But : obtenir une méthode de focalisation précise et rapide

A tenir compte :  du matériel
                          de la finalité-image
 

Plage de focalisation théorique

        P  =   7  l (f/d)²

Lorsque le rapport f/d tombe d’un facteur 2, la plage tombe d’un  facteur 4. Des exemples pour une longueur d’onde moyenne à 0,6 ?m

f/d  =  15           P  =  1 mm          f/d  =  10  P  =  0,42 mm

f/d  =   6            P  =  0,15 mm     f/d  =  3,5 P  =  0,05 mm

En pratique, à cause des aberrations optiques, on peut multiplier cette  plage par deux au moins.
 

Cadre matériel de l’étude : utilisation d’un SC

En choisissant par la force des choses notre SC d’Arbaz de 40 cm, on se place dans la « pire » des situations, ce qui n’est pas un « mal » pour cette analyse !

- Dans un SC, le déplacement du primaire occasionne un déplacement au moins 30 fois plus important du foyer !!

- D’autre part, le miroir d’un SC bouge et il faut souvent refocaliser lors d’importants déplacements.

Configurations utilisées : SC de 40 cm, « fixation » du primaire, focuseur secondaire robuste à l’arrière du télescope (jeu de 29 mm) commandable à distance, comparateur digital au 1/100 mm avec renvoi de l’affichage en salle de commande.
Rapports f/d :   11,2  7,2   5,5  et  3,6 avec réducteur solidaire de la CCD donc mobile

Bref rappel sur la FWHM :

L’image d’une étoile est une tache de diffraction. Elle est habituellement modélisée par une gaussienne dont on mesure la largeur à mi-hauteur, d’où le nom abrégé FWHM (full width at half maximum, c’est-à-dire pleine largeur à la hauteur correspondant au milieu du maximum).

Cette largeur à mi-hauteur dépend essentiellement de trois facteurs :

- Du diamètre de l’instrument : plus il est grand, plus cette largeur est petite (et donc plus grand sera le pouvoir de
   résolution et donc plus grand sera le nombre de détails observés).

                                            FWHM théorique (en ’’ d’arc)   =   20 l / D

   avec l  =  longueur d’onde en mm
           D  =  diamètre de l’instrument en cm

   Pour une longueur d’onde moyenne (vers 0,6 mm) et un télescope de 20 cm, on trouve une FWHM à 0,6’’.
   Elle tombe d’un facteur 2 pour un 40 cm.

- De la qualité du système optique utilisé qui peut par ailleurs contenir d’autres miroirs ou lentilles ainsi que par le
   système de guidage. De manière générale, la largeur à mi-hauteur sera bien plus importante que celle donnée par la
   théorie.

- De la qualité du ciel en terme de turbulence (seeing) : plus celle-ci est importante, plus l’étoile danse et donc plus
   l’image « s’étale » et ainsi plus la largeur à mi-hauteur est importante. Pour des pauses non extrêmement courtes
   (pour « geler » la turbulence, il faut des pauses inférieures à 0,01 s) et des diamètres d’instrument supérieurs à 15 cm,
   c’est le facteur prépondérant dans la FWHM.

Compte tenus de ces éléments, du ciel de nos contrées et de l’équipement des amateurs, il est rare que la FWHM descende au-dessous de 2’’  (ce qui correspond, ceci dit en passant, à la FWHM théorique d’un instrument de 6 cm de diamètre…) : les gros télescopes d’amateur n’obtiennent pas une meilleure résolution que les petits…

Focalisation par l’analyse de la FWHM

Le principe est tout simplement de minimiser la largeur à mi-hauteur : c’est au minimum de cette FWHM que la CCD sera située au foyer.

En fait, tout n’est pas si simple. Comme la turbulence élargit la FWHM et qu’elle présente un caractère quelque peu aléatoire, on obtiendra une plage de distance assez importante répondant à ce minimum.

Comment s’y prendre ?

