Doppler-tomography

Table

1) Le Principe

2) Les méthodes

Méthode par Excel (numérique)
Methode par Iris (traitement d'images)

3) Retour dans le domaine spatial

Algorithme "point par point"
Algorithme "mosaïque"
Algorithme "interpolation barycentrique"
Algorithme "proxi-baricentrique 4 points"

4) Illustration de la transformation [Vitesse]->[Espace]

5) Etude identique de SS Cygni

6) Catalogues

1) Le principe:

Les couples d'étoiles présentent des variations de leur spectre au cours d'une période qui témoignent de la vitesse orbitale des composantes autour de leur centre de gravité commun.

La méthode de "Doppler Tomography" a été développée pour mettre en évidence et interpréter les déplacements par effet Doppler des raies d'émission des variables cataclismiques (CV). Ces étoiles sont des binaires à courte période ayant une période orbitale typiquement comprise entre 1.5 et 10 heures.

Ci-contre: vue d'artiste d'un système binaire

Les deux composantes du couple sont une naine blanche et une étoile de masse beaucoup plus faible appartenant à la séquence principale. Le couple est très serré, ce qui explique le mouvement orbital rapide et interdit tout espoir de résoudre optiquement le couple dont la séparation est de l'ordre du dix millième de seconde d'arc. Pour les mêmes raisons les déplacements par effet Doppler des raies d'émission de la matière issue de l'étoile orbitant et aspirée par la naine blanche sous la forme d'un disque d'accrétion sont assez facilement observables avec des décalages spectraux allant jusqu'à 1000 ou 1500 km/s.

La méthode décrite en 1988 par T.R.Marsh et Keith Horne dans leur article fondamental " Images of accretion discs " est de plus en plus utilisée pour imager le flux de matière dans ces disques en rotation rapide.

Ci-contre: la série des spectres obtenue au cours d'une demi-période (récupéré sur cette page)

Partant d'une série de spectres couvrant une demi-période, comme montré ci-dessus, on a la somme des contributions en émissivité lumineuse (par exemple en H alpha) des diverses parties du disque et des deux étoiles.

Cette formule s'inverse en utilisant la transformation de Radon également utilisée en imagerie médicale (scanner, IRM) en donnant la repartition de l'intensité d'émission lumineuse dans la longueur d'onde d'observation en fonction des deux composantes orthogonales du champ des vitesses autour du couple.

Ci-contre: réconstitution du champ des vitesses (récupéré sur cette page)

Tout ceci est exposé de façon limpide dant l'article suivant de T.R. Marsh: Doppler Tomography (fichier zippé 800Ko)

Nous avons donc essayé de mettre en oeuvre la méthode avec les moyens du bord c'est à dire avec le tableur Excel en utilisant des spectres de IP Peg récupérés sur le Net.

2) Les méthodes
- Méthode par Excel:

Séparation des 15 spectres de l'image composite montrée plus haut. Voici le premier correspondant à la phase 0.8.

Noter que les références de vitesse -1000, 0, 1000 km/s ont été marquées, ces repères seront supprimés après registration.

On convertit cette image .gif en .bmp pour en faire une image .pic avec IRIS (logiciel bien connu de christian Bui).

Avec le logiciel VisualSpec ,de Valérie Desnoux, on obtient les profils spectraux de ces 15 spectres.

On note les marques des vitesse radiales -1000, 0, 1000 km/s. Ce profil est exporté en .dat et ouvert dans Excel.

Voici la partie proche de 0 km/s après que l'on ait gommé la marque des 0 km/s en remplaçant la valeur 0 par 68.

Les 15 lignes numériques ainsi obtenues sont empilées dans la feuille Excel (500Ko zippé) en regard de leur phase et dûment registrées pour mettre en correspondance le 0 de chacune.

L'essentiel du travail est fait. Il ne reste plus qu'à préparer le tableau de sortie, qui fait tout de même 216x216!

Intégration numérique pour la cellule (Vx;Vy)= (0 ; -1299). La variable d'intégration est la phase phi.

Résultats: représentation de l'hodographe(champ des vitesses).

C'est l'instant de vérité!

On représente les données numériques obtenues sur Excel en niveaux de couleur, chaque niveau donnant une mesure relative de l'émissivité.

Il serait agréable de traduire tout ceci en niveaux de gris...ce que nous faisons à l'étape suivante.

