es casi cuatro veces superior en fechas próximas al solsticio de verano que en fechas próximas al solsticio de invierno.
Además, teniendo en cuenta que el cálculo final se hará a partir de la diferencia de ángulos, un error absoluto del orden de un grado en cada una de las medidas de la altura del sol da un error relativo superior al 20% al tratarse de diferencias del orden de unos 7º (diferencia máxima de latitud entre observadores situados en la península) o error relativo del orden del 14% si las diferencias de latitud son del orden de 14º (gracias a la participación de observadores de Canarias).
Teniendo en cuenta que la exactitud del resultado final depende mucho de la exactitud del valor de la altura del Sol es importante que las medidas de los observadores sean tan exactas como sea posible. Y la exactitud que se puede alcanzar es mayor en fechas próximas al solsticio de invierno.
El Sol es un objeto extenso, no puntual.
Como consecuencia, la sombra proyectada por cualquier objeto iluminado por el Sol no presenta una transición brusca de la zona de sombra a la zona iluminada sino que hay una zona de penumbra que se extiende a ambos lados de la línea de separación entre la sombra y la zona iluminada. Esta indefinición de la sombra es una de las causas de error en la medida.
Esta zona de penumbra es tanto más ancha cuanto mayor sea la distancia entre el extremo del gnomon y la superficie sobre la que se proyecta y cuanto mayor sea el ángulo que forman los rayos con la normal a dicha superficie. Y en el caso particular de un objeto delgado puede llegar a desdibujar el extremo de la sombra. O sea, esta dificultad es grave con el Sol próximo al solsticio de invierno (sol bajo en el horizonte y sombra muy larga), y leve con el Sol próximo al solsticio de verano.
En cualquier caso se comprobará que el gnomon utilizado es suficientemente grueso como para definir una sombra bien visible, en el sentido de anchura.
En cuanto a la penumbra que parece alargar la sombra del gnomon, en la figura de la página siguiente se hace una estimación de la longitud de esta penumbra.
La penumbra que prolonga la longitud de la sombra corresponde al segmento S1S2 de la figura.
En la figura se pueden ver fácilmente las relaciones siguientes.
Hay un dato fijo que es el diámetro angular del disco solar, muy aproximadamente 0,5º
h es la altura del gnomon
a es la altura del Sol
En el triángulo S1S2P 
En el triángulo S1HP 
En el triángulo HOS2 
Combinando estas expresiones se obtiene 
Estimación numérica del coeficiente de la última expresión:
Altura del Sol (grados) |
|
25 |
0,0489 |
30 |
0,0349 |
35 |
0,0265 |
40 |
0,0211 |
45 |
0,0175 |
50 |
0,0149 |
55 |
0,0130 |
60 |
0,0116 |
65 |
0,0106 |
70 |
0,0099 |
75 |
0,0094 |
El efecto de la penumbra es menor cuando la altura del Sol sobre el horizonte es mayor y por tanto la sombra es más corta. Para valores de la altura superiores a 40º, la longitud de la penumbra se mantiene por debajo del 2% de la altura del gnomon.
En los dos apartados anteriores se han analizado las fuentes de error que intervienen en la exactitud final de la medida.
Los períodos favorable y desfavorable, desde el punto de vista de ambas fuentes de error son opuestos.
En período de Sol alto (alrededor del solsticio de verano) la penumbra es muy pequeña. Sin embargo la medida de la altura del Sol en el momento del tránsito es muy sensible respecto a pequeños errores en la determinación de la longitud de la sombra.
En período de Sol bajo (alrededor del solsticio de invierno) la existencia de una penumbra importante puede hacer más difícil (y por tanto incierta) la medida de la sombra.
Se propondrá la realización de la experiencia en una fecha dentro de un período de dos o tres meses centrado en el equinoccio, con alturas del Sol entre los 40º y 60º para latitudes medias (alrededor de 40º).
Ha habido profesores que han comentado que tal vez sería mejor alrededor del equinoccio de primavera, con el curso escolar ya avanzado y con alguno de los temas que pueden ser reforzados con esta actividad ya explicado.
En cualquier caso la fecha final de la experiencia conjunta se deberá elegir con el mayor consenso posible entre los centros que hayan resuelto participar.
Hay algunas actividades comentadas más adelante (Capítulo3 OTRAS ACTIVIDADES DE CÁLCULO) en este dossier y que pueden realizarse de forma aislada y sin coordinación con otros centros escolares. En ellas la exactitud de los resultados finales no es tan crítica y quedan, como se ha dicho más arriba, fuera de las consideraciones de este apartado del dossier.
2.1. Preparación de la experiencia
Material necesario:
- Un lienzo de papel de tipo de embalaje, para registrar las sucesivas posiciones del extremo de la sombra
- Un gnomon. Puede ser cualquier elemento que tenga un vástago o palo vertical, cilíndrico o prismático.
Debe cumplir dos condiciones:
a) Su extremo superior debe proyectar una sombra bien definida.
b) La proyección del punto que proyecta la sombra en el suelo debe poder hacerse con una precisión razonable, del orden del centímetro.
Se ha comprobado que un recogedor de barreduras, que puede conseguirse por poco dinero en cualquier supermercado cumple razonablemente estas condiciones.
Puede mejorarse ligeramente embutiendo el extremo superior del mango en un tubo de cartón o de plástico. Al tener mayor grosor la sombra queda mejor definida.