- Avoir un logiciel permettant la visualisation du profil de l’étoile et si possible réalisant la mesure de la fwhm (sur les deux
   axes).
- Echantillonner correctement votre système (la fwhm vers son minimum doit au moins valoir deux pixels )
- Choisir une étoile assez brillante pour avoir un signal sur bruit important malgré un temps de pause court (pour fixer les
   idées disons S/B > 40)
 

Influence du temps de pause :

- Des pauses supérieures à 10 s risquent d’être affectées par les problèmes de suivi et c’est une perte de temps inutile.
- La reproductibilité de la fwhm a tendance à être moins bonne lorsque les temps de pause deviennent très courts
   (par exemple l’ouverture et la fermeture de certains obturateurs peuvent poser problèmes et créer une vibration
   perceptible sur des pauses très courtes).
- Une pause de 1 s est un ordre de grandeur raisonnable.

Deux techniques testées : une seule fwhm à chaque position (en pointillé)
    une moyenne sur 30 s de fwmh (de fwhm de 1 s) à chaque position (en trait plein)

Résultats (ici graphique qualitatif)

Commentaires :

- la courbe par « moyennage » est évidemment plus calme

- dans les deux situations, le minimum absolu ne correspond pas forcément  à la position du foyer (c’est rarement le
   cas…)

- la plage de focalisation par exemple à f/d = 11 dépasse 1 mm, soit bien au-delà de la plage théorique (0,5 mm).
   Idem à f/5,5.

- la descente et la remontée de la fwhm se font très rapidement : les courbes de montées et descente ne sont pas forcément
   symétriques.

- Toutefois, en partant du principe que les courbes sont symétriques, on obtiendra plus de précision en prenant deux
   fwhm identiques à la descente et à la montée et en considérant alors que le foyer se trouve au milieu.
   On peut ainsi diminuer l’incertitude d’au moins d’un facteur 2.

- Donc, dans la mesure où un dispose d’un comparateur, on ne s’attardera pas dans la plage du minimum mais
   on prendra une valeur à la descente et une valeur à la montée.

- Il ne faut pas aller trop loin du foyer sinon les étoiles ne sont guère modèlisables par une gaussienne et alors la fwhm
   n’est pas du tout reproductible et devient n’importe quoi.

- Les courbes ne sont pas bien reproductibles dans le temps, à cause des changements du seeing !

Focalisation par la méthode de Hartmann

Principe : il consiste à placer un disque plein muni de deux trous sur le devant du télescope. L’image d’une étoile sera alors double tant que la CCD n’est pas au foyer.

Méthode visuelle : on déplace la caméra jusqu’à ce que les deux images de l’étoiles nous apparaissent confondues sur l’écran. Cette méthode est approximative étant donné que la plage de focalisation est assez importante (plus de 1 mm à f/d = 11 et tout autant à f/5,5 !!) : c’est lié à notre acuité à séparer les deux images.

Remarque : les méthodes suivantes ne s’appliquent que si l’on dispose d’un foyer fixe (donc l’utilisation d’un focuseur secondaire pour les SC, C, RC ou Mak, est indispensable).

Méthode des positions extrafocales et intrafocales symétriques. Cette méthode demande de préférence un comparateur. On fait une photo en position intrafocale, en repérant cette première position de la CCD avec le comparateur, et on mesure sur l’écran avec une règle la distance entre les deux images de l’étoile. On cherche la position extrafocale qui donne la même distance entre les deux images de l’étoiles (pas besoin d’être hyperprécis : disons qu’on peut accepter une marge de 5 % entre les deux valeurs). Le foyer est alors logiquement entre les deux positions intra et extrafocales. L’incertitude obtenue par cette méthode est très inférieure à celle obtenue par la méthode visuelle (peut-être un facteur 4) : toutefois, on ne perd pas beaucoup plus de temps avec la méthode suivante.

La méthode de Hartmann analytique.
Elle exige un comparateur avec une précision d’au moins 2/100 mm.
On prend une photo intrafocale à la position x1, les images de l’étoile étant séparées par une distance d1 (unité arbitraire). On fait de même avec une photo extrafocale (x2 et d2).
Pour trouver les distances d (en pixels, cela va très bien), on prend la fonction centroïde d’un logiciel et on y relève ses deux coordonnées de la 1ère image de l’étoile sur la photo intrafocale. On fait de même avec la 2ème image de l’étoile. On met ces 4 coordonnées dans un tableur qui nous détermine ensuite la distance d1 par Pythagore. On fait de même avec la deuxième photo pour trouver d2.

