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La qualité des optiques

Gros-plan sur la surface des miroirs et des lentilles (I)

En lisant les bulletins de contrôle et les rapports techniques sur la qualité des lentilles et des miroirs ont constate que les mesures sont exprimées en secondes d'arc quand il s'agit de résolution angulaire ou en fractions de longueurs d'ondes ou en nanomètres quand cela concerne les caractéristiques de la surface, avec la mention d'un écart P-V ou RMS d'une valeur précise. Que représente au juste ces valeurs ?

Par nature la lumière d'un objet situé à l'infini, ce qu'on appelle un front d'onde, parvient sur la surface d'un objectif sous forme de rayons parallèles et en phase. Si toutes les surfaces du système optique sont parfaitement taillées, toute la lumière incidente focalise en un seul et même point, le foyer.

Mais nous savons tous qu'une telle perfection est impossible à obtenir. Invariablement, certains rayons dépasseront le point focal, d'autres se focaliseront avant de l'atteindre ou parviendront à un autre endroit dans le plan vertical.

En traversant une optique, le front d'onde réel est donc plus ou moins perturbé par des facteurs extérieurs avant d'arriver au foyer considéré comme un plan focal. Parmi les sources de pertubrations citons les aberrations optiques, l'obstruction centrale du télescope ou encore l'effet de la turbulence, autant de facteurs qui vont diminuer la qualité de l'image.

Concrètement, au foyer de l'instrument, toute perturbation de l'image sera vue ou enregistrée comme un défaut de mise au point : l'image parfaite perd sa netteté, elle devient floue et irrégulière au rythme des fluctuations du front d'onde. Si la qualité de l'optique est mesurée sur un banc en laboratoire, l'image ponctuelle sera plus ou moins déformée en fonction des aberrations et des éventuels défauts de la surface.

La tache de diffraction et le pouvoir de résolution

Pour qu'un système optique réponde aux normes de qualité astronomique, il doit satisfaire à plusieurs critères qui dépendent non seulement de la nature ondulatoire de la lumière mais également de la précision avec laquelle les optiques ont été polies et adaptées à la structure et aux contraintes que subit l'instrument en opération.

Dans une optique parfaite, en raison du phénomène de diffraction, l'image d'une étoile n'est jamais ponctuelle mais forme une tache de diffraction appelée le disque d'Airy. Sa répartition lumineuse suit la fonction de Bessel représentée par un pic central brillant entouré par des anneaux de diffraction plus ou moins nombreux et brillants selon la qualité et le type d'optique comme on le voit ci-dessous.

A gauche et au-dessus, le disque d'Airy obtenu en faisant passer un rayon laser à travers un trou microscopique de quelques dizaines de nanomètres. On observe un pénomène de diffraction en raison de la nature ondulatoire de la lumière. L'image inférieure est une modélisation 3D de la PSF. A droite, simulation de l'aspect du disque d'Airy d'une étoile avec le programme Aberrator tel qu'on peut l'observer dans un instrument d'asdtronomie. A l'extrême gauche, ce qu'on devrait observer en théorie..., à droite ce qu'on observe en réalité lorsque les conditions sont favorables ! La deuxième représentation correspond à celle d'une image observée dans une lunette apochromatique de 155 mm d'ouverture. Dans un télescope obstrué à 33 % du diamètre de type Schmidt-Cassegrain (les deux images de droite), la perte de lumière atteint 11 % (0.33*0.33) tandis que l'intensité du premier anneau de diffraction passe de 1.7 à 5.4 %.

Le diamètre angulaire (θ) de la tache de diffraction de l'image d'une étoile est inversement proportionnel au diamètre de l'objectif de l'instrument :

θ = 2.44 λ550 /D

La résolution maximale d'une optique dépend uniquement du diamètre de l'objectif pour une longueur d'onde donnée. Les rayons lumineux parallèles ne se concentrent pas en un seul point mais forment dans la tache de diffraction, dont le rayon (α) vaut :

 α = 1.22 λ550 F / D

avec λ550, la longueur d'onde de travail

F, la longueur focale de l'objectif

D, le diamètre de l'objectif.

On constate que le diamètre de la tache de diffraction diminue proportionnellement au rapport focal F/D : à diamètre constant de l'objectif, si à f/8 par exemple la tache de diffraction mesure 5.4 microns, à f/5 elle mesure 2.7 microns.

Si en soi c'est excellent, utiliser un court rapport focal n'est pas nécessairement compatible avec le sujet de l'observation, surtout quand il s'agit de photographie des petits objets brillants (étoiles multiples serrées, Mars, etc) où on recherche au contraire des rapports focaux élevés pour augmenter le grossissement.

