Calcul de la parallaxe spectroscopique

Calcul de la parallaxe spectroscopique

La constellation d'Orion avec Bételgeuse au maximum de son éclat. Doc A.Fujii.

Détermination des paramètres des étoile géantes

Les étoiles géantes sont des astres capricieux. Agées et solitaires, elles n'obéissent plus à la relation Masse-Luminosité qu'elles suivaient scrupuleusement du temps de leur jeunesse, quand elles évoluaient sur la Séquence principale. Ces étoiles éjectent violemment des vents stellaires et des masses de matière, subissent de violentes pulsations cardiaques intermittentes et certaines d'entre elles finissent par succomber à ce régime turbulent dans une explosion cataclysmique (supernova).

Il n'existe plus de formule directe pour déterminer la masse et la luminosité d'une étoile une fois qu'elle a quitté la Séquence principale. Pourtant nous trouvons des valeurs dans la littérature. Les astrophysiciens ont en effet développé des alternatives pour déterminer ces paramètres.

Dans cet exercice nous allons décrire la procédure qui permet malgré tout de déterminer la luminosité et en corrolaire, la masse, le rayon et la distance des étoiles géantes en prenant l'exemple de la célèbre Bételgeuse, une supergéante rouge dont les mensurations sont réellement exceptionnelles.

Cette méthode est fondée sur le calcul de la parallaxe spectroscopique. Ce dernier terme est trompeur car il n'a rien à voir avec la parallaxe qui est une mesure du changement de position d'un astre par rapport à l'observateur. La distance des étoiles est généralement trop grande pour qu'on puisse leur appliquer la parallaxe trigonométrique (le satellite européen Hipparcos peut la mesurer jusqu'à 1000 a.l. soit 0.001" ou 1 mas). En fait, cette méthode aurait dû s'appeler la mesure de distance HR ou la distance spectroscopique, mais l'histoire en a décidé autrement.

En utilisant des moyens spectroscopiques et photométriques nous pouvons assez facilement placer l'étoile dans le diagramme H-R et calculer optionnellement sa distance.

Procédure

Pour réaliser ce travail, nous devons exploiter plusieurs méthodes.

1°. Réaliser un spectre de l'étoile afin de déterminer sa classe spectrale et sa classe de luminosité

2°. Utiliser des moyens photométriques pour évaluer ses magnitudes apparente et absolue

3°. Utiliser des moyens astrométriques (parallaxe) pour calculer sa distance.

L'ensemble de ces données permettra de définir les principaux paramètres de Bételgeuse.

1. Spectroscopie

Estimation du type spectral

Pour la partie strictement spectroscopique, consultez les pages consacrées à la spectroscopie où vous trouverez toutes les explications nécessaires pour réaliser un spectre stellaire de qualité en utilisant un prisme ou un réseau de diffraction.

A télécharger : SpecLab (CLEA)

Logiciel d'identification des spectres stellaires

Ci-dessus, le spectre de Bételgeuse (M2) comparé à celui de Sirius (A1) obtenu avec le spectrographe haut de gamme de SBIG. Hβ=4861 Å, Mg=5167 et 5173 Å. Ci-dessous le spectre de Bételgeuse obtenu avec un réseau de diffraction par Claude Hellemond de l'Observatoire Mira. On distingue les raies du Ca, Mn, Fe et TiO. L'élargissement (flou) dans la partie droite est provoqué par le rayonnement infrarouge qui n'a pas été bloqué et ne focalise pas au même endroit du plan focal. L'exposition est de 3 minutes à 400 ISO.

Le spectre de Bételgeuse présente de fortes raies d'oxyde de titane (TiO) ainsi que de nombreuses raies métalliques du fer, du calcium et du magnésium neutre. L'hydrogène et le calcium ionisé sont faibles, typiques de la classe spectrale M. Une analyse plus précise du profil des raies permet de la classer dans le type M2.

Nous connaissons ainsi une des deux composantes du diagramme H-R, sa position sur l'axe des abscisses. Nous allons la confirmer par photométrie en déterminant son indice (B-V). Nous pourrons ensuite contraindre sa position verticale en déterminant sa magnitude absolue ou sa luminosité et déterminer sa phase évolutive exacte.

2. Photométrie

Calcul de l'indice de couleur (B-V)

L'utilisation des filtres B et V va nous permettre de connaître la magnitude apparente de Bételgeuse en lumière bleue et de déterminer son indice de couleur (B-V).

