Lames quart d'onde et demi-onde.

Action d'une lame demi-onde sur une vibration rectiligne ou elliptique.

Cas d'une vibration rectiligne:
Une lame demi-onde est une lame cristalline (de lignes neutres ox et oy) qui introduit entre les deux vibrations privilégiées un différence de marche (n"-n').e égale à un nombre impair de demi-longueurs d'onde, c'est à dire une différence de phase de pi. Son action sur la vibration incidente oM a pour effet de transformer les deux vibrations composantes oI et oJ en phase à l'entrée, en deux vibrations oI et oJ' en opposition de phase à la sortie. La vibration émergente est encore rectiligne, mais sa direction oM' est symétrique, par rapport aux lignes neutres de la lame demi-onde, de la direction de la vibration incidente oM.
On peut recevoir la vibration émergente sur un analyseur d'axe oA qui laisse passer seulement la vibration oK.
Cas d'une vibration elliptique:
De manière tout à fait analogue une vibration elliptique incidente (rouge) d'équation

x=a.cos(wt) et y=a.cos(wt-phi)

devient par effet du retard d'une demi-longueur d'onde sur sa composante oy la vibration

x=a.cos(wt) et y=a.cos(wt-phi-pi)=-a.cos(wt-phi)

La vibration elliptique émergente( verte) est symétrique de l'ellipse incidente par rapport aux lignes neutres ox et oy de la lame, et est parcourue en sens inverse.

 

Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
On peut régler les amplitudes des deux vibrations E1 et E2 composantes en déplaçant à la souris les points A1 et A2. On peut faire varier le retard de phase de E2/E1au clavier avec les touches droite/gauche ou à la souris en déplaçant le point F. On peut enfin régler à la souris l'orientation du polaroïd analyseur de sortie en déplaçant le point A.

Action d'une lame quart d'onde sur une vibration rectiligne ou elliptique de mêmes axes.

Une lame quart d'onde est une lame cristalline qui produit, entre les deux vibrations privilégiées parallèles à ses lignes neutre une différence de marche d'un quart de longueur d'onde donc une différence de phase de pi/2. Une lame de mica quart d'onde pour le jaune a une épaisseur de 29.5 microns. On l'obtient facilement par clivage. On peut essayer aussi diverses cellophanes type couvertures pour confitures ou morceaux de plastiques transparents divers.

Cas d'une vibration rectiligne:soient ox et oy les lignes neutres de la lame quart d'onde, oy étant l'axe lent et soit une vibration incidente rectiligne oM (en rouge) d'amplitude a0 faisant l'angle a avec ox. Les deux composantes suivant ox et oy qui ont pour amplitudes A=a0.cos(a) et B=a0.sin(a) et qui sont en phase à l'entrée de la lame, présentent à la sortie une différence de phase égale à pi/2. La vibration émergente résultant de la composition de ces deux vibrations, est une vibration elliptique dont les axes coïncident avec les lignes neutres de la lame quart d'onde; ses demi-axes sont précisément les amplitudes A et B; son intensité est A^2+B^2=a0^2 et son ellipticité est définie par A/B=tan(a). Si oP est situé dans le premier quadrant l'ellipse est décrite dans le sens de droite à gauche. Si au contraire oP est situé dans le second quadrant l'ellipse est parcourue de gauche à droite.Le sens de l'ellipse est le sens dans lequel il faut faire tourner la vibration incidente oP pour l'amener sur l'axe lent oy par une rotation inférieure à 90°.
Lorsqu'on fait varier la direction de la vibration rectiligne incidente oP, la vibration elliptique transmise reste dans un même carré dont les diagonales sont les lignes neutres de la lame quart d'onde.

Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
On peut modifier l'orientation de la vibration rectiligne incidente (rouge) à la souris en déplaçant le point P et observer l'effet sur la vibration transmise (verte).

Cas d'une vibration elliptique: recevons une vibration elliptique sur une lame quart d'onde disposée de façon que ses lignes neutres coïncident avec les axes ox et oy de l'ellipse incidente. Soient A et B les valeurs des demi-axes de l'ellipse, B désignant celle qui est dirigé suivant l'axe lent oy. Si la vibration est droite ses équations peuvent se mettre sous le forme
x=A cos(wt) et y= -Bsin(wt)
La lame quart d'onde introduit une nouvelle différence de phase de pi/2, la vibration y étant retardée. La vibration émergente peut s'écrire
x=A cos(wt) et y= -Bsin(wt-pi/2)=B cos(wt)
La résultante est une vibration rectiligne ayant même intensité que la vibration incidente et faisant un angle avec ox égal à beta compris entre 0 et pi/2 et tel que tan(beta)=B/A.
Si la vibration incidente est gauche ses équations sont
x=A cos(wt) et y=Bsin(wt)
et celles de la vibration rectiligne rétablie sont
x=A cos(wt) et y= -Bsin(wt-pi/2)= -B cos(wt)
de sorte que cette vibration fait un angle avec ox égal à beta, compris entre 0 et -pi/2 tel que tan(beta)= -B/A.