La valeur limite de la tache de diffraction détermine la résolution de l'instrument d'optique. En d'autres termes, il est impossible de distinguer des détails plus petits que cet angle. Ce pouvoir séparateur (PS) est donné par la formule de Rayleigh où D est exprimé en mètre et PS en seconde d'arc. :

PS = 0.1384/D

Concrètement, à partir d'un certain grossissement (~2.5 fois le diamètre du télescope exprimé en millimètre), rien ne sert d'utiliser des oculaires offrant une focale plus courte ou des subterfuges optiques (Balow, Powermate, etc) pour atteindre des grossissements supérieurs, vous ne verrez pas de détails supplémentaires, au contraire, l'image va s'obscurcir et ruinera tout le confort de l'observation.

Afin de réponde aux normes de qualité astronomique, la résolution du système optique doit être limitée par le phénomène de diffraction (disque d'Airy), ce que les Anglo-saxons qualifient de "diffraction limited".

De plus, les aberrations résiduelles des fronts d'ondes doivent être réduites à moins de λ/4 de la longueur d'onde de travail (par défaut λ=550 nm) au foyer de l'instrument (et sur tout le champ et pas uniquement dans l'axe optique).

A gauche, simulation couleur d'un couple binaire serré à la limite de la résolution de Rayleigh d'un instrument de 125 mm d'ouverture (PS=1.1"). A gauche, l'image dans une lunette apochromatique, à droite dans un télescope catadioptrique dont le diamètre est obturé à 30 % par le miroir secondaire. Images créée avec Aberrator. A droite, le critère de Rayleigh (l'écart du front d'onde P-V doit être égal ou inférieur au quart-d'onde pour ne pas dépasser la taille du disque de diffraction) s'applique à toute la surface de l'objectif. Documents T.Lombry et Zambuto adapté par l'auteur.

Sachant cela, deux critères déterminent la qualité d'une optique aux normes :

- le critère de Rayleigh qui définit la "parabole de la meilleure onde de référence", c'est-à-dire sur le plan géométrique, le plus petit écart entre la forme du front d'onde (parabolique) et la ligne brisée, autrement dit seuil du phénomène de diffraction (diffraction limited). Cette différence de marche ou écart de tautochronisme ne doit pas dépasser λ/4 à 550 nm. Ce sont les fameuses fractions de "λ" qui définissent la qualité du polissage d'un miroir.

- le critère de Couder qui définit la limite du disque de diffraction. Si sa valeur est dépassée, il faut continuer le polissage car autrement, en situation réelle la moindre turbulence détruira la tache de diffraction et diminuera la résolution instrumentale.

En général, les télescopes destinés au grand public respectent le critère de Rayleigh car leur miroir est taillé à λ/8 ou supérieur. En revanche, ils ne satisfont pas au critère de Couderc en raison d'importantes aberrations résiduelles en dehors de l'axe optique et ne sont donc pas conformes aux normes des optiques astronomiques.

Si ce non respect des normes de qualité ne dérange probablement pas un amateur, ce défaut de qualité peut rendre une optique impropre à une utilisation professionnelle.

Le rapport de Strehl

Toute déformation du front d'onde se manifeste par une perte d'intensité du disque d'Airy et une intensification des anneaux secondaires de diffraction. Plus l’énergie lumineuse est concentrée dans le disque d'Airy, plus l'optique est de qualité et offre un contraste élevé.

Le rapport de Strehl est une mesure du rapport de la distribution lumineuse entre le centre du disque d'Airy et ses anneaux. Il mesure l'erreur quadratique moyenne (ou écart moyen) entre le front d'onde ou PSF théorique et le front d'onde réel. Le rapport de Strehl varie entre 0 et 1. Une optique parfaite ayant un rapport de Strehl de 1 est uniquement limitée par le phénomène de diffraction. Dans ce cas, 83.9 % de l’énergie lumineuse est contenu dans la tâche de diffraction, les 16.1 % restant étant distribués dans les anneaux secondaires.

Relation approximative entre l'écart RMS et le rapport de Strehl.

En pratique, à partir d'un rapport de Strehl de 0.8, on peut considérer que l'optique est "diffraction limited" et d'excellente qualité. C'est largement le cas des lunettes apochromatiques d'Astro-Physics dont la 130 mm f/6.3 StarFire EDF qui affiche un rapport de Strehl de 0.972 ou λ/35 RMS selon le test d'Airy Lab et selon Roland Christen à f/5 il dépasse 0.984 ou λ/50 RMS. Par comparaison, la Takahashi TSA 102  mm f/8 également réputée pour la qualité de ses images obtient également un rapport de Strehl de 0.972 à 543 nm et 473 nm selon le test d'Airy Lab soit supérieur au modèle TOA 130 mm f/7.7 (0.936).

