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Median Sum vs Arythmetic Mean (or Sum) Comparison 
Confronto tra Somma mediana e media (o somma) aritmetica
Once the images have been matched (in technical terms this process is defined as image registration) we must face the problem of selecting the best tecnique in order to obtain an optimal result from the point of view of the signal to noise ratio (SNR). 

Techniques of calculation 

We suppose to have N=5 samples, corresponding to the same pixel on 5 registered images of the same astronomical field: 
x1, x2, x3, x4, x5;
then we shall see how to estimate the corresponding element y of the resulting image by means of the application of three different techniques. 

Median sum 

  1. the samples are listed in increasing order: y1 £ y2 £ y3 £ y4 £ y5;
  2. if N is odd, the median element corresponds to the central element of the list, that is the one that occupies the position med=(N+1)/2 in the ordered list (in this example N=5 and med=(5+1)/2=3; therefore the median is y = ymed = y3); 
  3. if N is even, then the median represents the average of the two central elements of the list, that is those that occupies the positions N/2 and (N/2+1).
The result is pretty insensitive to the presence of noise peaks. 

Arithmetical sum 

  • The result is represented by the sum of the samples: y = x1 + x2 + x3 + x4 + x5.
Problems can arise if the image saturates: in some points the result of the sum can exceed the (integer) maximum level of the image. Moreover the result is more sensitive to the presence of spurious peaks. 

Arithmetic mean 

  • The samples are added and the result is divided for their number N: y = (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) / 5. 
As in the previous case, the sensibility to the presence of noise peaks high. 		 Una volta che le immagini sono state rese sovrapponibili (in termini tecnici questo processo si dice registrazione o messa a registro delle immagini) ci si pone il problema di stabilire quale sia la tecnica migliore per comporle ed ottenere un risultato ottimale dal punto di vista del rapporto segnale/rumore (SNR). 

Modalità di calcolo

Supponiamo di disporre di N=5 campioni, corrispondenti allo stesso pixel su 5 immagini, messe a registro, dello stesso campo: 
x1, x2, x3, x4, x5;
vediamo come si calcola, mediante l'applicazione delle diverse tecniche, l'elemento corrispondente y. 

Somma mediana

  1. si ordinano in senso, p. es., crescente: y1 £ y2 £ y3 £ y4 £ y5;
  2. se N è dispari l'elemento mediano corrisponde a quello centrale, ovvero quello che occupa la posizione med=(N+1)/2 nella lista ordinata (nel caso in questione N=5 e med=(5+1)/2=3; perciò l'elemento mediano è y = ymed = y3);
  3. se N è pari, allora si prende come mediano la media dei due elementi centrali della lista, ovvero quelli che occupano le posizioni N/2 e (N/2+1).
Il risultato è piuttosto insensibile alla presenza di picchi spuri. 

Somma aritmetica

  • Il risultato è rappresentato dalla somma dei campioni: y = x1 + x2 + x3 + x4 + x5.
Si possono verificare dei problemi di saturazione se il risultato della somma supera il livello massimo (intero) dell'immagine. 
Inoltre il risultato è sensibile alla presenza di picchi spuri che si discostano sensibilmente dalla media dei valori. 

Media aritmetica

  • I campioni vengono sommati ed il risultato viene diviso per il loro numero N:  y = (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) / 5.
Come nel caso precedente si ha una elevata sensibilità alla presenza di picchi spuri. 
 
Numerical example (only one pixel) Esempio numerico (un unico pixel)
We consider an example represented by N=5 samples whose values are: 130, 118,125,188,122. 
We note that a peak is present (188). We consider the list ordered in increasing sense: 
118, 122, 125, 130, 188. 
We obtain the following results: 
  • median sum = 125 (the central value in the ordered list)
  • arithmetic mean = (118+122+125+130+188) / 5 = 137 (while the arithmetic mean of the first 4 samples of the ordered list would have given the result 124). 
therefore, It is put in evidance, from this example, the high sensibility of the arithmetic mean on the presence of noise peaks. The result of the median sum is instead only influenced  by the marginal polarization due to the presence of the peak!		 Consideriamo un esempio costituito da N=5 campioni i cui valori siano: 130, 118,125,188,122. 
Si nota subito che è presente un picco rispetto agli altri (188). 
Consideriamo la lista ordinata in senso crescente: 
118, 122, 125, 130, 188. 
Si hanno i seguenti risultati: 
  • somma mediana = 125  (quello centrale nell'ordinamento) 
  • media aritmetica = (118+122+125+130+188) / 5 = 137  (la media aritmetica dei primi 4 campioni della lista ordinata avrebbe dato come risultato 124). 
    • Si vede pertanto, da questo esempio, la elevata sensibilità della media aritmetica alla presenza di picchi di rumore. Il risultato della somma mediana risente invece solo di una marginale polarizzazione dovuta alla presenza del picco! 
     
    Monodimensional graphical example 
    FIGURE 1. Five series represent as many samplings of the same
    monodimensional signal. One of the series (the second one) introduces an elevated peak of noise in correspondence of the ninth champion. 
    Esempio grafico
    monodimensionale
    FIGURA 1. Cinque serie rappresentano altrettanti campionamenti di uno stesso segnale monodimensionale. 
    Una delle serie (la seconda) presenta un evidente picco di rumore in corrispondenza del nono campione. 
    FIGURE 2. The original signal, as we can see, has a pretty smoothed trace. The series shown in figure 1 have been synthetized beginning from such a signal, with the summation of a random noise. To the second series a peak of
    particular amplitude has joined.     		 FIGURA 2. Il segnale originale, come si vede, ha un andamento piuttosto regolare. Le serie mostrate in figura 1 sono state sintetizzate a partire da tale segnale, con l'aggiunta di un rumore casuale. Alla seconda serie si è aggiunto un picco di particolare ampiezza.
    FIGURE 3. Here the traces derived from the processing with arithmetic mean and median sum of the five sequences, illustrated in figure 1, are represented. The effect of the presence of the peak of noise rest evident on the result of the arithmetic mean, while it turns out absent in the median one.  FIGURA 3. Sono qui rappresentati gli andamenti derivati dall'elaborazione con media aritmetica e con somma mediana delle cinque sequenze illustrate nella figura 1. E` evidente l'effetto della presenza del picco di rumore sul risultato della media aritmetica, mentre risulta assente nella mediana.
    Author: Enrico Prosperi - for any note, observation and suggestion, please contact me Autore: Enrico Prosperi - per qualsiasi nota, osservazione o suggerimento, per favore contattatemi
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