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La théorie de la Relativité

L'électrodynamique des corps en mouvement

L’espace-temps de Minkowski (III)

La théorie de la relativité restreinte venait juste d'être publiée qu'elle passionnait déjà le professeur Hermann Minkowski[16] de l'Université de Göttingen. Pour l'anecdote, Minkowski donna cours de mathématique à Einstein lorsque celui-ci avait 17 ans, lorsque tous deux étaient à Zurich. Mais Einstein s'ennuyait à ses cours. Minkowski devait avouer plus tard que jamais il n'eut cru que cet élève deviendrait le génie qu'il fut...

Eminent mathématicien, Minkowski porta son intérêt sur les formules de transformations de coordonnées et apporta une grande contribution à la relativité, sans laquelle écrivit Einstein "la Théorie de la relativité générale serait peut-être restée au maillot ". Il appliqua les transformations de FitzGerald-Lorentz à un système tridimensionnel animé d'un mouvement uniforme et aboutit à un nouvel espace à quatre dimensions, euclidien, dans lequel la variable temps, qui dépend de la vitesse du référentiel devient le temps propre t et est inséparable de la longueur x.

Appliquons le théorème de Pythagore à l'équation de FitzGerald-Lorentz et multiplions ses deux membres par l'intervalle entre les deux événements (ct') ² :

Le terme (v² t'²) représente la distance parcourue par un objet en mouvements pendant l'intervalle de temps t', ce qui s'écrit également : (vt'1 - vt'2)².

Si sa vitesse égale c, l'équation s'annule :

c² t²   ≥  0

et la mesure (c² t²) traduit, d'un point de vue extrinsèque, que les dimensions d'espace et de temps se sont comme arrêtées dans le référentiel relativiste, car la vitesse de l'objet est égale à celle de la lumière. En changeant de membre, (c² t²) devient négatif, ce qui signifie que pour des objets animés de la vitesse de la lumière, il n'y a plus de lien de causalité entre les événements.

Imaginons qu’un faisceau lumineux soit émis à l’instant t=0 et se propage sur l’axe x à la vitesse constante de la lumière, c :

c = x/t , qu'on peut aussi écrire sous la forme :  x = ct

Dans l’espace-temps de Minkowski, cette équation s’écrit :

En changeant t de membre et en portant le tout au carré pour supprimer la racine on obtient :

(1)

Document T.Lombry.

Implicitement, dès 1907 le temps joue un rôle sur la géométrie de l'espace, puisqu'il ajoute un terme supplémentaire à notre équation, (c² t²) une mesure de l'espace-temps.

Considérons deux événements de coordonnées (x1y1z1t1) et (x2y2z2t2) et remplaçons les variables dans l’équation (1) :

(ds)²  = c²(t2  - t1) ² - [( x2 - x1) ² + (y2 - y1) ² + (z2 - z1) ² ]       (2)

En posant :

dt  = t2  - t1,

dx = x2 - x1,

dy = y2 - y1,

dz = z2 - z1

on peut également écrire l’équation (2) sous la forme

ds²  = c²dt² - ( dx² + dy² + dz² )

ds² devient ce qu'il convient d'appeler le "quadrivecteur déplacement", c’est l'intervalle d'espace-temps où, comme le dit simplement Einstein, le carré de la distance. Le fait que cette grandeur puisse être positive, nulle ou négative est liée au caractère absolu de la vitesse de la lumière. Deux observateurs en mouvements inertiels, ayant pris soin d'étalonner et de synchroniser leurs horloges sont du même avis pour noter que les intervalles de temps qu'ils mesurent sont identiques, mais le temps (local) n'est pas décompté de la même façon dans les deux référentiels.

L’équation (1) décrit la propagation d’un signal entre deux événements. L’intervalle ds² = 0 parce que les deux événements sont reliés à la vitesse de la lumière. On peut les représenter par un cône de lumière de Minkowski dans l’espace-temps.

Cette équation conduit à faire plusieurs observations. Dans l'univers plat à quatre dimensions de Minkowski, les trajectoires des objets dans l'espace-temps sont des droites. Si l'objet reste au repos, seul le temps continue à s'écouler :

c²dt²

 = c² dt'²

En posant l'existence du nombre imaginaire i² = -1 pour résoudre l'équation de Minkowski (l'inversion des signes), nous obtenons :

ds²

 = - c² dt’²

s

 =   c t’

Cette équation démontre que dans une transformation de Lorentz le rayon vecteur qui représente l'intervalle entre deux événements (ds²) et le temps propre restent invariables. Si on applique les règles de la mécanique classique, l'intervalle entre deux événements animés d'un mouvement inertiel l'un par rapport à l'autre paraît différent (nous avons noté que l'une des distances vaut 0 alors qu'elle a bien été parcourue). L'équation s'appliquant à un référentiel galiléen, Minkowski peut conclure qu'il n'existe pas de référentiel privilégié pour effectuer cette mesure. Cette façon de parler de la relativité nous rappelle une fois encore que les absolus de Newton sont bel et bien morts. Comme le disait Minkowski en 1908 lors d'une conférence, "Désormais l'espace en lui-même et le temps en lui-même sont destinés à s'évanouir comme des ombres, et seule pourra prétendre à une existence indépendante une espèce d'union de l'un et de l'autre"[17].

Si la vitesse de la lumière est infinie nous retrouvons le cas particulier de l'univers newtonien, où un phénomène peut instantanément se produire en dehors de tout lien de causalité. Le temps y est absolu et il n'existe pas d'horizon cosmologique (ds² < 0 et dt = 0). Ce modèle ne correspond pas à la réalité car nous savons que le caractère de simultanéité dépend du choix du référentiel.

Malheureusement Minkowski mourut en janvier 1909, trop tôt pour voir la publication de sa conférence de Cologne.

Prochain chapitre

La contraction de FitzGerald

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[16] "Gesammelte Abhandungen von Hermann Minkowski", Teuburen, 1911, vol.2, p352, livre dans lequel sont introduites les notions de cône de lumière, vecteur du genre temps, ligne d'univers, etc. Lire P.Tourrec, “Relativité et gravitation”, Armand Colin, 1992.

[17] B.Hoffmann, "Albert Einstein, créateur et rebelle", Le Seuil, 1975, p100.


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