Dans un cas idéal, le premier anneau de diffraction contient 1.7 % de l'intensité maximale du disque d'Airy. Dans un télescope Schmidt-Cassegrain obstrué à 33 % du diamètre par le miroir secondaire, ce premier anneau contient 5.4 % de l'intensité lumineuse. Selon le test d'Airy Lab, le Celestron C5 de 127 mm f/10 affiche un rapport de Strehl supérieur à 0.89 à 543 nm soit environ λ/19 RMS, ce qui est excellent pour cette optique et supérieur à certaines lunettes dites apochromatiques comme le triplet ED Meade série 5000 de 127 mm f/7.5 ED qui ne dépasse pas 0.766 soit λ/10 RMS sur le banc test de Airy Lab.

Le tableau affiché à gauche présente la relation approximative entre l'écart RMS (voir plus bas) et le rapport de Strehl.

Le calcul exact s'effectue sur un banc test sur base de la PSF (une analyse numérique de la distribution d'énergie en vue sagitalle ou transversale) à partir d'une mesure du front d'onde qui tient compte de la nature réelle des aberrations.

Le tableau présenté ci-dessous montre la relation entre l'obstruction centrale exprimée en poucentage du diamètre (comme de coutume) et l'énergie du disque d'Airy.

Pour obtenir la valeur d'obstruction en pourcentage de la surface, il faut élever la valeur exprimée en diamètre au carré (par ex. 30 % du diamètre = 0.32 soit 9 % de la surface).

L'intensité du disque d'Airy d'une optique obstruée en équivalent Strehl (3e colonne) se calcule selon la formule approchée : (1-o2)2, avec "o" l'obstruction en pourcentage du diamètre (par ex : pour 30 % d'obstruction en diamètre, soit 9 % en surface, l'équivalent Strehl = (1-0.32)2 soit 0.83).

La valeur d'énergie centrale (4e colonne) est donnée à titre indicative car elle se calcule à partir de la MTF (fonction de transfert de modulation, voir page suivante) mesurée avec un analyseur de front d'onde ou un interféromètre.

Obstruction

centrale*

Perte

de lumière°

Equivalent

Strehl

Energie

centrale

50 %

25 %

0.56

47 %

40 %

16 %

0.71

59 %

30 %

9 %

0.83

70 %

20 %

4 %

0.92

77 %

10 %

1 %

0.98

82 %

 0 %

0 %

1

84 %

* Pourcentage du diamètre.   ° Au profit des anneaux secondaires

L'obstruction en surface indique également le pourcentage de lumière perdu dans le disque d'Airy au profit des anneaux secondaires. Dans cet exemple, un obstruction de 9 % de la surface signifie que 9 % de la lumière est donc perdu au profit des anneaux. Conséquence, le disque d'Airy sera plus pâle et les anneaux paraîtront plus brillants comparés à l'image fournie par une lunette astronomique de même diamètre utilisée dans les mêmes conditions.

La plupart des télescopes catadioptriques présentent une obstruction centrale qui varie entre 15-35 % du diamètre, parfois même 40 % dans le cas des astrographes.

Au vu de ces chiffres, on comprend pourquoi à diamètre égal une optique qui ne présente pas d'obstruction centrale comme une lunette astronomique offre une image plus contrastée et plus nette (un meilleur piqué) qu'un télescope.

Ceci dit, certains auteurs voudraient nous faire croire que l'obstruction centrale serait le facteur prépondérant dans le choix d'un réflecteur, mais il n'en est rien; c'est juste un facteur parmi d'autres. Il apparaît seulement qu'il est facile à mesurer et qu'on a élaboré beaucoup de théories pour appuyer son impact.

Mais l'un dans l'autre, la qualité de l'optique (courbure et précision du polissage) reste la plus importante.

Méthodes d'analyses

Dans une optique, l'amplitude de la dégradation des détails d'une image peut se visualiser au moyen de tests relativement simples comme le test de Foucault, de Ronchi, de Lyot ou par interférométrie au moyen d'un analyseur de front d'onde (interféromètre de Fizeau, de Michelson, de Bath, test de Shack Hartmann, etc.) ou encore avec un capteur de courbure. Nous détaillerons quelques appareils dans l'article consacré à la fabrication d'un miroir.