- Reloj y cinta métrica.
- Cinta adhesiva, rotuladores, cordel (a usar como compás), tijeras o cutter, nivel, unas cuñas de madera, etc.
Elección del lugar:
La superficie sobre la que se proyectará la sombra a medir debe ser completamente horizontal. Generalmente las pistas deportivas de suelo de cemento cumplen razonablemente bien esta condición. Siempre deberá comprobarse con un buen nivel.
Disposición de los elementos:
Se extenderá el lienzo de papel sobre el suelo y se colocará el gnomon de tal forma que la sombra se proyecte sobre la hoja de papel y se prevea que en el tiempo que vaya a durar la experiencia siga manteniéndose esta condición.
El papel se fijará al suelo mediante tiras de cinta adhesiva.
Se marcará la planta del gnomon sobre el papel para poder recolocarlo con la mayor exactitud posible si por alguna razón se moviese a lo largo de la realización de la experiencia. En previsión de posibles movimientos se lastrará (unos ladrillos, una garrafa de agua).
Antes de dejar por bueno el montaje se comprobará la correcta verticalidad del gnomon, corrigiéndola mediante unas cuñitas u otros elementos si fuese necesario.
Registro de tiempos:
Es conveniente medir los tiempos con una precisión mejor que un minuto.
Una de las formas de mejorar la precisión de los resultados es utilizar un único reloj para la medida de todos los registros de tiempo. Este reloj se ajustará previamente a la realización de la experiencia a un buen patrón de tiempo.
La comprensión de la experiencia se facilita trazando sobre el papel una serie de círculos concéntricos, de centro en el pie del gnomon, como se representan en la figura del apartado 2.4.3 Pueden dibujarse antes de empezar o bien al término de la experiencia.
2.2. Tablas astronómicas de posición del sol. La ecuación del tiempo
Este apartado va destinado a personas coordinadoras del experimento la experiencia y que se sientan cómodas con el manejo de las tablas de coordenadas astronómicas. La obtención de estas tablas y el manejo de algunos conceptos asociados no son indispensables para participar en la experiencia. Sí serán útiles para la realización de algunas actividades complementarias descritas más abajo.
La posición del Sol o de un astro en general se puede expresar con referencia a distintos sistemas de coordenadas:
Coordenadas ecuatoriales, Ascensión Recta y Declinación.
Permiten definir la posición de cualquier astro en la esfera celeste, de una forma muy semejante a la longitud y la latitud geográficas, que definen de forma unívoca cualquier lugar de la superficie de la Tierra. Son independientes del lugar de observación. Estas coordenadas se publican en los diferentes anuarios astronómicos; precisamente la confección de estas tablas fue una de las razones de la construcción de los primeros grandes observatorios astronómicos de la edad moderna, como París o Greenwich.
Coordenadas azimutales o locales, Azimut y Altura.
Al estar referidas a un lugar de observación y a una fecha determinada son resultado de un cálculo, a partir de las tablas, de la fecha y de las coordenadas geográficas del lugar. Hay numerosos programas que las calculan.
Actualmente ambas tablas de coordenadas pueden obtenerse de numerosas páginas de Internet.
Una de estas páginas está en la dirección siguiente: http://aa.usno.navy.mil/data/
La página está en inglés.
Apartado Positions of Selected Celestial Objects / subapartado Altitude and Azimut of the Sun proporciona las coordenadas azimutales
Apartado Positions of Selected Celestial Objects / subapartado Geocentric Positions of the Major Solar Systems Objects proporciona coordenadas ecuatoriales.
Ecuación del tiempo:
Merece una pequeña explicación la ecuación del tiempo: dado que la velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol no es absolutamente uniforme a lo largo del año (segunda ley de Kepler), no son absolutamente iguales los intervalos de tiempo entre dos pasos sucesivos del Sol por el meridiano de un lugar, o sea, no es constante la duración de los días solares, a lo largo del año. Por esta razón en la definición de segundo se refería al día solar medio. La corrección a aplicar a la posición del sol para tener la hora solar exacta de un determinado lugar (en particular Greenwich) es la ecuación del tiempo. Como todas las correcciones, en diferentes definiciones puede haber una ambigüedad de signo.
En el gráfico anterior, reproducido del Anuario del Observatorio Astronómico, se da en minutos el valor de la ecuación del tiempo a lo largo del año.
En este gráfico
Ecuación del tiempo =
Tiempo medio (medido por el reloj) - Tiempo verdadero (Dado por la posición del Sol)
En esta expresión un valor negativo de la ecuación del tiempo significa que el Sol pasa por el meridiano de Greenwich antes del mediodía de reloj; en cambio un valor positivo significa un paso del Sol por el meridiano de Greenwich después del mediodía del reloj.
La página de efemérides reseñada más arriba invierte el signo de la ecuación del tiempo.
Se aconseja el registro de la evolución del extremo de la sombra del gnomon en un lapso de tiempo de unas tres o cuatro horas centrado en el mediodía solar.
Cada cierto tiempo se marcará sobre el papel de registro de datos el extremo de la sombra. Al lado de cada marca se anotará la hora en que se hizo la marca.
La precisión en la anotación de los tiempos es especialmente importante en las medidas más próximas al tránsito por el meridiano, ya que tienen mayor influencia en la determinación exacta del instante del tránsito (Apartado 2.4.3).