Transformation des données d'Excel dans un tableau (x, y, valeur) sous format .txt dans un éditeur de texte et importation dans Iris après modification de l'extension en .asc par les commandes IRIS suivantes:
création d'une pré-image par
>NEW 216 216 (taille de l'image)
>IMPORTASC fichier
Merci Christian!
Résultat ci-contre. C'est ce que nous appelons plus bas l'image de base.

Pour comparaison, l'image obtenue par les pros à partir des mêmes données spectrales.Il ne reste plus qu'à voir si nous avons des cibles accessibles....Mais si c'est le cas qu'est ce qu'on va rigoler un de ces jours au T60!

A gauche le schéma théorique. Attention à l'inversion des zônes, à comparer avec la figure spatiale donnée plus bas!

Methode Iris (traitement d'images)

Ici, on souhaite arriver au même résultat, en utilisant uniquement un traitement d'images, sous IRIS.

figure A1 figure A2	Ci-contre (figure A1), le matériel de départ constitué par l'empilement des différents spectres au cours du temps, classés en fonction de la phase du couple. Ils sont représentés en positif avec une visualisation en fausses couleurs, du bleu pour les faibles éclairements au rouge pour les plus intenses. L'évolution des décalages spectraux des diverses sources lumineuses du couple (géante rouge, naine, bras de matière) est bien visualisée dans l'animation en figure A2. (cliquer dessus pour la faire apparaitre dans une nouvelle fenetre)
figure A3	Tout d'abord, chacune des bandes spectrales constituant la figure A2 a été étirée de manière à former une image carrée (215 x 215 pix) par la commande: >L_EXPAND 215 Puis ces images ont été tournées d'un angle calculé en fonction de la phase par la commande >ROT [centre x] [centre y] [angle] Le centre en X est la coordonnée du pixel correspondant à la vitesse de décalage nulle (v. figure A1). Sur la figure ci-contre (figure A3), on reconnait la contribution de chacune des raies à la formation de l'image finale (insérée en arrière-plan fixe). On voit en particulier que les deux bandes latérales (bien marquées) engendrent les 2 bras lateraux, tandis que la raie intermédiaire (plus faible) contribue à la tache représentant la géante.
figure A4	Ici, on ajoute un à un chacun des spectres carrés tournés du bon angle (en fonction de la phase)... on voit ainsi la construction progressive de l'image Doppler. On voit bien que l'image n'est complète que après un demi-tour (angulairement), donc après un suivi spectral sur une demi-période. Remarque: les spectres sont bleus au début par un simple effet de seuils de visualisation... il s'agit bien des mêmes spectres que ceux ci-dessus. L'intensité de chacun des pixels de l'image en construction croit au fur et à mesure des additions successives.
figure A5	Ci-contre, un petit préliminaire au chapitre 3: comme on le verra dans le chapitre suivant il est possible de passer du domaine des vitesses au domaine spatial par une opération géométrique. L'animation ci-contre montre cette restitution progressive en partant des mêmes images transitoires que la figure A4... on y voit donc se construire le couple d'étoiles et les deux arcs du disque d'accretion. Remarque: ces étapes intermédiaires sont bien sur inutiles (juste en guise d'illustration)... on opère en fait sur l'image Doppler finale.
La figure ci-contre résume la totalité du procédé décrit ci-dessus. Seuls quatre des quinze spectres utilisés ont été représentés (afin de simplifier la schéma).
figure A6	Par la suite, nous avons voulu tester l'obtention d'une image lissée, en ne prenant non plus 15, mais 57 spectres. Pour les obtenir, nous avons créé des spectres intermédiaires, simplement interpolés par la commande DATA_ANIM. Ci-contre (figure A6), un graphe similaire à la figure A1, mais interpollé sur 57 valeurs. Le reste du traitement est identique à celui expliqué plus haut.
Le résultat de l'addition est présenté ci-contre (figure A7, à gauche): l'image est devenue bien plus lissée, avec la disparition des "traits" visible sur le pourtour de l'ancienne image. Pour comparaison, à droite (figure A8) on a placé l'image issue du travail de Marsh et récupéré dans sa publication; on retrouve un résultat identique, montrant que la méthode est valable. Bien sûr, on ne "gagne" pas d'information puisqu'il s'agit d'une simple interpolation, mais on a reussi à supprimer les artefacts génants de l'image réalisée avec 15 spectres... Ce résultat montre par ailleurs l'intéret évident d'avoir le plus grand nombre de spectres possibles (soit une bonne résolution temporelle) pour obtenir une bonne image.	_ figures A7 (gauche) et A8 (droite)
Enfin, ci-dessous, on a voulu illustrer l'influence du nombre de spectres de départ sur l'image reconstituée. Pour cela, parmi les 15 spectres de départ, on a sélectionné à intervalle réguliers(respectivement de gauche à droite), 4, 8, 10 et 15 spectres. La dernière image est celle obtenue avec 57 spectres interpolés à partir des 15 spectres de base.