Nous devons réaliser deux prises de vues en noir et blanc de Bételgeuse sous filtres photométriques B (390-480 nm) et V (510 à 590 nm). La photographie limitée à quelques secondes peut s'effectuer avec un simple téléobjectif de longue focale, de préférence fixé en parallèle sur le tube d'un télescope capable de suivre le mouvement sidéral pour éviter l'effet de filé.

Comme pour l'exercice avec les Pléiades, nous devons ensuite procéder à un petit travail technique pour déterminer ses magnitudes et son indice de couleur :

- Digitaliser les deux photographies (scanner)

- Mesurer le diamètre de l'étoile au dynamètre en lumière B et V

- Calibrer l'image afin de calculer la magnitude de l'étoile.

Pour Bételgeuse, nous prenons trois mesures du diamètre de l'étoile avec le dynamètre dont nous prendrons la moyenne pour réduire les erreurs de mesure.

On obtient un diamètre en lumière verte de V_mm = 5.2 mm et un diamètre en lumière bleue B_mm = 3.5 mm. Cette différence est normale car Bételgeuse émet peu de lumière bleue.

Calibrons cette photographie en convertissant cette valeur de diamètre en magnitude.

Sa magnitude en lumière verte m_v vaut :

m_v = -2.95 * V_mm + 15.9

= -2.95 * (5.2 mm) + 15.9

= 0.56

NB. Si nous utilisions des moyens informatiques comme le font les professionnels, nous pourrions préciser le diamètre V_mm de Bételgeuse à 1 % près et obtenir une valeur de magnitude beaucoup plus précise. En théorie m_v = 0.45. La différence peut être imputable aux conditions de prises de vues (film ou CCD) ou à la qualité de l'image scannée.

Son indice de couleur (B-V) vaut :

(B-V) = -1.0 * (B_mm - V_mm) + 0.1

= -1.0 * (3.5 - 5.2) + 0.1

= 1.80 (1.86 en théorie)

La parallaxe trigonométrique π se calcule connaissant le demi-grand axe de l'orbite terrestre (a=1 UA) et les positions (E1 et E2) de l'étoile par rapport au fond stellaire "statique" à 6 mois d'intervalle (T1, T2).

3. Calculs

Nous disposons à présent de toutes les données nécessaires pour effectuer nos calculs, tracer le diagramme H-R et estimer la luminosité de Bételgeuse.

Pour déterminer la distance, nous devons utiliser l'une des méthodes suivantes de calcul de la parallaxe, selon la distance ou le type d'astre :

- la parallaxe trigonométrique si l'astre est situé à moins de 1000 a.l. (voir schéma à droite)

- la.parallaxe spectroscopique s'il est plus distant et si on connaît les magnitudes apparentes et absolues.

- la parallaxe photométrique (loi de Pogson) qui s'applique notamment aux Céphéides.

- la parallaxe dynamique qui s'applique aux systèmes doubles et qui est déduite de la 3^e loi de Kepler.

- la parallaxe séculaire où on tire profit du mouvement du Soleil par rapport à un ensemble d'étoiles proches.

Nous utiliserons les deux premières méthodes. Pour Bételgeuse, les mesures astrométriques du satellite européen Hipparcos indiquent une parallaxe trigonométrique π = 7.63 ±1.64 mas (0.00763"). Nous utiliserons cette valeur dans la formule de la parallaxe spectroscopique qui permet de calculer sa magnitude absolue.

NB. Cette parallaxe fut recalculée en 2020 et on a obtenu π = 5.95 ±0.58/0.85 mas (cf. M.Joyce et al., 2020).

A. La magnitude absolue

La magnitude absolue est la magnitude d'un astre reportée à 10 parsecs (32.6 a.l.). Cette valeur permet de mesurer la luminosité intrinsèque d'une étoile.

Nous savons déjà que Bételgeuse est une étoile de classe spectrale M2. Sa magnitude verte m_v ~ 0.56 et son indice de couleur (B-V) ~ 1.8. Cela lui donne une température effective d'environ 3000 K (~3500 K en théorie). Il s'agit donc d'une étoile rouge, ce que confirme l'observation visuelle ainsi que son spectre contenant beaucoup de métaux.


Indice de couleur (B-V) =
Log Température =
Température effective =	K

En théorie, nous ne savons pas encore s'il s'agit d'une naine ou d'une supergéante. Un lecteur éclairé remarquera toutefois qu'aucune étoile naine n'est visible à l'oeil nu (Sirius B est de magnitude +8.44) et leur spectre est très différent de celui des supergéantes.