Más arriba se ha comentado la conveniencia de anotar todos los tiempos a partir de un único reloj, puesto en hora antes de empezar la experiencia.
Si es posible se sugiere el siguiente método de marcar los tiempos: un observador controlará el reloj, leyendo en voz alta los segundos, e indicará con una voz el instante exacto del cambio de valor de los minutos (paso por 60 segundos), instante en que otro observador marcará el extremo de la sombra y anotará la hora.
Al acabar la toma de medidas, el lienzo de papel sobre el que se marcaron los extremos de la sombra tiene una apariencia parecida a la figura siguiente (corresponde a una realización de mediados de febrero). La forma de la curva varía según lugar y época del año.
Deberá procederse a la medida de la sombra correspondiente a cada uno de los puntos marcados. La sombra no se debe medir desde el centro del gnomon sino desde la proyección del borde que proyecta la sombra. Una posible forma de proceder (si el gnomon tiene forma cilíndrica) es medir desde el centro del gnomon y restar a cada una de las medidas el radio del gnomon.
Deberá procederse a la medida de la sombra correspondiente a cada uno de los puntos marcados. La sombra no se debe medir desde el centro del gnomon sino desde la proyección del borde que proyecta la sombra. Una posible forma de proceder (si el gnomon tiene forma cilíndrica) es medir desde el centro del gnomon y restar a cada una de las medidas el radio del gnomon.
Los resultados de llevarán a una tabla del siguiente formato:
Hora oficial |
Hora UT |
Longitud de la sombra |
|
|
|
|
|
|
La inspección de la tabla de datos da una primera indicación del valor mínimo de la sombra y del momento en que tuvo lugar este mínimo, momento de paso del sol por el meridiano del lugar.
2.4.2. Determinación de la hora de paso por el meridiano
Para una determinación más precisa del instante de paso del sol por el meridiano puede procederse de la forma siguiente: Representar una gráfica tomando como eje de abscisas el tiempo y como eje de coordenadas la longitud de la sombra.
La gráfica se construirá (o se imprimirá si se ha hecho con un programa hoja de cálculo) en una hoja de papel algo traslúcido (el papel estándard de 80g/cc sirve perfectamente).
A continuación se dobla el papel sobre un doblez perpendicular al eje de abscisas, buscando que las dos ramas de la curva coincidan una sobre otra tan exactamente como sea posible. Mirando la hoja de papel al trasluz se facilita esta operación.
En la gráfica se ha representado el doblez que hace corresponder las dos ramas de la curva. El mediodía solar local correspondería a 12h 06 minutos, valor calculado por interpolación lineal.
2.4.3.. Proceso gráfico del registro de datos
Al término de la experiencia la hoja de registro de datos debe tener una apariencia parecida a la de la figura adjunta (corresponde a una experiencia de mediados de abril).
Las líneas de puntos son círculos concéntricos con centro en el centro del gnomon.
La línea de trazo seguido es la trayectoria de la sombra, obtenida de la sucesión de puntos de observación.
Se marcan los puntos P1 y P2, intersección de la trayectoria de la sombra con uno de los círculos y se traza la mediatriz del segmento P1P2.
Se repite el tratamiento para distintos círculos concéntricos. La mediatrices de los distintos segmentos P1P2, Q1Q2, ... deben coincidir, definiendo la dirección Norte-Sur para el lugar de observación.
El momento del mediodía solar local o tránsito del sol por el meridiano del lugar corresponde al punto M, intersección de la línea de dirección Norte-Sur con la trayectoria de la sombra.
La hora en que tuvo lugar el tránsito se puede medir por interpolación lineal entre los valores de la hora anterior y posterior al tránsito.
La longitud de la sombra se determina igualmente sobre el registro. Se mide la distancia del centro del gnomon al punto M y se aplica la corrección correspondiente al grosor del gnomon.
Pendiente de desarrollo
Altura del Sol sobre el horizonte, en el momento del tránsito, correspondiente a la sombra de longitud mínima:
Se calculará mediante la función trigonométrica tangente:
Tangente de la altura del sol = altura del gnonom / longitud de la sombra
Distancia del lugar de observación al paralelo 40ºN
En los apartados 1.3 y 1.4 se ha propuesto sustituir el cálculo de la distancia entre dos observadores, situados próximos al mismo meridiano, por la distancia de cada observador al paralelo 40º
Se propone que sean los propios alumnos quienes lo determinen, a partir de un buen atlas y manejando la escala del mapa.
Queda el recurso de calcular esta distancia a partir de las coordenadas del lugar. Se considera, de todas maneras, que esta forma de proceder desvirtúa, tal vez de forma excesiva, el experimento original de Eratóstenes.
Los datos que obligatoriamente se tendrán que comunicar, tal como se ha expuesto en el apartado anterior son:
- Lugar de observación
- Persona de contacto
Información necesaria para el cálculo de la Tierra:
- Altura del Sol (en grados) en el momento del paso del Sol por el meridiano.
- Distancia en kilómetros del lugar de observación al paralelo 40ºN
3. OTRAS ACTIVIDADES DE CÁCULO
Se proponen algunos ejercicios de cálculo que tienen relación la experiencia. Simplemente se presentan como distintas posibilidades. Los profesores que resuelvan participar en la experiencia decidirán, en función de sus circunstancias, si pueden serles de alguna utilidad
La semejanza de los triángulos ABC (formado por el gnomon y su sombra) y A'B'C' (formado por el edificio y su sombra) son semejantes.