3) Ultime étape: Le retour dans le domaine spatial.

Il reste à essayer de repasser dans le domaine spatial en imageant le disque d'accretion et les deux étoiles. Pour celà, on fait l'hypothèse que le mouvement est képlérien dans le disque. Nous avons encore simplifié cette hypothèse en supposant un mouvement circulaire et uniforme. Ce n'est sûrement pas le cas, car entrent en jeu des phénomènes de viscosité de la matière qui provoque une dissipation d'énergie et la chute progressive vers la naine blanche de la matière de la géante rouge, aspirée par la naine blanche.
L'accélération centrale est égale à .

Nous avons utilisé un petit script TCL dans AudeLA (Logiciel développé par Alain Klotz) pour passer de l'image du champ des vitesses à l'image ci-dessous. L'image de base (champ des vitesses) est lue ligne par ligne et les point M correspondants créés sur l'image cible ci-dessous, affectés d'une valeur égale à celle du pixel correspondant de l'image de base (témoin de l'intensité lumineuse de ce point).
La transformation géométrique permettant cette correspondance, qui rappelle l'Inversion (de loin...il faudrait un carré à la place du cube!), produit une anamorphose de l'image de base, les lignes pointillées dessinées sont les transformées des lignes de pixels de l'image de bas.

	Voici une première approche du travail décrit plus haut. Algorithme "point-par-point": Pour chaque point de l'image de base (champ des vitesse), on calcule les coordonnées du point correspondant dans l'image dans le domaine spatial (ci-contre) et on l'affecte de la même valeur d'intensité. On voit se dessiner les deux volutes du disque d'accretion et on devine une grosse masse rouge(fausses couleurs) sur la partie droite. Le cercle noir central correspond à la région proche de l'astre central et donc à l'extérieur du grand cercle limitant l'image de base représentant le champ des vitesses.
Algorithme "mosaïque": Nous avons essayé d'améliorer la presentation du résultat en restant en conformité avec ce qui précède. L'idée est maintenant de combler les "lacunes" (en noir) de l'image précédente. Pour cela, pour chaque point de l'image cible (domaine spatial) on calcule les coordonnées du point correspondant de l'image de base (champ des vitesses). Ainsi, tous les pixels de l'image cible (ci-contre) se voient affectés d'une valeur. Pour des raisons de facilité, on a tout d'abord arrondi les coordonnées des pixels à leurs parties entières: le résultat présente des marches d'escalier bien prévisibles... L'image est ainsi "pavée" de quadrilatères déformés, reflets des pixels de l'image d'origine (champ des vitesses).
	Afin d'éviter cet effet "mosaïque", on va maintenant chercher à interpoler les valeurs des pixels. Algorithme "interpolation barycentrique ": On reprend la méthode ci-dessus, en tenant compte des valeurs des 3 pixels les plus proches l'entourant, affectés des mêmes poids qui font de ce point M le barycentre de ces 3 points. Le résultat est une image beaucoup plus agréable à regarder et contenant les mêmes informations que le document d'origine, les nouveaux points étant seulement interpolés. Les deux "croissants" du disque d'accretion apparaissent nettement et la géante rouge est la grosse masse de droite. Pour aller plus loin, il serait pensable d'effectuer une approximation polynomiale sur un réseau de points plus étendus.
Algorithme proxi-barycentrique sur 4 points: (Wouaou!) C'est l'étape ultime, on pondère chacun des 4 points, sommets du quadrilatère contenant le point de l'image de base par un poids tenant compte des écarts en abscisse et en ordonnée à chacun de ces sommets. Le resultat est particulièrement agréable sans perte d'information là encore.
		Pour comparaison le schéma théoriquecorrespondant au résultat ci-dessus avec l'identification des diverses zônes et la limite du lobe de Roche
Ces 4 algorithmes (scripts Tcl) sont à votre disposition si vous le souhaitez... il suffit de demander.
Voir le paragraphe ci-dessous pour plus de détails sur la transformation géométrique utilisée.