On peut dire que la rotation nécessaire pour amener l'axe lent oy sur la vibration rectiligne rétablie, en tournant dans le sens de la vibration incidente, est inférieur à 90°.

Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
On peut déformer l'ellipse de la vibration incidente en déplaçant le point P à la souris et observer l'effet sur la vibration transmise (verte).

 

Polariseur et analyseur circulaire.

Un cas particulier important de l'action d'une lame quart d'onde sur une vibration rectiligne est celui où cette vibration est dirigée suivant une des bissectrices des lignes neutres du quart d'onde: la vibration émergente est alors circulaire, gauche pour a=pi/4 et droite pour a=3.pi/4. Le système formé par le polaroïd qui fournit la vibration rectiligne et la lame quart d'onde ayant ses sections principales à 45° de celles du polaroïd s'appelle un polariseur circulaire. Recevant de la lumière naturelle, il fournit de la lumière polarisée circulairement, dont on peut d'ailleurs changer le sens en tournant la lame quart d'onde de 90° par rapport au polariseur. Son intensité, égale à celle de la vibration rectiligne fournie par le polariseur, est la moitié de celle de la lumière naturelle incidente.
Polariseur circulaire gauche. Polariseur circulaire droit. Bien noter la position de la vibration rectiligne incidente.
Recevons maintenant la vibration circulaire sur un autre quart d'onde. La vibration rectiligne rétablie est dirigée suivant une des bissectrices de ses lignes neutres (à pi/4 ou -pi/4); le système constitué par la lame quart d'onde suivie d'un polariseur ayant sa direction à 45° du quart d'onde s'appelle un analyseur circulaire. Si la polariseur est orienté de façon à éteindre la vibration parallèle à la première bissectrice, c'est à dire celle dont la direction s'obtient par une rotation de 45° à droite à partir de l'axe lent, et à laisser passer la vibration parallèle à la seconde bissectrice, l'analyseur circulaire éteint complètement une vibration circulaire droite, et laisse au contraire passer entièrement le flux lumineux apporté par une vibration circulaire gauche. L'analyseur circulaire éteint au contraire les vibrations circulaires gauches et laisse passer les vibrations circulaires droites si la polaroïd éteint la vibration rectiligne parallèle à la seconde bissectrice. Il est évident que l'extinction d'une vibration circulaire par un analyseur circulaire subsiste si on fait tourner celui-ci d'un angle quelconque.
Analyseur circulaire gauche. Analyseur circulaire droit. Bien noter la position de la vibration rectiligne émergente.

Action d'une lame quart d'onde sur une vibration elliptique d'orientation quelconque.

Pour résoudre ce problème on décompose la vibration elliptique en deux vibrations circulaires inverses, qui donnent dans la lame quart d'onde deux vibrations rectilignes rectangulaires, et nous n'aurons plus qu'à recomposer ces deux vibrations. Nous avons vu plus haut que la rotation d'angle p de l'axe de l'ellipse introduit un retard de phase f1=2.p de la vibration circulaire droite sur la vibration circulaire gauche.

Cas où la vibration incidente se réduit à une vibration rectiligne d'amplitude a0 faisant un angle alpha avec l'axe ox: Les deux vibrations circulaires composantes ont même intensité (a0/2)^2 et donnent après la traversée de la lame quart d'onde, deux vibrations rectilignes de même amplitude dirigées suivant les bissectrices des lignes neutres de la lame et présentent entre elles une différence de phase de f1=2.p. La résultante de ces deux vibrations est une vibration elliptique inscrite dans un rectangle dont les axes coïncident avec les lignes neutres de la lame. Son intensité est (a0)^2.

Prenons maintenant le cas général d'une vibration elliptique dont le grand axe fait un angle p avec la ligne neutre ox. La seule différence avec le cas précédent est que les vibrations circulaires composantes ont des intensités inégales, leurs transformées par la lame quart d'onde sont deux vibrations rectilignes orthogonales oR1 et oR2 et présentent entre elles une différence de phase f1=2.p. Au lieu d'être inscrite dans un carré la vibration émergente est inscrite dans un rectangle dont les côtés sont parallèles aux bissectrices oR1 et oR2 et est allongée suivant oR1 si la vibration incidente est droite et suivant oR2 si elle est gauche. Ce rectangle reste fixe si on fait varier P sans modifier a1 et a2 donc sans la déformer.

Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
On peut modifier les propriétés de la vibration elliptique incidente (rouge) en modifiant les amplitudes des vibrations circulaires composantes (cercles bleus) donc en déplaçant les points A1 et A2 à la souris, voire supprimer l'une des vibrations circulaires composantes en amenant l'un de ces point en o. On peut aussi faire varier le retard de phase f1 (affiché en degrés) de la vibration circulaire droite oM2 par rapport à la vibration circulaire gauche oM1 au clavier à l'aide des touches droite/gauche. La vibration elliptique de sortie est en vert clair.
On observera aussi l'effet de l'analyseur de sortie AA' (première bissectrice des axes du repaire) et la vibration rectiligne oK qu'il laisse passer (vert foncé).