La proporcionalidad de la altura del objeto y de su sombra permite la determinación de alturas. No es necesario que la medida se realice en el momento de paso de Sol por el meridiano; sí es necesario que las medidas de las sombras de gnomon y del edificio se tomen de forma simultánea o en un intervalo corto de tiempo.
Se propone la realización del ejercicio varias veces a lo largo del día o bien por parte de distintos grupos de observadores. Los resultados obtenidos deberían ser coincidentes.
También puede ser de interés la comparación con la medida obtenida por otros procedimientos, tal vez ideados por los propios estudiantes: dejar caer una cuerda desde la azotea del edificio, contar peldaños de la escalera, etc.
La parte de la Astronomía que se ocupa de las posiciones de los astros en el cielo y de sus posibles cambios se denomina Astronomía de posición.
Históricamente fue la primera que se desarrolló; y fue la parte más significativa, y casi la única, hasta el siglo XIX.
Aún hoy sigue progresando. La sonda Hipparcos, de la ESA (European Space Agency), que operó a primeros de los 90, tuvo como único objetivo medir posiciones y paralajes estelares con una precisión mayor que la que se había alcanzado hasta el momento. Midió más de 100.000 estrellas, con una precisión superior a una milésima de segundo de arco.
La Astronomía de posición tiene su componente práctica.
La posición de las estrellas ha sido usada en navegación desde tiempo inmemorial. En la Odisea (libro V), Calipso ordena a Ulises que navegue manteniendo constantemente la Osa Mayor a su izquierda.
A mediados del s.XVIII la creación de los grandes observatorios de Europa occidental, (París, Greenwich) responde al deseo de los soberanos de dar impulso a la navegación de altura.
La posición de los astros en el cielo se da mediante coordenadas, de forma semejante a la posición de un lugar de la Tierra dado por sus coordenadas geográficas, longitud y latitud.
Durante siglos una de las labores de los astrónomos fue generar tablas de las posiciones de las estrellas, del Sol y de la Luna y de predicción de eclipses. A su vez estas tablas fueron de gran utilidad tanto para otros astrónomos, para repetir y refinar las observaciones, como para los navegantes.
A modo de resumen se podría establecer el siguiente paralelismo:
El problema el astrónomo: Conoce las coordenadas del lugar de observación y la hora y desea saber la posición de un astro. ¿Dónde debo apuntar mi telescopio para observar tal astro de mi interés? ¿Será observable esta noche? O bien desea comunicar a sus colegas algún descubrimiento y debe facilitarles las coordenadas del objeto a que hace referencia.
El problema del marino: Dispone de tablas de posición de los astros y puede observarlos, tal vez tiene un reloj y sabe la hora y desearía saber dónde se encuentra. Perdido en medio de la mar, o en la isla desierta tras el naufragio, su gran pregunta es ¿dónde estoy? ¿a qué distancia está el puerto cercano?
En los apartados siguientes se proponen actividades que se pueden realizar con las medidas obtenidas con el gnomon. Se insiste en que el objetivo no es la exactitud de los resultados, ya que este objetivo exigiría instrumentos de medida más precisos y costosos. La obtención de un resultado aproximado y la comprensión del proceso que haya llevado a esta obtención justifican la realización del ejercicio.
En este apartado se propone construir una tabla de la posición del Sol en coordenadas azimutales o locales, a partir de las observaciones realizadas.
El material necesario para la realización del ejercicio es la hoja de papel en la que se ha ido registrando la posición de la sombra. Es condición indispensable que se haya podido representar la dirección Norte-Sur, tal como se indica en el apartado 2.4.3 de este apunte.
Coordenadas horizontales o azimutales. La posición de un astro, respecto de un observador puede expresarse mediante las coordenadas azimut y altura.
Se denomina el vertical de un astro al meridiano que pasa por el cenit del observador y por el astro. En la figura el vertical del Sol es el meridiano que va del cenit al punto V pasando por el Sol.
Azimut es el ángulo medido sobre el plano horizontal que va del Norte, en dirección al Este hasta el punto V pie del vertical del astro. La medida del azimut se realiza sobre el plano horizontal.
Altura es el ángulo formado sobre el vertical definido por el astro y el punto V, pie del vertical
La figura siguiente muestra la forma de medir el azimut, a partir del registro de la posiciones del extremo de la sombra. Puede usarse un semicírculo graduado o transportador de ángulos grande para la medida de este ángulo.
La altura correspondiente a cada medida de la sombra se calculará a partir de la función trigonométrica tangente.
La tabla obtenida se cotejará con la que se puede obtener con un programa de cálculo o directamente a partir de Internet, tal como se indicó en el punto 2.2.
Si el tema ha sido ya explicado en el aula y el profesor lo cree conveniente puede realizarse un ejercicio de interpolación, a fin de hacer las comparaciones para las horas coincidentes o para preparar una nueva tabla con valores del tiempo ajustados a intervalos fijos (cada media hora, cada cuarto de hora...)
Hemos naufragado y estamos en una isla desierta.
En el naufragio hemos podido salvar los siguientes elementos:
- El instrumental necesario para hacer las medidas con el gnomon
- Unas páginas de un anuario astronómico
- Un reloj
Podríamos saber con estos elementos la latitud y la longitud del punto donde nos encontramos?