Ensuite, par un simple raisonnement géométrique, la position du foyer est donnée par :

  xf  =  (d1 x2  +  d2 x1) / (d1 + d2)         (on retrouve bien xf au milieu de x1 et x2 si d1 = d2)

Une méthode mixte : analyse fwhm de Hartmann

Une méthode intéressante consiste à analyser la fwhm des images quasiment confondues de l’étoile quand on est proche du foyer données par le disque de Hartmann.
Il s’agit d’une amélioration de la méthode visuelle de Hartmann. Quand la fwhm est minimale, le foyer est atteint.
Cette méthode peut se faire avec n’importe quelle configuration optique et sans comparateur. Elle est au moins deux fois plus précise que la méthode visuelle simple.

La précision de la méthode analytique

Elle est très bonne, en particulier pour des rapports f/d élevés.
On pourrait d’abord s’enquérir de la précision du point de vue théorique. On va admettre quelques hypothèses réalistes : l’incertitude sur la position extrafocale est la même que celle sur la position intrafocale et on la note par ?x ; l’incertitude sur la position du centroïde des deux images de l’étoile est la même et on la note par ?d.

On montre alors que l’incertitude théorique sur la position du foyer vaut :

  Dxf      =    Dx + I x2 – x1I / (d2+d1)  2Dd
 

Pour un rapport d’ouverture donné, le quotient  (x2-x1)/(d2+d1) est une constante. Il est d’autant plus petit que le rapport f/d est petit, dans la mesure où le réducteur ne se déplace pas avec la caméra (ce qui fut le cas chez nous…)

L’incertitude Dx est la précision du comparateur. Il est important d’avoir un comparateur assez précis : le dixième de mm ne suffit pas. Il faut de préférence pouvoir lire 2/100 mm.

L’incertitude sur d, donc sur la position du centroïde dépend du rapport signal sur bruit qui doit être assez grand : il faut choisir une étoile brillante et travailler assez près du foyer (sinon les images s’étalent et la précision diminue).

Dans les expériences réalisées, l’incertitude sur x est celle du comparateur soit 1/100 mm. L’incertitude sur d (en mode bining 2 x 2) était habituellement inférieure à 0,03 pixels (pixels de 9 x 2 = 18 micromètres, soit alors 0,54 micromètre).

En travaillant sans réducteur à f/11,2, on obtient

Dxf      =     Dx + 38 Dd      =  0,01 mm  +  0,02 mm   =   0,03 mm

On obtient une incertitude théorique très faible pour ce rapport d’ouverture.

Notons que les deux incertitudes Dx  et 38 Dd  sont du même ordre de grandeur, ce qui confirme le fait qu’il ne faut pas prendre un comparateur trop imprécis, surtout pour des f/d petits.

Toutefois, il convient de se faire une idée de l’incertitude expérimentale.
L’idée ici est de prendre plusieurs distances intra et extra focales et de chercher le foyer par régression linéaire, selon le schéma suivant (en considérant d1 intrafocale comme positive et d2 extrafocale comme négative pour faciliter la régression) :

Pour la précision expérimentale, on considère les deux couples (intra et extrafocal) qui s’éloignent le plus du foyer obtenu (par valeur inférieure et supérieure). Il s’agit pas d’une incertitude au sens statistique du terme mais du pire écart (l’équivalent d’environ 2 s ?)

Dans la configuration à f/11, sur 20 écarts, on obtient par exemple une incertitude de 0,18 mm soit une plage de 0,36 mm. Toutefois, si l’on se restreint à des positions un peu plus proches du foyer (10 mesures), l’incertitude tombe à 0,07 mm, donc une plage de 0,14 mm et donc très en dessous de la plage théorique qui vaut 0,5 mm.

Il faut relever que cette incertitude expérimentale est bien supérieure à l’incertitude théorique, ce qui ne constitue pas une surprise en soi…

Nos plages sont à peu près les mêmes pour les configurations à f/7,2 et f/5,5 et f/3,6 : cela est explicable par l’adjonction d’une optique supplémentaire et par le fait que nos réducteurs se déplaçaient avec la caméra*. En prenant passablement de mesures, on a une incertitude assez constante autour de 0,14 mm. Celle-ci peut baisser en ne prenant que des positions assez proches du foyer et sont alors un peu inférieures 0,1 mm, soit une plage inférieure 0,2 mm. C’est encore bon pour la config à f/7,2 (plage théorique à 0,2 mm), à la limite acceptable pour f/5,5 (plage théorique de 0,13 mm) mais insuffisant pour la config à f/3,6 (plage théorique à 0,05 mm). Une amélioration non testée est certainement réalisable en ayant le réducteur fixe.