Mais ne vous précipitez pas chez les vendeurs listés en bas de deuxième page car certains de ces instruments valent plus de cent mille euros. Mieux vaut donc confier ce travail à une entreprise spécialisée (par ex. AiryLab en France qui offre ses services à partir de 250 €).

Les méthodes les plus utilisées sont l'interférogramme qui va mettre en évidence le contraste et l'amplitude des défauts et des aberrations d'une optique (écarts P-V et RMS, rapport de Strehl, carte de contour, carte de transfert de contraste, etc) et la fonction de transfert de modulation (FTM ou MTF "Modulation Transfer Function" en anglais) qui permet de déterminer le contraste de l'image en fonction de la résolution spatiale et de comparer ces valeurs à une optique théorique uniquement limité par la diffraction.

Réglage d'un interféromètre. Doc ESDI.

Le premier moyen de déterminer la qualité d'une optique consiste à mesurer à quelle distance les rayons lumineux manquent le point focal. Cette précision dépend de la courbure de la surface et donc de la qualité du polissage du miroir ou des lentilles.

La précision du polissage est mesurée en nanomètres ou en fractions de la longueur d'onde de travail car dans ce domaine la marge d'erreur est extrêmement petite. Si nous prenons la lumière verte de 500 nm pour référence, un défaut de 50 nm (0.05 microns ou encore 0.000005 mm) correspond à 1/10e de longueur d'onde ou λ/10.

A titre indicatif, lors de la dernière étape de la fabrication d'un miroir, un polissage un peu trop accentué peut créer des écarts supérieurs à 5000 nm soit 10λ. Des bulles d'air figées dans la surface du verre ou des piqûres dans le revêtement peuvent générer localement des défauts de plusieurs milliers de nanomètres soit des multiples de la longueur d'onde (par ex. des défauts d'une épaisseur de 2000 nm à λ500 = 4λ, soit 16 fois au-dessus des tolérances d'une optique taillée à λ/4). Si ces défauts sont très nombreux ou les aberrations trop importantes, l'optique sera bien au-delà des tolérances acceptables. Dans ce cas, il n'y aura pas d'autre solution que de remplacer l'optique ou la repolir.

Quand on achète une optique de précision comme un télescope ou une lunette apochromatique, il est donc utile et parfois indispensable de disposer du bulletin de contrôle et du rapport d'analyse optique pour évaluer la qualité réelle de l'instrument qui peut-être très diffférente des valeurs catalogues ou du cahier des charges. Ce ne sera pas le premier amateur qui renvoya son miroir ou sa lame de fermeture pour vice de fabrication. Même les professionnels sont confrontés à ce problème : rappelez-vous les défauts du télescope Otto Struve de 2.10 m de l'Observatoire McDonald en 1964 ou du Telescope Spatial Hubble en 1990.

Voyons ces différentes méthodes d'évaluations et leur interprétation.

L'écart P-V

P-V dites-vous ? C'est l'abréviation de "Peak-to-Valley", du pic à la vallée, PTV en français. Il représente l'écart extrême de la surface à une longeur d'onde précise exprimée généralement en fraction de longueur d'onde (onde, wave ou λ) ou en microns (μm).

En général, cet écart (qu'on appelle parfois à tord "erreur" P-V) est mesuré sur le front d'onde, une fois que la lumière a traversé (ou est réfléchie) par l'objectif et en utilisant une longueur d'onde verte comprise entre 530 et 560 nm. Prenons 550 nm pour notre exemple.

Analyse du front d'onde d'une lunette apochromatique APM de 80 mm f/6, un triplet en verre ED FPL-53 de Ohara. Cet objectif est taillé à λ/5 (P-V) ou λ/20 RMS. C'est mieux que beaucoup d'autres modèles réputés (Takahashi, Tele Vue, etc). Depuis 2010, la même optique équipe les lunettes APO Orion et Sky-Watcher.

Imaginons un miroir taillé à λ/2. Pour une longueur d'onde de référence de 550 nm, cela correspond à un écart P-V du front d'onde de λ/2 soit 550/2 = 275 nm.

Un vendeur malin mais pervers peut utiliser une lumière rouge de 700 nm comme référence. L'écart P-V de λ/2 équivaut à présent à un écart P-V de 700/275 = 2.5 soit environ λ/3 simplement parce qu'il a utilisé une longueur d'onde plus longue. Cette optique semble avoir été mieux polie ! En effet, mais cela dépend également de la longueur d'onde utilisée !

Supposons maintenant que nous désirons mesurer l'erreur résiduelle à la surface d'un miroir. Comment procéder ? Imaginons que ce miroir présente un défaut, un petit trou dans le verre d'une profondeur "x". La lumière frappant ce trou sera retardée d'un délai (de 2x), un x en le pénétrant et un autre x pour en sortir.