El anuario astronómico puede sustituirse por las coordenadas ecuatoriales del Sol para el día de la experiencia, obtenidas de un programa de cálculo o bajadas de Internet, como se indicó en el apartado 2.2 Tablas astronómicas de posición del sol. La ecuación del tiempo.
La latitud del lugar está relacionada con la longitud de la sombra del gnomon en el momento de sombra mínima (paso del Sol por el meridiano).
En el apartado 1.3 se justificó la igualdad siguiente:
90º - Altura del Sol = Latitud del lugar - Declinación del Sol
La altura del Sol, determinada con el gnomon y la declinación del Sol (tablas) permiten el cálculo de la latitud del lugar de observación, nuestra "isla desierta".
La longitud geográfica se calcula a partir de la diferencia del instante del tránsito del Sol
El valor de la ecuación del tiempo, obtenida del anuario, permite calcular el instante de paso del Sol por el meridiano de Greenwich, como se ha comentado en el apartado 2.2 Tablas astronómicas de posición del sol. La ecuación del tiempo.
La diferencia entre el instante de paso del Sol por el lugar de observación y por el meridiano de Greenwich es debida a la rotación de la Tierra y la diferencia de longitudes geográficas. Los observadores situados en puntos al Este de Greenwich observarán el paso del Sol por el meridiano antes que un observador situado en Greenwich. Los observadores situados en puntos al Oeste de Greenwich observarán el paso del Sol por el meridiano más tarde que un observador situado en Greenwich. La longitud del lugar de observación se calcula como la parte proporcional de 360º (rotación completa de la Tierra) que tiene lugar en 24 horas
Se recogen en este apartado una serie de sugerencias de temas que guardan relación más o menos directa con el gnomon.
A diferencia de los apartados del capítulo anterior, en los cuales el acento se puso en aspectos relacionados con el cálculo, en este capítulo se hace una aproximación menos formal, más generalista.
Tal vez puedan ser de utilidad tanto para su desarrollo en el aula, coincidiendo con las fechas en que en el centro escolar participa en la determinación colectiva del radio de la Tierra; tal vez puedan ser también de utilidad para conversaciones más o menos formales con los paseantes curiosos, en ocasión de actos y observaciones de tipo astronómico abiertos al público en general, en los que se haya reservado un lugar para el humilde gnomon.
¿En qué momento del día la sombra será mínima?
Respuesta general, casi siempre en el tono en que se responde a una pregunta tonta: "Al mediodía".
¿A qué hora? A las 12? A las 13? A las 14?
¿Al mismo tiempo aquí (nuestra ciudad), que en Barcelona, en La Coruña o en Canarias?
A partir de este punto es fácil la explicación de los siguientes conceptos:
- La hora solar es un fenómeno local
- Durante mucho tiempo la vida de cada ciudad se regía por su propia hora solar.
Las ciudades más importantes pagaban a un funcionario astrónomo-relojero que sincronizaba un reloj de referencia de la ciudad con el movimiento del sol.
- La relaciones entre ciudades eran lentas (unos pocos viajeros a pie, en caballerías o en distintos carruajes lentos); no era imprescindible la existencia de un sistema horario común.
- El cambio se produce cuando se ponen en funcionamiento sistemas de alcance geográfico amplio (primeros años del s. XIX):
El telégrafo, de transmisión prácticamente instantánea, obliga a un sistema de referencia temporal de identificación de los mensajes.
El ferrocarril. Un horario de ferrocarriles debe establecerse con referencia a un sistema horario perfectamente determinado. Las estaciones clásicas de tren, aún las de pequeñas poblaciones remotas, tenían siempre un reloj de cierto porte.
- En la segunda mitad del s. XIX surge la necesidad de unificación ("globalización")
Durante un tiempo cada país mantiene uno o varios meridianos de referencia
En 1884 tuvo lugar la International Meridian Conference en que se fijó como tiempo universal el del meridiano de Greenwich.
La Tierra gira. Y como consecuencia de este giro nos da la sensación de que son el Sol o las estrellas las que se desplazan, de forma continuada, de Este a Oeste. Los razonamientos de este apartado serían también válidos si la Tierra estuviese fija y la esfera celeste y los astros girasen a su alrededor.
El tiempo empleado en dar una vuelta completa es un día.
Un análisis más detallado: Para poder estudiar correctamente una rotación, un giro, es necesario disponer de un punto de referencia fijo, que nos marque el principio y el final de cada vuelta.
En el caso particular de la rotación de la Tierra se puede considerar un día como el tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol por un mismo meridiano. Lo denominamos día solar. Y por regir la sucesión del día y la noche y marcar el ritmo de la vida humana es un concepto enraizado profundamente en nuestra forma de pensar y vivir.
Pero también se podría considerar un día como el intervalo transcurrido entre dos pasos consecutivos de una cualquiera de las estrellas fijas por el meridiano del lugar. Lo denominamos día sideral o sidéreo.
Como la posición del Sol, como consecuencia del movimiento de traslación de la Tierra, va cambiando de forma continuada, el día solar y el día sidéreo no tienen exactamente la misma duración, el día sidéreo es aproximadamente 4 minutos más corto. Esta diferencia se va acumulando a lo largo del año hasta completar un día completo de diferencia, de forma que el Sol repite, con periodicidad anual, su posición sobre la esfera celeste.