On remarque également une bonne reproductibilité des résultats et des incertitudes. Le temps de pause a été de 10 s en prenant des étoiles qui donnent un bon rapport signal sur bruit (disons S/B > 40). Une pause supérieure n’apporte pas d’amélioration significative.

Indications pour la méthode de Hartmann

- Les deux trous dans le disque seront les plus distants possible (meilleure précision) et les plus grands possible (pour
   mieux intégrer les défauts optiques de l’instrument).

- Temps de pause « optimal » : 10 secondes. Les temps de pause ne doivent pas être trop courts (les deux trous font
   que la turbulence ne produira pas nécessairement des ondes « cohérentes). Donc pauses au moins supérieures à 1 s.
   Il ne sert à rien de pauser trop longtemps non plus. On remarque que des pauses de 60 s ne donnent pas de
   meilleures résultats que des pauses de 10 s.

- Choisir une étoile assez brillante de sorte que le rapport signal sur bruit soit supérieur à 40. Cela a pour but de
   limiter l’incertitude sur la position du centroïde.

- Les deux photos intra et extrafocale sont à choisir de sorte que la distance « idéale » entre les deux images de
   l’étoile soit comprise entre 3 et 4 fois la fwhm de l’étoile (entre 2 à 5, cela va aussi...). Si la distance est petite,
   n’oublier pas de prendre une petite fenêtre pour le calcul du centroïde. Le centroïde se calcule bien si
   l’échantillonnage corresponde au moins à deux pixels pour la fwhm.

- Pour la méthode de Hartmann analytique, un comparateur digital au 1/100 mm facilite la lecture.

*Autre remarque : la focalisation par Hartmann via un réducteur se déplaçant avec la caméra (par exemple les réducteurs OPTEC à 0,33 x et 0,5 x) est possible mais certainement un peu moins précise.
Le schéma géométrique n’est vraiment pas aussi simple que celui présenté. Toutefois, comme on travaille sur des distances très courtes (de l’ordre du cm), tout se « linéarise » au voisinage du foyer si bien que la méthode reste concluante. Les graphiques de régression linéaire ne montrent d’ailleurs pas d’écarts significatifs à cette linéarité.

Par contre, la précision « théorique » est diminuée du fait que le rapport (x2-x1)/(d2+d1) augmente, et donc l’incertitude totale aussi, quand le rapport f/d diminue : c’est exactement le contraire que pour le cas où le réducteur est fixe !!

Cette remarque est toutefois à nuancer par le fait que l’incertitude pratique peut venir en bonne partie de la qualité optique du réducteur.
 

Un exemple concret des différentes méthodes

Configuration utilisée : f/5,5 (plage théorique à 0,13 mm). Les positions de la CCD sont indiquées en mm (le zéro étant bien entendu arbitraire). L’unité de la fwhm est arbitraire mais la même dans tous les exemples.

1) Lecture d’une seule fwmh (unité arbitraire) par position.Temps de pause = 1 s.
 

Position	82,0	81,5	81,0	80,5	80,25	80,0	79,75	79,5	79,25	79,0	78,5	78,0
fwhm	6,31	4,23	2,37	2,45	2,76	2,24	2,14	2,05	2,64	2,35	3,66	4,89

C’est peut-être ici un cas « extrême » mais qui peut arriver : la plage est ici de 2 mm, soit plus de dix fois la plage théorique !! On choisira logiquement le foyer à 79,5 mm.

2) Lecture d’une moyenne de fwhm effectué sur un temps total de 30 s par série de photos de pause d’une seconde.
 

Position	82,0	81,5	81,0	80,5	80,25	80,0	79,75	79,5	79,25	79,0	78,5	78,0
fwhm	-	4,1	2,72	2,26	2,28	2,20	2,14	2,15	2,40	2,55	3,53	4,51

On voit ici également que le minimum ne correspond pas à la position du foyer. La plage est d’environ 1 mm. Un raisonnement de symétrie aboutit à la position du foyer donnée (81,5 + 78,75)/2 =  80,1 mm avec une incertitude difficile à estimer mais de l’ordre de 0,25 mm soit une plage de 0,5 mm.