L'image finale montre le couple dans son état de phase 0.25 pour un observateur situé en bas de la page.

Comme dit au début, tout ce petit travail repose sur des hypothèses volontairement "naïves" et heureusement simplificatrices... par nécessité.

On ne tient pas du tout compte d'une éventuelle inclinaison du disque d'accretion qui est donc supposé être dans un plan contenant le rayon de visée. On n'a pas non plus mesuré et introduit la vitesse radiale du couple, il est vrai qu'elle est faible par rapport à l'effet Doppler dans le cas étudié.

J'avais lu sur une page consacré au sujet:" Spectro Tomography is easy and fun..." ce qui m'avait tout d'abord laissé dubitatif!!!

Mais aujourd'hui je confirme!!! j'ai pris un grand plaisir à faire cette petite page ...et je me suis amusé comme un (grand) fou ;-))

4) Illustration de la transformation [vitesse]->[espace]:

Voici ci-dessous l'effet sur quelques figures géométriques simples de la transformation utilisée pour passer du domaine des vitesses au domaine spatial. Le centre de chaque image de départ correspond à la vitesse nulle.
		Ici, les lignes horizontales sont les lieux d'égale vitesse radiale. Le "trèfle à quatre feuilles" central correspond à l'image du bord extérieur du carré... et la partie noire est donc extérieure au carré de départ Le centre du carré de départ devient un point à l'infini.
		Ici, même figure avec les lignes et colonnes numérotées. Bien que cette transformation rappelle l'inversion, elle en est bien distincte et n'en a pas les propriétés. En particulier elle ne conserve pas les angles et donc les orthogonalités: ce n'est pas une "transformation conforme".
Ci-dessous, des cercles concentriques dans le domaine des vitesses (figure 1) traduisent les points ayant une vitesse orbitale constante. Dans le domaine spatial (fig. 2 & 3) ils décrivent donc des orbites circulaires à vitesse constante. Aux cercles les plus grands de la figure 1 correspondent des trajectoires de plus petits rayons des figures 2 & 3. Par ailleurs, on voit bien la différence entre l'algorithme "mosaïque" (figure 2) et celui d'interpolation barycentrique (figure 3).
figure 1	figure 2	figure 3

Ci-dessous, les lignes d'égale vitesse radiale ont une même couleur (figure 4). Les vitesses radiales nulles en jaune-orangé (milieu horizontal de la figure); en rouge, les vitesse radiales positives fuyant l'observateur; en bleu les vitesses radiales négatives se rapprochant de l'observateur. La figure 5 (bâtie avec l'algorithme "point-par-point") montre ce que devient chacune des lignes de pixels de la figure 4. Les mouvements se font dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'astre central (centre du "trefle à 4 feuilles")... vers le haut dans la zone rouge, vers le bas dans la zone bleue, et horizontalement dans la zone jaune-orangé. La figure 6 montre l'image obtenue par l'algorithme "mosaïque".
figure 4	figure 5	figure 6

Pour mieux visualiser ce que devient chaque partie de l'image de base, nous avons coloré chacun des carrés de celle-ci (figure 7)... on voit comment le centre de l'image de départ est "explosé" aux quatre coins de l'image spatiale (figure 8). ... ne dirait-on pas du Mondrian?!... ;o))	figure 7	figure 8

5) Etude identique de SS Cygni

Ici, on a voulu revérifier la méthode par Iris en utilisant également des données issues de publications et en les comparant aux résultats des pros. Remarque: n'ayant pas un accès direct aux données brutes, nous avons dû utiliser comme base les images des articles, ce qui peut expliquer une baisse de qualité.
	Ci-contre, la série de spectres utilisés (20 spectres élémentaires pour la reconstitution), et ci-dessous, les graphiques obtenus (domaine des vitesses)

Pour comparaison, ci-contre en niveaux de gris, la reconstitution donnée dans la publication professionelle; à nouveau, on reconnait les principales zones visibles à la fois dans les deus documents.