4 minutos aprox x 365 días/año = 1440 minutos aprox = 1 día
Sea una pista de competición automovilística, en la que dan vueltas coches de competición (para simplificar pondremos un solo coche de competición) y un coche de seguridad (Safety Car) mucho más lento. [En los últimos años gracias a la tele somos capaces de hablar de F1 casi como si supiésemos...]. Nuestro modelo difiere de la carrera de F1 en que el coche de competición puede adelantar cuantas veces quiera al coche de seguridad.
Reflexiones en torno a este modelo:
Puede considerarse que una vuelta es el tiempo transcurridos entre dos pasos consecutivos por la línea de meta.
Pero también podría considerarse una vuelta el tiempo transcurrido entre dos adelantamientos del coche de competición al coche de seguridad
El punto importante del razonamiento no es de vocabulario. Los dos conceptos están suficientemente bien definidos. Y se trata de compararlos, comprenderlos y ayudarnos de ellos para la comprensión de los conceptos de día sidéreo y día solar.
¿Dura el mismo tiempo la vuelta en los dos casos? En caso de respuesta negativa, ¿cuál de las dos vueltas es más larga?
Suponiendo que el coche de competición va con velocidad absolutamente constante ¿Son iguales los tiempos transcurridos entre dos pasos por meta? ¿Son iguales los tiempos transcurridos entre dos adelantamientos al coche de seguridad?
Posiblemente la mayoría de los oyentes acierte las respuestas correctas. Si el coche de competición va con velocidad constante, los tiempos invertidos en una vuelta, medidos por dos pasos de la línea de meta, son todos de la misma duración. En cambio los tiempos de las vueltas definidas por los adelantamientos al coche de seguridad pueden ser de duración diferente si la velocidad del coche de seguridad no es constante.
Aplicación del modelo: La pista es la esfera celeste o, si se prefiere, la banda del Zodíaco; el coche de seguridad es el Sol y el coche de competición es la proyección del meridiano que pasa por el lugar del observador. Como línea de meta, fija en la pista de la carrera, puede tomarse cualquier estrella fija.
El día sidéreo corresponde a una vuelta medida sobre la línea de meta o sea sobre las estrellas fijas. Todos los días sidéreos tienen exactamente la misma duración.
El día solar corresponde a una vuelta medida por adelantamiento del coche de seguridad, o sea medido con relación al Sol. Como éste no va con velocidad constante, no todos los días solares tienen la misma duración.
Finalmente, es evidente que la vuelta medida por dos adelantamientos al coche de seguridad es ligeramente más larga que la vuelta medida por dos pasos por meta, de la misma forma que el día solar es ligeramente más largo que el día sidéreo.
El movimiento del Sol sobre el fondo de las estrellas fijas es conocido desde la antigüedad. En los modelos geocéntricos (la Tierra en el centro del Universo), se postulaba un movimiento real del Sol, independiente pero simultáneo del movimiento también real de las estrellas. En los modelos heliocéntricos este movimiento corresponde al cambio de punto de visión de la Tierra a lo largo del año en su movimiento de traslación alrededor del Sol.
La desigualdad de la duración del día a lo largo del año o, lo que es lo mismo, la no uniformidad del movimiento del Sol sobre las estrellas fijas se conoce también desde la antigüedad.
Pero la explicación de este hecho ha variado a lo largo de la historia de la Astronomía.
Hubo épocas (hasta principios del s.XVII) que intentaron explicarlo sin renunciar a hechos que entonces parecían incuestionables, como aceptar solamente movimientos circulares y velocidades uniformes. Y la solución pasaba por desplazar ligeramente los centros de estas trayectorias circulares.
El modelo actual, basado en las leyes de Kepler (1609-1619) se basa en órbitas elípticas (primera ley) recorridas con velocidad no constante (segunda ley)
Unos años más tarde (1684) Newton desarrolló un cálculo en que se deduce este modelo a partir de unos principios más generales, la ley de la Gravitación Universal.
La medida exacta de la posición del Sol desde el punto de vista científico tuvo su máxima importancia en la baja Edad Media (era cada vez más evidente la necesidad de una reforma del calendario) y la Edad Moderna.
En 1582 tuvo lugar la reforma del calendario, obra del papa Gregorio XIII.
La realización de nuevas medidas conservó durante un tiempo su interés, para confirmar que la reforma gregoriana había sido correcta.
Una parte importante de estas determinaciones se realizaron con meridianas.
Una meridiana es la combinación de un agujero en el techo o pared de un edificio (que permite la entrada de un rayo de Sol) y unas marcas en el suelo o pared donde se proyectan estos rayos.
En Italia se han conservado unas cuantas meridianas que pueden visitarse.
La más famosa es la de la Catedral de San Petronio, en Bolonia. Debe su mérito a una combinación de factores.
Por un lado es la de mayores dimensiones: el agujero gnomónico se encuentra a una altura de 27 m. sobre el suelo de la catedral; y en el solsticio de invierno el rayo de sol incide a una distancia de 66 m del pie de la perpendicular que va desde el agujero al suelo de la Catedral. Se afirma que hasta bien entrado el siglo XX podía definirse la meridiana de la Catedral de Bolonia como el instrumento astronómico de mayores dimensiones.
Por otro lado está asociada a nombres ilustres de la historia de la Astronomía: había existido un primer instrumento gnomónico en dicha catedral obra de Egnazio Dante, que fue uno de los asesores más significativos en la reforma del calendario gregoriano. El instrumento actual (1655), que sustituyó al anterior desaparecido en unas obras de remodelación de la catedral, es obra del gran astrónomo Gian Domenico Cassini. A raíz de la fama adquirida por la construcción de este instrumento fue nombrado por Luis XIV primer director del recién creado Observatorio Astronómico de París.