Ainsi que nous l'avons dit, la distance se calcule sur base de l'estimation de la parallaxe.

En utilisant la formule de la parallaxe spectroscopique :

5 log π + 5 = M - m

et connaissant la parallaxe (π = 0.00763") ainsi que la magnitude apparente de Bételgeuse (m = 0.56), nous pouvons calculer sa magnitude absolue M :

M = 5 log π + 5 + m

= 5 * -2.12 + 5 + 0.56

= -5.04

En théorie sa magnitude absolue est de -5.14, mais il s'agit d'une étoile variable qui oscille de 0.9 magnitudes en 2110 jours.

B. La luminosité

Trois méthodes permettent d'estimer la luminosité d'une étoile selon que l'on connaît l'une ou l'autre valeur :

- La parallaxe spectroscopique (ci-dessus) connaissant la parallaxe trigonométrique π telle que décrite dans cette page d'exercices

- Une règle de trois (dans une proportion, connaissant 3 valeurs nous allons calculer la quatrième). Sachant qu'il y a un rapport 2.512 entre deux magnitudes et que la différence entre la magnitude absolue de Bételgeuse (-5.04) et celle du Soleil (+4.83) atteint 10 magnitudes, la luminosité de Bételgeuse comparée à celle du Soleil vaut 2.512¹⁰ ~ 10000 L. Mais c'est approximatif.

- Le report de la magnitude absolue dans un diagramme H-R reprenant une échelle relative de luminosité (ce qui revient en fait à transposer graphiquement la règle de trois). Pour un indice de couleur (B-V) = 1.80 (1.86 en théorie), la magnitude absolue de -5.04 (-5.14 en théorie) tombe dans la classes de luminosité Ia ou Ib (Iab en théorie) dont la luminosité relative est de l'ordre de 10000 L.

En réalité, la luminosité de Bételgeuse serait comprise entre 90000 et 150000 L avec une valeur moyenne de 126000 L (cf. N.Smith et al., 2009).

Détermination de la position de Bételgeuse dans le diagramme HR en utilisant la parallaxe spectroscopique.

C. Le rayon

Connaissant à présent son indice de couleur (I.C. ~ 1.8) et sa magnitude absolue (M ~ -5.1) nous pouvons calculer le rayon R de Bételgeuse rapporté au Soleil :

R = 10 ^{(0.82
IC - 0.2 M + 0.5)}

= 990 R !

Pour I.C. = 1.86 et M = -5.14, on obtient 1130 R. Notre résultat est donc dans une marge d'erreur de 13%.

Selon les dernières mesures le rayon de Bételgeuse est de 764 R soit un rayon d'environ 740 millions de km (cf. M.Joyce et al., 2020).

D. La distance

Connaissant sa parallaxe trigonométrique (7.63 mas) nous pouvons facilement connaître la distance de Bételgeuse :

d = 1/π

= 1 / 0.00763

= 131.06 parsecs soit 427 a.l.

Mais admettons que nous ne connaissons pas sa parallaxe mais uniquement ses magnitudes. Nous pouvons également calculer sa distance puisque nous la connaissons à 10 parsecs (M).

Connaissant m_v ~ 0.56 représentant la magnitude apparente m et en ayant déduit sa magnitude absolue M ~ -5.1, nous pouvons utiliser la relation du module de distance pour trouver la distance d de Bételgeuse exprimée en parsecs :

m - M = 5 log (d/10)

En pratique, cette formule est valable pour des amas d'étoiles ou des galaxies et est imprécise pour déterminer la distance d'une étoile individuelle. Pour certaines classes spectrales et classes de luminosités, l'incertitude sur la magnitude absolue varie entre 0.7 et 1.25 magnitude. Par conséquent la distance peut varier de 1.4 à 1.8 fois, ce qui est élevé. Toutefois, cette formule reste une méthode très utilisée pour évaluer la distance des étoiles situées au-delà des limites de la parallaxe trigonométrique

La distance d de Bételgeuse devient après transformation :

m - M = 5 log (d/10)

5 log (d/10) = m - M

log (d/10) = (m - M) / 5

d/10 = 10 ^((m ^{- M) / 5)}

d = 10 * 10 ^{((m - M)/5)}

qu'on peut aussi écrire :

d = 10^{((m - M + 5)/5)}

En substituant les valeurs nous trouvons :

d = 10 ^((0.56 ^{- (-5.1}^{) + 5) / 5)}

d = 10 ^(2.132⁾

d = 135.5 parsecs ou 441 a.l.