Autrement dit, l'erreur de la surface vaut la moitié de l'erreur du front d'onde. A présent, notre erreur de λ/3 passe à λ/6 ! Notre miroir s'améliore encore sans que nous ayons dû le repolir !

Précisons que pour une lentille, une erreur x dans la surface donne une erreur sur l'onde plus petite, égale à x(n-1), n étant égal environ à 1.5. En effet, compte tenu que le front d'onde se propage plus lentement dans le verre (n-1 fois soit environ 0.5c), l'importance du défaut est divisé par deux alors qu'il est multiplié par deux pour un miroir pour un même accident de la surface.

Ainsi, un défaut optique qui apparaît 4 fois dans un verre donne le même effet qu'un seul défaut sur un miroir ! C'est pourquoi il y a un rapport 4 environ entre une erreur par réflexion et une erreur par transmission.

L'écart RMS

Comment savoir si une surface est bien lisse, non pas localement mais juste de manière générale ?

Il faut mesurer l'écart en terme de "RMS". Il s'agit de l'abréviation anglaise de "Root Mean Square", une valeur statistique par rapport à la racine des moindres carrés qu'on appelle également la moyenne quadratique. La RMS va nous donner l'écart entre le front d'onde (théorique et plan) et le front d'onde réel. Sa mesure rend donc mieux compte de la dégradation des images que l'écart P-V.

En raison de la manière dont l'écart RMS est calculé, il est impossible de définir une règle précise de correspondance entre celui-ci et l'écart P-V. Néanmoins, de manière analogue au critère de Rayleigh qui pose la limite de diffraction à λ/4, le critère de Maréchal vaut λ14 RMS, soit environ 3 fois moins que l'écart P-V. Pour un mauvais vendeur, de nouveau l'optique s'est améliorée sans même y toucher !

La norme de qualité astronomique

A gauche, cartes de contour et de phase isométrique d'un miroir parabolique. Ecart P-V = 0.076λ, soit λ/13 ou 42 nm en lumière verte et l'écart RMS est 8 fois inférieur. Ce miroir est aux normes de qualité astronomiques. A droite, interférogramme avec carte de transfert de contraste de la zone centrale de 10 mm de diamètre d'un miroir plan diélectrique. Ecart P-V = 0.01λ soit λ/100 sur la zone sélectionnée et l'écart RMS est trois fois inférieur, rapport de Strehl = 1, ce miroir est pratiquement parfait.

Si nous voulons être rigoureux et objectifs, nous devons mesurer l'écart P-V sur le front d'onde à 550 nm dans notre exemple.

Mais si nous voulons tricher et être "sympa" envers l'objectif, on peut mesurer sa RMS sur la surface dans une longueur d'onde rouge. La différence peut parfois correspondre à un ordre entier de magnitude.

Sachant cela, pour que le client sache ce qu'il achète et ne soit pas trompé sur la marchandise, il est nécessaire de connaître avec précision dans quelles conditions ont été prises les mesures figurant sur le bulletin de contrôle.

Aussi, mesurer des écarts RMS sans indiquer la longueur d'onde utilisée est très pervers et certains ne s'inquiétent pas de la grande différence que cela peut faire; le fait de la mesurer sur la surface et à une longue longueur d'onde est une pratique qui malheureusement se rencontre.

La Maison de l'Astronomie par exemple propose des miroirs aluminés fabriqués par GSO en Chine pour leurs télescopes newtoniens Kepler "garantis pour un front d’onde meilleur que 30 nm RMS" sans autre détail et ne fournit pas de bulletin de contrôle. A chacun de "deviner" leur écart P-V dans la longueur d'onde travail ! Faisons ce calcul.

En supposant que cela correspond à un écart RMS de λ/17.8 à 534 nm typique d'une production chinoise en masse (mais ce serait pire en lumière rouge), l'écart P-V est certainement au moins 3 fois plus élevé, soit pas mieux que λ/5. Bien sûr ce n'est pas un chiffre très flatteur, raison pour laquelle cette société ne le mentionne sans doute pas et n'a pas souhaité répondre à mes questions. Ce type de miroir est juste bon pour fabriquer un télescope d'initiation à des fins visuelles.

Voyons à présent la deuxième méthode d'évaluation de la qualité d'une optique, celle basée sur la MTF, l'analyse de la modulation du contraste en fonction de la résolution spatiale. C'est l'objet du prochain chapitre.

Deuxième partie

MTF et résolution spatiale

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