En Florencia hay dos meridianas de interés.
En el Baptisterio está documentada la existencia de una meridiana tal vez del s. IX. El agujero en el techo ha desaparecido, pero se conserva (bien visibles y debidamente protegidas) una marca en el suelo con un mosaico en forma de Sol, los doce signos del Zodíaco y un palíndromo en latín "En giro torte sol ciclos et rotor igne". Se deja la traducción para el profesor de latín. O bien entrando a Google "En giro torte sol" se obtienen 380 páginas de Internet.
En el propio duomo o catedral de Florencia hay otra meridiana que fue diseñada por Paolo Toscanelli, importante geógrafo y matemático florentino de la segunda mitad del s.XV. Al ser dicha catedral un monumento con tan gran número de visitantes el punto de incidencia de los rayos de sol queda fuera del recorrido abierto a los turistas.
Los datos de este apartado están tomados de un libro "La meridiana della Basilica di San Petronio in Bologna" de Giovani Paltrinieri, que adquirí en una visita-peregrinación a dicha catedral.
Del mismo autor, y con el mismo contenido, aunque reducido, he localizado la página siguiente http://quadrantisolari.uai.it/articoli/gqsmmer1.htm
De alguna manera una meridiana es como un negativo fotográfico del gnomon. El gnomon proyecta sombra, cuya longitud se mide del extremo de la sombra al pie del gnomon. En una meridiana se aísla un rayo de Sol; se mide su desvío de la vertical, longitud entre el punto de incidencia del rayo y el pie de la perpendicular que pasa por el agujero gnomónico.
Posiblemente los ejercicios que se han propuesto para su realización con el gnomon se podrían llevar a cabo con una meridiana "casera".
Para su construcción sería suficiente recortar un agujero (circular o en forma de cruz) en una cartulina opaca y pegar esta cartulina en el cristal de una ventana orientada al sol y con una disposición tal que se proyecten sobre el suelo los rayos de sol que atraviesan la ventana.
La altura del gnomon se sustituye por la altura del agujero sobre el suelo. Y la longitud de la sombra por la distancia desde el punto donde incide el rayo luminoso al pie de la perpendicular del agujero al suelo.
El tema queda abierto a la experimentación de personas interesadas.
Es evidente que el gnomon es un primitivo reloj.
Posiblemente algunos obeliscos egipcios fuesen usados para esta finalidad.
En Roma, piazza Montecitorio, hay un obelisco del que está documentada su traída de Egipto y su uso como reloj solar en los jardines de Augusto.
El cómputo de los días a partir de media noche es una convención relativamente reciente. Durante mucho tiempo se consideró que el día acababa, y por tanto se iniciaba un nuevo día con la puesta de Sol.
El período entre dos puestas de Sol sucesivas se dividía en noche y día; y cada una de estas partes a su vez, se dividía en doce horas no iguales. Los nombres de estas horas (que por imprecisión agrupaban de tres en tres) eran Prima, Tertia, Sexta y Nona, que corresponderían, aproximadamente, a las seis de la madrugada, las nueve de la mañana, las doce o mediodía y las tres de la tarde.
De esta división han quedado en nuestra cultura algunos restos.
Una parte de estas reliquias quedó en el lenguaje.
La palabra castellana "siesta", descanso que se realiza en la hora Sexta (Etimología recogida en el Diccionario DRAE. http://www.rae.es/rae.html )
La palabra catalana "nona" conservada solamente en lenguaje infantil con el significado de sueño, en las expresiones "fer nones" o "tenir nones" (dormir o tener sueño), es también herencia de este descanso del medio de la jornada (Etimología recogida en
http://www.enciclopedia.cat/ )
La palabra inglesa "noon" deriva netamente de la hora nona. La etimología está recogida en http://www.etymonline.com/index.php donde se indica que el desplazamiento de las tres de la tarde al mediodía fue consecuencia de un cambio, durante el s. XII, en la hora de las plegarias de la Iglesia o tal vez del cambio de hora de la comida principal del día; en cualquier caso el cambio de significado había tenido ya lugar en el s. XIV. En una revista Sky & Telescope leí hace tiempo que, en determinadas épocas del año, los monjes de los monasterios debían permanecer en ayunas hasta pasada la hora nona. Se comprende que en tal situación un cargo importante del monasterio debía ser el monje campanero; y que el monje que ejercía este cargo estaba sometido a fuertes presiones de compañeros menos fervientes u observantes. Estas presiones habrían desplazado, a lo largo del tiempo, el toque de la hora nona. 'Si non é vero, é ben trovato'.
La segunda reliquia está en determinados monumentos.
En el Norte de Italia se siguió utilizando esta forma de contar el tiempo y de iniciar nuevo día a la puesta de Sol hasta finales del s. XVIII, cuando, a raíz de la invasión de Napoleón, se suprimió esta particularidad denominada "hora italiana". Los relojes públicos conservados anteriores a esta fecha tienen una particular disposición de las horas.
Se adjunta, como ejemplo en la figura adjunta, el reloj de la Piazza San Marco, de Venecia.
La esfera está dividida en 24 horas, y el origen del día, las cero horas, se encuentra situado donde nuestros relojes actuales colocan las 3 h.