3) Méthode de Hartmann visuelle
 

Position	82,0	81,5	81,0	80,5	80,25	80,0	79,75	79,5	79,25	79,0	78,5	78,0
dédoublées	oui	juste	non	non	non	non	non	non	non	juste	oui	oui

La plage est ici supérieure à 1,5 mm, soit plus de dix fois la plage théorique

4) La méthode mixte : fwhm des images accolées de l’étoile données par Hartmann
 

Position	82,0	81,5	81,0	80,5	80,25	80,0	79,5	79,0	78,5
fwhm	4,33	3,57	2,53	2,29	2,16	2,37	2,75	3,42	4,02

Donc le foyer sera choisi à 80,25 mm. L’incertitude est de l’ordre de 0,25 mm soit une plage de 0,5 mm.

5) Méthode de Hartmann analytique

Dix photos sont réalisées (extrafocales et intrafocales). Dans la pratique, on n’en réalisera que deux. On relève la distance en pixels entre le centroïde des images. Le signe négatif est mis ici pour les images extrafocales.
 
 

Position	88,0	87,0	86,0	85,0	84,0	83,0	77,0	76,5	76,0	75,5
distances	10,73	9,46	8,06	6,62	5,01	3,67	-4,12	-4,77	-5,40	-5,97

Par régression linéaire, on obtient un foyer à 80,06 mm. Les valeurs extrêmes obtenues sont 79,95 et 80,17 mm soit une incertitude max de 0,11 mm, donc une plage à 0,22 mm.

Comparaison des méthodes

Remarque importante : la rapidité de la méthode ne me paraît de loin pas le critère déterminant, d’autant plus que toutes ces méthodes peuvent se réaliser en moins de dix minutes avec un peu d’habitude.

Et pour finir, la bonne question : à quoi cela sert d’être très précis ?

En effet, une étude de la fwhm montre qu’il existe une plage de focalisation pratique assez importante. Dès lors, il suffit de se situer dans cette plage de ces minima de fwhm, peu importe si l’on est sur le foyer ou non.

C’est un argument acceptable mais qui peut se heurter aux problèmes suivantes :

- La fwhm est dépendante de la turbulence. Celle-ci change au cours de la nuit. Habituellement, elle est moins bonne en
   début de soirée, au moment où l’on réalise la focalisation. Si la CCD n’est pas dans le proche voisinage du foyer,
   alors une amélioration réelle de la turbulence risque de ne pas modifier la qualité de l’image, ce qui est fort dommage !
   Dans le même sens, il existe parfois des « calmes relatifs » de plusieurs minutes et il serait bête de ne pas pouvoir en
   profiter.
- La photographie des planètes demande une grande résolution. Pour y parvenir, on sélectionne une image sur une ou
   plusieurs centaines d’images : cette image aura profité d’un « trou » de turbulence. Si la CCD n’est pas proche du
   foyer, le profit n’existe pas.
- Il peut être utile de connaître précisément la position du foyer pour plusieurs raisons : étude du mouvement du miroir
   (pour les SC…), étalonnage de la position du foyer en fonction de la température, de la position du télescope,
   décalage focal lié aux filtres, etc…

Rappelons-nous qu’une focalisation précise ne demande pas beaucoup de temps et que le reste de la soirée va dépendre fondamentalement de cette étape.
 

Conclusion :

Au stade actuelle de mes connaissances (quelques nuits de pratique seulement là-dessus) et à la seule lumière du matériel que j’ai utilisé, je peux recommander les deux techniques suivantes comme optimales :

Pour tout instrument et toutes configurations : la méthode mixte de Hartmann

Pour instrument à foyer fixe et avec un comparateur : la méthode analytique de Hartmann

La méthode de Hartmann a l’avantage sur la fwhm de s’affranchir en grande partie de la turbulence.

Mais aucune de ses méthodes n’est parvenue à être suffisamment précise pour notre SC équipé d’un réducteur mobile donnant une configuration à f/3,6.