La aguja horaria (inicialmente la única existente) describe una vuelta al día.
Es fácil comprender que con esta disposición y si el reloj está situado en una pared orientada al Norte (y por tanto con el observador mirando hacia el Sur) en realidad la aguja horaria es un puntero que indica la dirección donde se encuentra el Sol.
A las cero horas el sol está a derecha del observador, al oeste, porque se acaba de poner
A las seis horas, media noche, el sol está al otro lado de la Tierra, por tanto la aguja apunta al suelo.
A las doce horas (o cero horas del día, hora Prima porque no tienen cero) está amaneciendo, el Sol sale por el este, a la izquierda del observador.
A las dieciocho horas (o seis horas del día, hora Sexta) el Sol está en el punto más alto de su trayectoria. La aguja apunta hacia arriba.
Se pueden ver aún bastantes relojes con esta disposición.
Se apuntan direcciones de Internet:
Padua http://www.fotografieitalia.it/foto.cfm?idfoto=9606
Brescia http://www.bresciaonline.it/or4/or?uid=BOLesy.main.index&oid=49610
(Ver Particolare)
Cremona http://freeforumzone.leonardo.it/discussione.aspx?idd=6383127
4.7. La determinación de la longitud
En este apartado se apuntan simplemente unas consideraciones sobre el problema de la determinación de la longitud.
Es un tema que suele interesar al público en general.
El desarrollo completo exigiría un número grande de páginas. Sobre los hechos enunciados pueden encontrarse muchas páginas en Internet.
El problema de la determinación de la longitud cobró gran importancia a partir de finales del s.XV cuando empieza la época de los grandes descubrimientos.
Desde el principio quedó claro que el problema de la medida de la longitud geográfica era equivalente al problema de transportar la hora o, en otras palabras, que la diferencia de longitud se puede calcular a partir de las diferencias de la hora solar local de dos lugares.
Entre los primeros fenómenos astronómicos utilizados para establecer estas "sincronizaciones" pueden señalarse los eclipses de Luna: un eclipse de Luna tiene lugar en un momento determinado y puede ser usado como señal de sincronización por distintos observadores.
Está documentada la observación de un eclipse de Luna por parte de Colón en 1504. Se dice que lo usó tanto para amedrentar a los indios como para fijar, por primera vez, la longitud de las tierras recién descubiertas. Cometió un error grande, y no están en absoluto claras las razones.
Aunque la solución es conceptualmente clara, desde el punto de vista operativo no es demasiado práctico: los eclipses de Luna son un suceso poco frecuente y la determinación exacta de los tiempos de principio y final no son fáciles .
Para personas interesadas: Las palabras Colon, eclipse, Luna y 1504 entradas en el Google proporcionan más de 12,000 páginas sobre el tema; y en inglés Columbus, eclipse, Moon y 1504, más de 28.000.
Cuando Galileo descubrió los satélites de Júpiter y observó sus eclipses, tránsitos y ocultaciones, pensó que podían proporcionar un buen método para resolver el problema de la medida de la longitud. Ofreció esta tecnología a los gobiernos de España y de Holanda (potencias navales del momento) sin obtener la respuesta que esperaba. La idea siguió latente. Años más tarde, ya en la segunda mitad del s. XVII, Olaf Römer, trabajando en el Observatorio de París sobre la tabulación de estos fenómenos, observando sus aparentes atrasos y adelantos y relacionando estas desviaciones con la distancia Tierra-Júpiter pudo hacer la primera determinación de la velocidad de la luz, y por tanto la primera comprobación de que la luz no se propaga a velocidad infinita como algunos predecesores habían postulado.
A principios del s. XVIII el problema tiene un nuevo enfoque. En 1714 el Parlamento inglés establece un premio sustancioso a quien resuelva el problema de la longitud. Desde el principio se establecieron dos vías de solución: el colectivo de astrónomos (que pensaban lógicamente en soluciones astronómicas) y la de un artesano relojero, John Harrison, que creyó posible construir relojes y cronómetros capaces de funcionar con gran exactitud en lugares no especialmente favorables (a bordo de un barco).
Newton dejó claro el planteamiento: "Un procedimiento para resolver el problema de determinar la longitud es mantener la hora con exactitud, sirviéndose de un reloj. Pero teniendo en cuenta el movimiento de la nave, la variación de calor y frío, de humedad y sequedad, la diferencia de la gravedad en las diferentes latitudes, este reloj aún no se ha fabricado" y tal vez dejaba entrever que no se podía fabricar.
La historia se cuenta en un libro muy interesante La Longitud, de Dava Sobel. No quedan demasiado bien parados los astrónomos. En la competición eran al mismo tiempo juez (debían certificar la exactitud de los cronómetros de Harrisson) y parte (proponían su método alternativo).
Al final John Harrisson recibió el premio. Tuvo que esperar hasta 1773, toda una vida dedicada por entero a la mejora de las sucesivas versiones de sus cronómetros. Con él se iniciaron una serie de mejoras que permitieron una altísima precisión en la construcción de cronómetros mecánicos.
Actualmente, después de años de negligente abandono y afortunadamente de una cuidadosa restauración, varios de estos cronómetros están en exposición y en funcionamiento en el Museo de Greenwich. La autora del libro, Dava Sobel, confiesa al final del libro que al verlos por primera vez le saltaron de emoción las lágrimas. ¿Es para menos?
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